3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

湖北省十堰市張灣區(qū)田溝巷東風(fēng)高級(jí)中學(xué) 陳軍麗

學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系;會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)

重點(diǎn)與難點(diǎn)

會(huì)用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

一、問(wèn)題引入

問(wèn)題一：你會(huì)解下列方程么？

二、講授新課

1.設(shè)置問(wèn)題情境

問(wèn)題一：（1） 解下列一 元二次方程：

（2）畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：

①方程的根與對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？

答：其實(shí)方程的根就是函數(shù)圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

②對(duì)于一般的二次函數(shù)上述結(jié)論成立么？

一般結(jié)論：

2.函數(shù)零點(diǎn)的定義

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使____的實(shí)數(shù)x 叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。

提問(wèn)：零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？（零點(diǎn)指的是一個(gè)_____）

3.等價(jià)關(guān)系

方程f(x)=0有.實(shí)數(shù)根函數(shù)f(x)的圖象與x軸有_____函數(shù)y=f(x)有_____。

例1：討論下列函數(shù)的零點(diǎn)的情況：

思考：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)零點(diǎn)的定義，還學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，在這些知識(shí)的探究發(fā)現(xiàn)中，我們也有了一些收獲，那我們回過(guò)頭來(lái)看看能不能解決lnx+2x-6=0的根的存在性問(wèn)題？

4.零點(diǎn)存在性定理

探究：觀察二次函數(shù)的圖象（如圖），我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間[– 2，1]上有零點(diǎn)。計(jì)算f(-2)與f(1)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積有什么特點(diǎn)？在區(qū)間[2，4]上是否也具有這種特點(diǎn)呢？

結(jié)論：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 [a,b] 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0 ，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈ (a,b)， 使得f(c)=0 ，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。

零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，

并且有f(a) ·f(b)＜0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn).

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

例2：判斷正誤，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例

（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)· f(b)＜0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（ ）

（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)· f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).（ ）

（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b) ＜0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).（ ）

（4）若函數(shù)y= 5x2- 7x-1在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y= 5x2- 7x-1在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)的值( )

A.大于0 B.小于0

C.無(wú)法判斷 D.等于0

問(wèn)題：現(xiàn)在能夠不用畫(huà)圖解決lnx+ 2x- 6 = 0的根存在性及根的個(gè)數(shù)問(wèn)題了么？

三、課堂小結(jié)

1.函數(shù)零點(diǎn)的定義；

2.零點(diǎn)存在性定理；

3.數(shù)學(xué)思想方法。