試析平面向量在解決二面角問題的應(yīng)用

劉澤粲

摘要：平面向量和二面角在我們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中都是比較重要的知識(shí)點(diǎn)，很多同學(xué)在學(xué)習(xí)二面角的過程中會(huì)覺得比較復(fù)雜，在解決相關(guān)問題的過程中會(huì)無從下手。平面向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用范圍是非常廣泛的，并且很多數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為平面向量的時(shí)候就可以得到一定程度的簡(jiǎn)化，因此，在解決二面角問題的時(shí)候就可以應(yīng)用平面向量，使得抽象的幾何問題能夠簡(jiǎn)化為代數(shù)問題，從而降低數(shù)學(xué)問題的綜合性。我主要根據(jù)自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平面向量在解決二面角問題的過程中進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：平面向量；二面角問題；應(yīng)用

隨著新課程改革的不斷深入，平面向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用范圍越來越廣，很多高中數(shù)學(xué)題都需要借助平面向量進(jìn)行解答。近年來，我們?cè)趯W(xué)習(xí)平面向量的過程中，可以發(fā)現(xiàn)越來越多的新思路和新方法被提出和應(yīng)用，使得平面幾何內(nèi)容越來越豐富。就平面向量的具體應(yīng)用來說，將其應(yīng)用于解決二面角問題能夠大大降低問題的綜合性，從而使得問題得以簡(jiǎn)化，我們?cè)诮忸}過程中也可以保持更加清晰的思維，從而提升解題效率。

一、法向量方向的不同應(yīng)用

1、法向量方向相同

在應(yīng)用平面向量求解二面角問題的過程中，首先要明確的就是二面角問題中能夠應(yīng)用平面向量解題的條件。因此，我們要知道二面角的平面角θ與法向量所成的角α是相等或者互補(bǔ)的，只有滿足這個(gè)條件才能應(yīng)用平面向量解答二面角問題。有時(shí)候，我們會(huì)遇到二面角的兩個(gè)法向量都指向二面角的內(nèi)部或者外部，這時(shí)就要知道θ的大小是等于π-α的，而當(dāng)二面角的兩個(gè)法向量指向的方向不同時(shí)，就是θ=α，這時(shí)我們還需要判斷法向量的方向。我在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)在判斷法向量的方向時(shí)，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以我就具體分析一下在這種情況下如何判斷法向量的方向：我們可以在二面角的公共棱上面任意取一點(diǎn)，標(biāo)為M，然后在二面角的內(nèi)部位置上任意取一點(diǎn)，標(biāo)為N，為了驗(yàn)證取點(diǎn)的正確性，我們還可以在兩個(gè)半平面內(nèi)各取A、B兩點(diǎn)，將AB連線，這是點(diǎn)N就是線段AB的中點(diǎn)，并且處于二面角的內(nèi)部。然后我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)向量MN，則可以得出法向量n1和n2的方向都指向二面角內(nèi)部時(shí)，有n1·MN>0并且n2·MN>0，這是根據(jù)向量的夾角的定義和其數(shù)量積得出的結(jié)論，同樣地，若都指向外部，則n1·MN<0并且n2·MN<0，最后還可以得出當(dāng)二面角兩個(gè)半平面的法向量都指向二面角的內(nèi)部（或外部）時(shí)，二面角θ=π-。

2、法向量方向不同

法向量在解決二面角問題的過程中如果其方向是不同的，那么就需要視具體情況進(jìn)行具體分析。在一般情況下，如果法向量n1的方向指向二面角的內(nèi)部，而n2的方向指向二面角外部，這時(shí)就是n1·MN>0并且n2·MN<0，也就是說n1·MN與n2·MN在異號(hào)的情況下，二面角的兩個(gè)半平面的法向量的方向就是一個(gè)在內(nèi)，一個(gè)在外，可以用θ=來表示。為了使得同學(xué)們能夠?qū)ζ矫嫦蛄吭诙娼侵械慕忸}應(yīng)用更加詳細(xì)的了解，我就結(jié)合具體的例題進(jìn)行分析。比如：棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD。（Ⅰ）證明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PBC的余弦值。

在解決這個(gè)問題的時(shí)候，我們先將立體圖形的空間直角坐標(biāo)系畫出來，然后將相關(guān)的點(diǎn)和線段用向量的方向表示出來，再求出兩個(gè)法向量的余弦值，這樣能夠使得復(fù)雜的圖形得到簡(jiǎn)化，然后就可以應(yīng)用我提到的異號(hào)判斷法向量的方向的方法確定二面角平面角的余弦值。這種方式主要是需要集合作圖、求證及計(jì)算才能得出結(jié)果，很多同學(xué)在應(yīng)用這種方法求解的過程中會(huì)覺得比較繁瑣，在一定程度上增加了題目過程的計(jì)算量。但是這種方法在我們剛剛接觸到這種類型的題時(shí)是有較大的作用的，我們?cè)趹?yīng)用這種方法解答二面角問題的時(shí)候，可以簡(jiǎn)化思路，不需要對(duì)圖形進(jìn)行想象，并且可以不要?jiǎng)佑眠壿嬐评恚@對(duì)于尚且還是“新手”的我們，有重要的作用。

二、基底向量法

我上述提到的用平面向量解決二面角問題主要是根據(jù)判斷法向量的方向求解，另外還有一種方式是可以不用判斷法向量的方向就可以求解二面角問題。在求解過程中，我們需要在二面角的兩個(gè)半平面中，用與公共棱垂直的兩個(gè)向量的夾角表示二面角的平面角，這就是基底向量法。在用基底向量法解決二面角問題的過程中，要在空間內(nèi)選取任意不共面的三個(gè)向量作為基向量，然后再將解題過程中需要用到的向量用基底進(jìn)行表示，二面角就是這兩個(gè)向量的夾角，在計(jì)算過程中我們應(yīng)用的是向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算。在應(yīng)用這種方法解決二面角問題的過程中，是不用求二面角的兩個(gè)平面法向量的，并且向量基的運(yùn)算一向都是需要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S為基礎(chǔ)依據(jù)的，而坐標(biāo)法計(jì)算則使得這種思維得到了簡(jiǎn)化，使得我們?cè)诮忸}過程中能夠更加流暢。

三、結(jié)語

綜上所述，二面角問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要知識(shí)點(diǎn)，其具有較多的理論知識(shí)，并且需要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)，應(yīng)用平面向量解決二面角問題能夠使得幾何問題得到一定的簡(jiǎn)化，讓我們?cè)诮忸}過程中能夠更加細(xì)心和精準(zhǔn)，對(duì)于提升我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

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