化歸思想在高中數(shù)學函數(shù)解題中的應(yīng)用

孫國棟

【摘要】高中數(shù)學教學既要傳授知識，又要培養(yǎng)能力，唯其如此，才能完成“學”與“用”的完美結(jié)合，實現(xiàn)“知識”與“能力”的有機統(tǒng)一.高中數(shù)學中的函數(shù)知識是教學中的難點，而化歸思想可謂是提高學生學習數(shù)學能力的法寶，在教學中應(yīng)積極應(yīng)用化歸思想與方法，提高學生的整體素質(zhì)，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索.本文簡析了化歸思想的概況，并結(jié)合具體案例指出了化歸思想在高中數(shù)學函數(shù)解題中的應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；高中數(shù)學；函數(shù)解題；應(yīng)用策略

高中階段，數(shù)學是不少學生頭疼的科目，而函數(shù)更是痛中之痛，化歸思想可謂是解決函數(shù)問題的靈丹妙藥，它顛覆了傳統(tǒng)高中數(shù)學函數(shù)的求解方法和理論，有助于教師把晦澀難懂和深奧的函數(shù)問題淺顯化，循序漸進、邏輯嚴密地揭示數(shù)學理論和方法，兼顧數(shù)學的科普性和專業(yè)性，不但數(shù)學思想貫穿其中，也彌補了學生學習函數(shù)的不足之處，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，對切實提高我國高中生的數(shù)學水平，體會數(shù)學中的化歸思想起到了積極作用.

一、化歸思想的概況

化歸思想是指在解決實際問題的過程中進行等價轉(zhuǎn)換，把生疏的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的題目，通過特殊到一般，歸納出事物的規(guī)律，并能進行適當?shù)淖兪阶冃?這種思想就是把本來不會的問題轉(zhuǎn)化到會的地方去，把兩個變化的量轉(zhuǎn)化到一個變化的量上去，把代數(shù)轉(zhuǎn)化到幾何圖形上去，這也是高中生需要掌握的重要數(shù)學思想之一.可見，人們學習的過程就是用掌握的知識去理解、解決未知的知識，學習的過程就是用舊知識引出和解決新問題，當新的知識掌握后再利用它去解決更新的知識.化歸思想就是把新知識用舊知識解答，不斷地繼承和發(fā)展更新舊知識.從一定程度上來講，化歸思想這種數(shù)學思想方法屬于哲學方法論的范疇，我國的高中數(shù)學教育經(jīng)常忽視數(shù)學思想方法的講解與提煉，卻經(jīng)?？疾橐恍┥婕爸T如此類數(shù)學思想方法的題目，這本身就是因噎廢食.化歸思想是數(shù)學的精髓，也是數(shù)學基本知識的重要組成部分，學生要在學習過程中有意識地對化歸思想方法進行梳理、總結(jié)，認識它的本質(zhì)特征、思維程序和操作程序，有針對性地通過典型題目進行訓練.

二、化歸思想在高中數(shù)學函數(shù)解題中的應(yīng)用策略

（一）數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化

數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化方法在研究、解決數(shù)學問題中，尤其是當思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形使問題得到解決的策略，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時，也是成功的思維方式.數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，將反映問題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來，也是將抽象思維與形象思維有機結(jié)合起來的一種策略.這種方法通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題形象化，有助于把握數(shù)學問題特別是函數(shù)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合.

例如，已知點（2，y1）和（4，y2）都在直線y=3x+4上，求y1和y2的關(guān)系.在求解這道題的過程中，首先，要通過直線解析式x的系數(shù)3來判斷出其系數(shù)大于零，從而輕松畫出與題目對應(yīng)的圖像，也就是積極應(yīng)用化歸思想，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形，y的值是隨著x的增大而增大的，所以，只要通過比較橫坐標的大小便可得出y1

（二）轉(zhuǎn)化未知問題為已知問題

函數(shù)問題解題有一定的規(guī)律性，應(yīng)用化歸思想以后，在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，就是將未知角變換為已知角進行解答.在最值問題和周期問題中，解題思路同樣是利用化歸思想將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題.數(shù)學解題不能憑主觀想象判斷，要靠公式證明才行，只有把抽象的題目轉(zhuǎn)化成公式，將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題來解決，化歸思想就是對于有些函數(shù)問題要學會用變量來思考，學會轉(zhuǎn)化未知與已知的關(guān)系.數(shù)學的化歸思想簡化了思維狀態(tài)，提升了思維品質(zhì).轉(zhuǎn)化必須挖掘出問題中最本質(zhì)的內(nèi)核與原型，再把新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)能夠解決的問題，這是高中數(shù)學的基本思想，理應(yīng)貫穿于高中數(shù)學教與學的始終.

例如，函數(shù)f（x）=|x|-ax-1僅有一個負零點，求a的取值范圍，就可以在平面直角坐標系中作出函數(shù)y=|x|+1和y=ax的圖像，通過轉(zhuǎn)化未知問題為已知問題可以得出兩函數(shù)的圖像只有一個交點，所以，a的取值范圍應(yīng)該是[1，+∞）.

（三）把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題

高中數(shù)學函數(shù)解題的一個重要方法就是遞歸，它就是運用了化歸思想把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，然后，逐步返回直至到最終的復雜問題，不斷地循環(huán).高中數(shù)學函數(shù)問題的特點就是知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復雜、思路難覓、解法靈活，化歸思想的應(yīng)用要遵循簡單化原則，就是將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，如，把三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題，通過簡單問題的解決思路和方法，獲得對復雜問題的解答啟示和思路，以達到解決復雜問題的目的.

例如，已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值，那么根據(jù)f（x）的定義域，可得，當 00，f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，當x>1時，f′（x）<0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，這樣通過把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，得出函數(shù)f（x）的最大值f（1）=0.

總之，化歸思想可以減少高中數(shù)學函數(shù)的解題難度，在面對復雜、抽象的題目時，學生可以把其轉(zhuǎn)化為易于接受的表達形態(tài)，從而順利求解.高中數(shù)學課程既要強調(diào)教育數(shù)學又要重視科學數(shù)學，只有把數(shù)學思想進行再創(chuàng)造式的運用，才能使數(shù)學課程熠熠生輝.

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