對2017年廣州一模壓軸選擇題的一些思考
——三次函數(shù)的對稱性

廣東省惠州市惠東縣惠東中學(xué) 張海波

我們在平時練習(xí)過程中對，類型的三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值研究比較多，但是對于三次函數(shù)的對稱中心很少研究，而掌握好了三次函數(shù)對稱中心，我們能夠很好解決很多問題。

例：（2017屆廣州一模理12）已知函數(shù)，則的值為（ ）

（A）0 （B）504

（C）1008 （D）2016

命題人的主要目的是為了考查三次函數(shù)的對稱性，下面筆者就用四種方法來討論一下三次函數(shù)的對稱性問題。

方法一：

例如，則，由于 f ′(x)關(guān)于對稱，所以 f(x)在左右兩側(cè)的增減性也是一致，故 f(x)一定存在對稱性（讀者可以自己簡單畫圖觀察），其一定是點(diǎn)對稱，故其有對稱性。

有同學(xué)可能會有疑惑這是從圖形定性分析，我們可不可以定量分析呢？

我們先假設(shè) f(x)關(guān)于(x0,y0)對稱，則對?x∈R都有

∴，所以其對稱中心為

方法二：

我們還可以由簡單到復(fù)雜的方式來研究三次函數(shù)對稱中心，

例如，

①當(dāng)b=c=d=0時，，關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱；

②當(dāng)b=d=0時，f(x)=ax3+cx為奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱；

③當(dāng)b=0時，f(x)=ax3+cx+d，即是在②的基礎(chǔ)上多了一個常數(shù)d，即f(x)=ax3+cx+d由f(x)=ax3+cx向上平移d個單位所得，故對稱中心為(0,d)；

④當(dāng)a,b,c,d都不為0時，，即是在③的基礎(chǔ)上多一個二次項(xiàng)bx2，怎么消除中的二次項(xiàng)呢？（這里可以聯(lián)想配方消除一次項(xiàng)）

（二項(xiàng)式定理展開式逆用）

而 f(x)向右平移個單位得，

∴g(x)關(guān)于點(diǎn)對稱，則f(x)關(guān)于點(diǎn)對稱，

由此兩種方式可知關(guān)于點(diǎn)對稱。

方法三：

借助方法二的思想假設(shè)函數(shù)經(jīng)過向量平移得到函數(shù)。

設(shè)g(x)上的點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，即有，設(shè)f(x)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2,y2)，

即。

由代入g(x)=ax3得，化簡得與相同。

由方法二里知：

∵g(x)=ax3為奇函數(shù)，對稱中心為(0,0)，經(jīng)過

平移得到。

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為。

方法四：利用高等數(shù)學(xué)結(jié)論

高等數(shù)學(xué)中三次函數(shù)的對稱中心即是函數(shù)圖像的拐點(diǎn)，即二階導(dǎo)數(shù)等于0的根為拐點(diǎn)橫坐標(biāo)，如設(shè)三次函數(shù)對稱中心為點(diǎn)(x0, y0)，即由二階導(dǎo)數(shù)可得，即對稱中心為。

現(xiàn)用以上四種方法得到結(jié)論解決廣州一模選擇題第12題。

解：，設(shè)對稱中心為(x0,y0)，

∴f′′(x)=6x-3 =0 得，代入得，即對稱中心為，

則由對稱中心的性質(zhì)得，

則，即選B。

推導(dǎo)過程中，用到了對稱中心的定義式，用多項(xiàng)式相等解方程得到對城中心，有助提高學(xué)生運(yùn)算變形能力。也用到簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維方式。而解題直接用到三次函數(shù)拐點(diǎn)結(jié)論直接得到對稱中心！為學(xué)生基本功和進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。