基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型的穩(wěn)定性研究*

林子飛 徐偉? 韓群

(1.西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 西安 710072) (2.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 武漢 430070)

基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型的穩(wěn)定性研究*

林子飛1徐偉1?韓群2

(1.西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 西安 710072) (2.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 武漢 430070)

分析了含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型,其中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述了經(jīng)濟(jì)變量的長記憶性質(zhì).將隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的概念引入到了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型以理解經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的本質(zhì)特征.主要研究了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)問題中的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性以及經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的波動(dòng)幅度問題.首先,我們研究了經(jīng)濟(jì)變量的記憶性質(zhì)對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的穩(wěn)定性和波動(dòng)幅度的影響.結(jié)果表明,經(jīng)濟(jì)變量的長記憶性延長了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的時(shí)間,這對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控提供了一個(gè)新的視角和觀點(diǎn).其次,我們研究了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)如何影響和改變經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的波動(dòng)幅度.結(jié)果顯示相比于經(jīng)典模型,經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間記憶特性會(huì)產(chǎn)生不同的令人驚奇的現(xiàn)象.

經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型, 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 隨機(jī)激勵(lì), 多尺度方法

引言

經(jīng)濟(jì)波動(dòng)一直是宏觀經(jīng)濟(jì)研究中的核心問題之一.研究經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的穩(wěn)定性以及經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度具有十分重要的理論意義.20世紀(jì)50年代,Goodwin[1]改進(jìn)了希克斯模型并且在文章“The Nonlinear Accelerator and the Persistence of Business Cycles”中取得了突破性的進(jìn)展.Sasakura[2]給出了Goodwin模型含有唯一的穩(wěn)定的極限環(huán)的證明.Kaldor[3]和Kalecki給出了一個(gè)非線性模型來描述經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的波動(dòng)問題.Puu和Sushko[5]給出了一個(gè)包含引致投資函數(shù)以抵御經(jīng)濟(jì)衰退的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型.Franke等[6]研究了收入分配在經(jīng)濟(jì)波動(dòng)中的作用.Matsumoto[7]通過研究發(fā)現(xiàn),連續(xù)的時(shí)間滯后效應(yīng)比固定的時(shí)間滯后效應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響更大,而且當(dāng)平衡點(diǎn)在局部穩(wěn)定的條件下,可以存在多個(gè)極限環(huán).Yoshida和Asada[8]研究了政府調(diào)控以及政策滯后效應(yīng)對(duì)于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的影響.

經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間記憶性使得分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)適合描述經(jīng)濟(jì)變量的這種長記憶性.許多學(xué)者在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用型研究方面做出了很多出色的工作.Nick Laskin[9]研究了含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的金融系統(tǒng)并且得到了回報(bào)的概率分布.Chen[10]分析了一個(gè)分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為以及混沌機(jī)制.Wang等[11]提出了一個(gè)含有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng),并且分析了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.Marius-F[12]提出了參數(shù)切換方法來研究分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.Indranil Pan[13]提出了帶有正向控制策略的分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng).Sachin Bhalekar[14]研究了變量的時(shí)滯效應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)混沌的影響.Yin[15]設(shè)計(jì)了一種滑?？刂品椒▉砜刂品?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌行為.

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中,外部的隨機(jī)擾動(dòng)是不可避免的.同樣,這些外部的隨機(jī)擾動(dòng)也會(huì)影響經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的運(yùn)行.李佼瑞[16]研究了帶有時(shí)滯反饋控制的非線性經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型的響應(yīng)問題.李爽[17]研究了確定性以及帶有隨機(jī)激勵(lì)情形下的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型的混沌控制問題.Spanos和Zeldin[18]提出了頻域方法來研究帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為.許勇和李永歌[19]提出了一種新的攝動(dòng)方法來獲得分?jǐn)?shù)階隨機(jī)系統(tǒng)的近似解析解.劉迪[20]研究了帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的含參數(shù)激勵(lì)的隨機(jī)系統(tǒng)的共振響應(yīng)問題.陳林聰和朱位秋[21]應(yīng)用隨機(jī)平均方法研究了帶有周期激勵(lì)以及白噪聲激勵(lì)的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng).黃志龍研究了強(qiáng)非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)以及隨機(jī)穩(wěn)定性問題[22].Dimatteo等[23]提出了一種新的解析方法,可以獲得系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的概率密度函數(shù).

本文由以下幾個(gè)部分構(gòu)成.在第二節(jié),考慮到經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間記憶特性,我們建立了一個(gè)帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型.在第三節(jié),我們研究了帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型平衡狀態(tài)的定點(diǎn)穩(wěn)定性.在第四節(jié)給出了窄帶噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型.應(yīng)用多尺度方法得到了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的波動(dòng)幅度.其次,進(jìn)行數(shù)值模擬來驗(yàn)證了解析方法的有效性,并且分析了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度范圍以及經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度的概率密度的影響.

1 模型

文獻(xiàn)[3]中,Goodwin提出了一個(gè)數(shù)學(xué)模型來研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)問題.該模型如下：

(1-β)y(t)=O*(t)

(1)

其中O*(t)代表自發(fā)的投資.這里我們將其設(shè)定為常數(shù)O*.由此可以得到下式：

(1-β)z(t)=0

(2)

其中,

z(t)=y(t)-O*/(1-β)

(3)

在經(jīng)過變換之后,方程(2)可以寫成下面的形式：

(4)

其中,

(5)

(6)

2 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

2.1 穩(wěn)定性影響

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡態(tài)即動(dòng)力系統(tǒng)的定點(diǎn).為了研究經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間記憶性質(zhì)對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,方程 (6) 可以寫為如下形式：

定理2.1 根據(jù)文獻(xiàn)[24]提出的穩(wěn)定性定理,系統(tǒng)(7)的特征方程可以寫為：

(8)

其中qi為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)0

(9)

系統(tǒng)(7)有唯一的定點(diǎn)(0,0,0).在(0,0,0)點(diǎn)的系統(tǒng)的雅各比矩陣為：

(10)

方程(8)變?yōu)?

10λ4+3λ+10=0

(11)

可以得到：

(12)

因此定點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的[24],這意味著經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)可以在平衡點(diǎn)運(yùn)行.

如果我們?cè)O(shè)α=1,雅各比矩陣為：

(13)

特征方程為:

10λ2+3λ+10=0

(14)

特征值可以計(jì)算得到λ1,2=-0.15±0.99i,也是漸近穩(wěn)定的.

2.2 到達(dá)平衡態(tài)的過程

從圖1中可以看出,隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)的減小,到達(dá)平衡狀態(tài)所需的時(shí)間變長了.這就是說,在制定宏觀調(diào)控政策時(shí)必須考慮到經(jīng)濟(jì)變量記憶特性的影響,否則會(huì)錯(cuò)誤地估計(jì)經(jīng)濟(jì)政策對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的效用.

3 經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的幅度

3.1 近似解析解

通過上面的分析,方程(6)可以寫為如下形式:

圖1 時(shí)間歷程Fig.1 Time history

=fcos(Ωt+γW(t))

(14)

其中f>0表示隨機(jī)激勵(lì)的振幅,Ω表示周期激勵(lì)的頻率,W(t)代表標(biāo)準(zhǔn)維納過程,γ≥0表示隨機(jī)激勵(lì)的噪聲強(qiáng)度.

為了應(yīng)用多尺度方法,引入小參數(shù)0<ε<1,所以方程 (14)可以寫為：

(15)

(16)

對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[26],我們選取黎曼-劉維爾定義：

(17)

利用多尺度方法, 方程(15)的解可以寫成如下形式：

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(18)

其中T0=t代表快變時(shí)間變量,T1=εt代表慢變時(shí)間變量.記：

(19)

則有：

(20)

將方程(18)和(19)代入方程(15) 比較ε的系數(shù), 可以得到：

(21)

(22)

方程(21)的解可以寫成：

(23)

cc表示前面各項(xiàng)的復(fù)共軛.將方程(23)代入方程(22), 可以得到：

(24)

對(duì)于黎曼-劉維爾定義,方程(24)右邊的第三項(xiàng)可以寫成如下形式：

(25)

其中方程(25)右邊的第二項(xiàng)不產(chǎn)生久期項(xiàng),因此不影響最終的解[27].

(26)

A可以表示為極坐標(biāo)的形式：

(27)

方程(26)中,一個(gè)基本的公式要應(yīng)用到：

(28)

將方程(27),(28)代入(26)并分離方程(26)的實(shí)部和虛部,可以得到:

(29)

通過解方程 (29),可以得到振幅a和相位θ.由此可以得到方程(7)的一階近似解：

x(t)=a(εt)cos(Ωt-θ(εt))+O(ε)

(30)

(31)

消去θ0我們可以得到頻率響應(yīng)方程：

(32)

a=a0+a1,θ=θ0+θ1

(33)

其中a1和θ1都是攝動(dòng)項(xiàng).將方程(33)代入方程(29) 可以得到(a0,θ0)處的線性化方程,由此隨機(jī)微分方程可以寫為：

(34)

其中“(·)′”表示對(duì)a的導(dǎo)數(shù).

利用矩方法,可以得到一階穩(wěn)態(tài)矩和二階穩(wěn)態(tài)矩.從而有：

(35)

因此,一階穩(wěn)態(tài)矩滿足：

E(a1)=0

(36)

二階穩(wěn)態(tài)矩a1滿足：

(37)

其中,

(38)

由此可以得到方程(29)的一階穩(wěn)態(tài)矩和二階穩(wěn)態(tài)矩：

E(a)=E(a0+a1)=a0

E(a2) =a02+E(a12)

(39)

(40)

從(29)可以得到方程(40)的振幅和相位方程：

(41)

而且通過方程(39)可以得到方程(41)的一階穩(wěn)態(tài)矩和二階穩(wěn)態(tài)矩:

E(a)=E(a0+a1)=a0

E(a2) =a02+E(a12)

(42)

其中,

(43)

3.2 方法有效性分析

本節(jié)中,我們借助數(shù)值模擬來說明解析方法的有效性,并分析了經(jīng)濟(jì)變量的記憶特性對(duì)于經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度的影響.

圖2 頻響曲線Fig.2 The frequency-response curve

應(yīng)用預(yù)估校正算法[28],圖2顯示數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果相一致,這證明了解析方法的有效性.圖3(a)和(b)表示經(jīng)濟(jì)變量的記憶性可以影響到達(dá)平衡狀態(tài)的過程,并且在一定的周期激勵(lì)的頻率范圍以內(nèi),系統(tǒng)波動(dòng)的幅度是減小的;而在另外的頻率范圍以內(nèi),系統(tǒng)波動(dòng)的幅度反而是變大的.圖3(c)可以看出,隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)的減小,與整數(shù)階系統(tǒng)的波動(dòng)幅度相比(包括不穩(wěn)定解的波動(dòng)幅度),系統(tǒng)的波動(dòng)幅度是減小的,經(jīng)濟(jì)變量的記憶性增強(qiáng)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但是加大了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的波動(dòng)幅度.而且在分?jǐn)?shù)階階數(shù)減小后,系統(tǒng)不穩(wěn)定解消失了.圖4顯示分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的系數(shù)是如何影響經(jīng)濟(jì)系

圖3 頻響曲線Fig.3 The frequency-response curve

圖4 阻尼系數(shù)變化時(shí)的振幅均值變化曲線Fig.4 The amplitude curve with variation of damping coefficient

圖5 分?jǐn)?shù)階系數(shù)α變化時(shí)的振幅變化曲線Fig.5 The amplitude curve with variation of fractional order α

圖6 振幅a的穩(wěn)態(tài)概率密度Fig.6 Stationary probability density function of amplitude

統(tǒng)的波動(dòng)幅度的：隨著分?jǐn)?shù)階項(xiàng)系數(shù)的增大, 系統(tǒng)的波動(dòng)幅度減小,而且分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的波動(dòng)幅度小于整數(shù)階系統(tǒng).圖5顯示了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)變化如何影響經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的波動(dòng)幅度,當(dāng)改變分?jǐn)?shù)階階數(shù)α, 隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)的增大,經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的波動(dòng)幅度首先變大然后再變小.并且可以引發(fā)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的劇烈波動(dòng).

穩(wěn)態(tài)概率密度描述了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度的分布.我們利用蒙特卡洛模擬得到經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度的穩(wěn)態(tài)概率密度以及時(shí)間歷程來闡釋經(jīng)濟(jì)變量的記憶特性對(duì)于概率密度的影響.圖6表明隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)α的減小, 穩(wěn)態(tài)概率密度峰值所對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)幅度變大了,但是穩(wěn)態(tài)概率密度的峰值變小了.圖7的時(shí)間歷程圖給出了直觀的視角.

圖7 時(shí)間歷程Fig.7 Time history

4 結(jié)論

本文成功地建立了含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型,并且研究了由于經(jīng)濟(jì)政策,物價(jià)變化科技進(jìn)步過程引發(fā)的經(jīng)濟(jì)變量的長記憶性質(zhì)對(duì)于經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響.與經(jīng)典的模型相對(duì)比,本文研究了帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型的穩(wěn)定性質(zhì),結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的時(shí)間大大延長了.并且研究了帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)模型的波動(dòng)幅度,在不同參數(shù)條件小,分?jǐn)?shù)階階數(shù)對(duì)于系統(tǒng)波動(dòng)幅度的影響是不同的,某些參數(shù)條件下減小了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的范圍,但是在某些參數(shù)下卻增大了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的范圍.并且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)的變化可以改變經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由非平衡狀態(tài)到平衡狀態(tài)的進(jìn)程.

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11532011)

? Corresponding author E-mail:weixu@nwpu.edu.cn

17 March 2017,revised 18 April 2017.

STABILITYANALYSIS OF ANECONOMIC FLUCTUATION MODEL WITH FRACTIONAL DERIVATIVE*

Lin Zifei1Xu Wei1?Han Qun2

(1.DepartmentofAppliedMathematics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an710072,China) (2.CollegeofScience,HuazhongAgriculturalUniversity,Wuhan430070,China)

This paper analyzes the dynamics of economic fluctuation model with fractional derivative of order α (0<α<1), in which fractional derivative depicts the viscoelasticity of the economy system (the so-called memory and hereditary properties of economic variables). Dynamical system concepts are integrated into the business cycle model for understanding the economic fluctuation. Stability and amplitude of an economy system with fractional derivative are studied and comparedwith classical Goodwin model. Firstly, the influence of the memory property of economic variables on the stability of the economy system is investigated. The result show that an economy system with fractional derivative cost more time to be the equilibrium state. It proposes a new view on the macroeconomic regulation and control policy. Secondly, how fractional derivatives influence and transform the amplitude of the economic fluctuation is studied, and the results show that memory property of economic variables can lead to some different phenomena comparing with the model without considering the memory property of economic variables.

economic fluctuation model, fractional derivative, random excitation, multiple scale method

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11532011)

10.6052/1672-6553-2017-029

2017-03-17收到第1稿,2017-04-18收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail:weixu@nwpu.edu.cn