《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué) 向大勇

一、教學(xué)任務(wù)分析

1.通過對二次函數(shù)圖像的描繪，理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，體會在解決問題過程的一般思維方法。

2.通過對一般函數(shù)圖像的描繪分析，領(lǐng)會函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系，掌握零點(diǎn)存在的判定條件，培養(yǎng)學(xué)生對事物的觀察、歸納能力和探究能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：零點(diǎn)的概念及對零點(diǎn)存在性定理的準(zhǔn)確理解。

難點(diǎn)：零點(diǎn)所在區(qū)間的確定。

三、教學(xué)基本流程

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，感知概念

1.實(shí)例引入

解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x.

意圖：通過純粹靠代數(shù)運(yùn)算無法解決的方程，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激起探求的熱情.

2.一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

問題1：方程的根與對應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)之間什么關(guān)系？

填空：

方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0根 x1= -1, x2=3 x1=x2=1 無實(shí)數(shù)根函數(shù) y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3圖象 圖象與x軸的交點(diǎn)兩個交點(diǎn)：(-1,0)，(3,0)一個交點(diǎn)：(1,0)沒有交點(diǎn)

問題2：這個結(jié)論對一般的二次函數(shù)和方程都成立嗎？

學(xué)生討論，得出結(jié)論：一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

意圖：通過對二次函數(shù)圖象與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備.

3.一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系

問題3：其他的函數(shù)與方程之間也有類似的關(guān)系嗎？請舉例！

師生互動，在學(xué)生提議的基礎(chǔ)上，老師加以改善，用幾何畫板展示如下函數(shù)的圖象：

意圖：通過各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)，為零點(diǎn)概念做好鋪墊.

（二）辨析討論，深化概念

4.函數(shù)零點(diǎn)

概念：對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).

問題4：零點(diǎn)是不是點(diǎn)？零點(diǎn)是不是f(0)？

〖即興練習(xí)〗函數(shù)f(x)=x(x2-16)的零點(diǎn)為_______

意圖：及時矯正“零點(diǎn)是交點(diǎn)”這一誤解.

5.歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系

問題5：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？

（1）聯(lián)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).

（2）區(qū)別：零點(diǎn)對于函數(shù)而言，根對于方程而言.

意圖：函數(shù)問題與方程問題有時可以相互轉(zhuǎn)化，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).

（三）實(shí)例探究，歸納定理

6.零點(diǎn)存在性定理的探索

問題6：需要怎樣的條件，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有零點(diǎn)？

探究：（1）觀察二次函數(shù)f(x)＝的圖象：

在區(qū)間[-2，1]上有零點(diǎn)______；f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）.

在區(qū)間(2，4)上有零點(diǎn)______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）.

（2）觀察函數(shù)的圖象

①在區(qū)間(a，b)上___(有/無)零點(diǎn)；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）.

②在區(qū)間(b，c)上___(有/無)零點(diǎn)；f(b)·f(c)___ 0（“＜”或“＞”）.

③在區(qū)間(c，d)上___(有/無)零點(diǎn)；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）.

意圖：通過歸納得出零點(diǎn)存在性定理.

7.零點(diǎn)存在性定理

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.

〖即興練習(xí)〗下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

（1）（2）f(x)=2xln(x-2)-3，x∈[3，5].

意圖：通過簡單的練習(xí)適應(yīng)定理的使用.

（四）正反例證，熟悉定理

8.定理辨析與靈活運(yùn)用

例1 判斷下列結(jié)論是否正確，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例：

（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)＜0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn). （ × ）

（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn).（ × ）

（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]滿足f(a)·f(b)＜0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn).（ × ）

意圖：通過對定理中條件的改變，將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面給出，促進(jìn)對定理的準(zhǔn)確理解.

9.練習(xí)

（1）已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對應(yīng)值表：

x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 －7 11 -5 －12－26

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有 （ C ）

A.5個 B.4個 C.3個 D.2個

（2）方程-x3-3x+5=0的根所在的大致區(qū)間為 （ B ）

A.(– 2，0) B.(0，1)C.(0，1) D.(1，2)

意圖：一方面促進(jìn)對定理的活用，另一方面為突破后面的例題鋪設(shè)臺階.

（五）總結(jié)整理，提高認(rèn)識

（1）一個關(guān)系：函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：

（2）兩種思想：函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想.

（3）三種題型：求函數(shù)零點(diǎn)、判斷零點(diǎn)個數(shù)、求零點(diǎn)所在區(qū)間.

（六）布置作業(yè)，獨(dú)立探究

1.課后練習(xí)

2.思考題

方程2-x=x在區(qū)間______內(nèi)有解，如何求出這個解的近似值？請預(yù)習(xí)下一節(jié)。