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    《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

    2017-06-20 03:24:06湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué)向大勇
    衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2017年5期
    關(guān)鍵詞:交點(diǎn)零點(diǎn)意圖

    湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué) 向大勇

    一、教學(xué)任務(wù)分析

    1.通過對二次函數(shù)圖像的描繪,理解函數(shù)零點(diǎn)的概念,體會在解決問題過程的一般思維方法。

    2.通過對一般函數(shù)圖像的描繪分析,領(lǐng)會函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系,掌握零點(diǎn)存在的判定條件,培養(yǎng)學(xué)生對事物的觀察、歸納能力和探究能力。

    二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

    重點(diǎn):零點(diǎn)的概念及對零點(diǎn)存在性定理的準(zhǔn)確理解。

    難點(diǎn):零點(diǎn)所在區(qū)間的確定。

    三、教學(xué)基本流程

    四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

    (一)創(chuàng)設(shè)情境,感知概念

    1.實(shí)例引入

    解方程:(1)2-x=4;(2)2-x=x.

    意圖:通過純粹靠代數(shù)運(yùn)算無法解決的方程,引起學(xué)生認(rèn)知沖突,激起探求的熱情.

    2.一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

    問題1:方程的根與對應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)之間什么關(guān)系?

    填空:

    方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0根 x1= -1, x2=3 x1=x2=1 無實(shí)數(shù)根函數(shù) y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3圖象 圖象與x軸的交點(diǎn)兩個交點(diǎn):(-1,0),(3,0)一個交點(diǎn):(1,0)沒有交點(diǎn)

    問題2:這個結(jié)論對一般的二次函數(shù)和方程都成立嗎?

    學(xué)生討論,得出結(jié)論:一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    意圖:通過對二次函數(shù)圖象與相應(yīng)方程的根的關(guān)系,為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備.

    3.一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系

    問題3:其他的函數(shù)與方程之間也有類似的關(guān)系嗎?請舉例!

    師生互動,在學(xué)生提議的基礎(chǔ)上,老師加以改善,用幾何畫板展示如下函數(shù)的圖象:

    意圖:通過各種函數(shù),將結(jié)論推廣到一般函數(shù),為零點(diǎn)概念做好鋪墊.

    (二)辨析討論,深化概念

    4.函數(shù)零點(diǎn)

    概念:對于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

    問題4:零點(diǎn)是不是點(diǎn)?零點(diǎn)是不是f(0)?

    〖即興練習(xí)〗函數(shù)f(x)=x(x2-16)的零點(diǎn)為_______

    意圖:及時矯正“零點(diǎn)是交點(diǎn)”這一誤解.

    5.歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系

    問題5:函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有什么共同點(diǎn)和區(qū)別?

    (1)聯(lián)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

    (2)區(qū)別:零點(diǎn)對于函數(shù)而言,根對于方程而言.

    意圖:函數(shù)問題與方程問題有時可以相互轉(zhuǎn)化,這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).

    (三)實(shí)例探究,歸納定理

    6.零點(diǎn)存在性定理的探索

    問題6:需要怎樣的條件,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有零點(diǎn)?

    探究:(1)觀察二次函數(shù)f(x)=的圖象:

    在區(qū)間[-2,1]上有零點(diǎn)______;f(-2)·f(1)_____0(“<”或“>”).

    在區(qū)間(2,4)上有零點(diǎn)______;f(2)·f(4)____0(“<”或“>”).

    (2)觀察函數(shù)的圖象

    ①在區(qū)間(a,b)上___(有/無)零點(diǎn);f(a)·f(b) ___ 0(“<”或“>”).

    ②在區(qū)間(b,c)上___(有/無)零點(diǎn);f(b)·f(c)___ 0(“<”或“>”).

    ③在區(qū)間(c,d)上___(有/無)零點(diǎn);f(c)·f(d) ___ 0(“<”或“>”).

    意圖:通過歸納得出零點(diǎn)存在性定理.

    7.零點(diǎn)存在性定理

    若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

    〖即興練習(xí)〗下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)?

    (1)(2)f(x)=2xln(x-2)-3,x∈[3,5].

    意圖:通過簡單的練習(xí)適應(yīng)定理的使用.

    (四)正反例證,熟悉定理

    8.定理辨析與靈活運(yùn)用

    例1 判斷下列結(jié)論是否正確,若不正確,請使用函數(shù)圖象舉出反例:

    (1)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn). ( × )

    (2)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(b)≥0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn).( × )

    (3)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]滿足f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).( × )

    意圖:通過對定理中條件的改變,將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面給出,促進(jìn)對定理的準(zhǔn)確理解.

    9.練習(xí)

    (1)已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的,有如下的x,f(x)對應(yīng)值表:

    x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 -7 11 -5 -12-26

    那么函數(shù)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有 ( C )

    A.5個 B.4個 C.3個 D.2個

    (2)方程-x3-3x+5=0的根所在的大致區(qū)間為 ( B )

    A.(– 2,0) B.(0,1)C.(0,1) D.(1,2)

    意圖:一方面促進(jìn)對定理的活用,另一方面為突破后面的例題鋪設(shè)臺階.

    (五)總結(jié)整理,提高認(rèn)識

    (1)一個關(guān)系:函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系:

    (2)兩種思想:函數(shù)方程思想;數(shù)形結(jié)合思想.

    (3)三種題型:求函數(shù)零點(diǎn)、判斷零點(diǎn)個數(shù)、求零點(diǎn)所在區(qū)間.

    (六)布置作業(yè),獨(dú)立探究

    1.課后練習(xí)

    2.思考題

    方程2-x=x在區(qū)間______內(nèi)有解,如何求出這個解的近似值?請預(yù)習(xí)下一節(jié)。

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