圓錐曲線極值問題的解題技巧

張玉勛

【摘要】眾所周知，圓錐曲線是高中數(shù)學的重要教學內(nèi)容，也是歷年高考的必考點.圓錐曲線的知識點繁多、復雜，并且在問題設置上經(jīng)常與其他知識點緊密地聯(lián)系在一起，因此，此類問題的綜合性強、難度大，學生對于解答此類問題往往感覺無從下手，甚至看到此類問題就直接放棄.

【關鍵詞】高中數(shù)學；圓錐曲線；極值問題

有關圓錐曲線的極值問題，內(nèi)容十分豐富，聯(lián)系極為廣泛，它既包括了代數(shù)、幾何及三角等學科中的很多的基礎知識，又容納了很多的技巧.容量大、綜合性強、相互滲透是該問題的基本特征.從近些年的數(shù)學高考可以看出，該類問題往往考查考生綜合運用數(shù)學知識、思維敏捷程度和解決問題的能力.因此，本文將通過一些實例，對圓錐曲線的極值問題的解題技巧進行深入的剖析.

一、二次函數(shù)法

所謂二次函數(shù)法，就是利用二次函數(shù)的性質(zhì)去解決問題，但是二次函數(shù)的性質(zhì)比較多，因此，用何種性質(zhì)、怎么用，可以說是解題技巧的重點所在.由于此類問題要求極值，所以利用二次函數(shù)的特有性質(zhì)：對二次函數(shù)

解析要想求出其兩者之間的最小距離，就必須將兩者之間的距離用函數(shù)表達式列出，然后，進行求解.因此，不妨設拋物線上的一點為Q（x1，y1），則y21=2x1，由兩點之間的距離公式，得|PQ|=（x1-4）2+y21=x21-6x1+16.因為被開方數(shù)二次項的系數(shù)為正，所以當x=3時，（x21-6x1+16）min=7，即|PQ|min=7.

點撥通過該例題我們可以看出，利用二次函數(shù)法進行求圓錐曲線的極值，其實質(zhì)就是將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題.其中需要特別留意的是，該類方法的難點之處就在于，如何建立二次函數(shù)，因此，在利用此方法進行解題時要靈活運用其他知識.

二、不等式法

所謂不等式法，就是利用不等式的相關知識進行解題、求值.利用不等式求最值是高中數(shù)學的常用方法之一，因此，此方法在求圓錐曲線的極值問題時也有很大的應用.但是需要注意的是，在利用該方法進行解題時，也要注意其前提條件，例如，a≥0，b≥0或者a，b為實數(shù)等.

三、定義法

所謂定義法，顧名思義就是利用相關的定義進行解題.有一些圓錐曲線求極值的題目，應用其他一些方法很難解決問題，此時可以考慮回到其定義中去，不僅可以加深對曲線極值的理解，有時還會使解題過程更加簡潔.

例3長度為l的線段AB，其兩端點在拋物線y=x2上移動，求AB的中點M到x軸的最短距離為.

點撥通過例題我們可知，要想很好地利用定義法進行解題，一方面，要對圓錐曲線的定義要有充分的記憶和了解.另一方面，要對圓錐曲線的一些性質(zhì)要有很好的認知.由于高考越來越重視對書本知識的考查，定義法將會被命題者重視，因此，學生要對此方法要有很好的理解并且能靈活運用.

綜上所述，圓錐曲線的極值問題經(jīng)常會出現(xiàn)在高考的填空題中，因此，要想實現(xiàn)高效、巧妙的解題，掌握其解題技巧就十分重要了.當然本文只是涉及了一些常用的方法，學生要想更多地了解并掌握一些技巧，就需要在平常的學習中慢慢探索.