構(gòu)造幾何模型巧證不等式

湖北省武漢市馬房山中學(xué) 周 辰

對于那些具有明顯幾何意義的不等式，可以構(gòu)造平面幾何圖形、構(gòu)造解析幾何中的斜率公式、距離公式、定比分點公式、直線和圓、空間立體幾何等有關(guān)知識來證明不等式可以收到意想不到的效果。

一、構(gòu)造斜率模型巧證不等式

由△≥0，求得故不等式得證。

二、構(gòu)造“點到直線的距離”模型巧證不等式

例2：若x、y∈R且滿足ay―且x=a與y=b不同時成立），求證：c2≤x2+y2，c2≤a2+b2

三、構(gòu)造線段的定比分點公式巧證不等式

例3：關(guān)于x的二次方程x2+ax+b=0有兩個實根α、β，其中a、b∈R

（1）如果|a|＜2，|β|＜2，求證2|a|＜4+b且|b|＜4

（2）如果2|a|＜4+b且|b|＜4，求證：|a|＜2，|β|＜2

證明：由表達定理α+β=―a，αβ=b，設(shè)―4―b、2a、4+b分別為P1、P、P2在數(shù)軸上的坐標(biāo)。

（1）要證2|a|＜4+b，只需證―4―b＜2a＜4+b，即只需證P為線段P1P2的內(nèi)分點

又∵|a|＜2，|β|＜2 ∴λ＞0

故P為線段P1P2的內(nèi)分點，且|b|=|αβ|＜4

（2）由2|a|＜4+b即―4―b＜2a＜4+b，可知P為線段P1P2的內(nèi)分點，則由（1）可知即（4－a2）（4－β2）＞0，因此有a2＜4， β2＜4（若a2＞4，β2＞4與|b|=|αβ|＜4矛盾），即|a|＜2，|β|＜2

四、構(gòu)造直線與圓的位置關(guān)系巧證不等式

例4：已知a、b R且2a+3b=7，求證：

分析：待求不等式可視為：求的范圍，令聯(lián)想到是直線x+y=t上的點,又由聯(lián)想到也是圓x2+y2=9上的點，故設(shè)想構(gòu)造直線與圓相交或相切來證。

證明：設(shè)（x≥0，y≥0且不同時為零），則x2+y2=2a+3b+2=9，又設(shè)x+y=t

∵點（x、y）為直線x+y=t與圓x2+y2=9的公共點

五、構(gòu)造“距離之和”最小值問題巧證不等式

例5：若x∈R，求證：

證明：

設(shè)點P（x，0），A（0，2），B（3，1）則問題轉(zhuǎn)化為求x軸上的P點到A、B兩點的距離之和的最小值。

如圖所示，易知|AP|+|BP|=|A′P|+|BP|≥|A′B|

又∵故原不等式成立

六、構(gòu)造幾何圖形證明不等式

有些數(shù)學(xué)問題如按常規(guī)方法求解，有時會因過程較繁而陷入困境。如能從題目的結(jié)構(gòu)特征來分析問題，巧妙構(gòu)造合理的幾何圖形可起到事半功倍的效果。

1.構(gòu)造平面幾何圖形

例6 已知x、y∈R，求證分析：通過觀察題設(shè)的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到兩點間的距離公式，不等式的左邊如果看作動點（x、y）到點（-1、0）、（1、之間的距離的和，問題轉(zhuǎn)化為三條線段的長度和大于3，問題就迎刃而解。

證明：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（-1、0）、B（1、平面上的點P（x、y）

七、構(gòu)造立體幾何圖形

例7.已知銳角α、β、γ滿足求證：

分析：由于已知cos2α+ c os2β+cos2γ=1聯(lián)想到長方體，構(gòu)造長方體AC1，設(shè)它的長、寬、高分別為a、b、c，且設(shè)相交于同一頂點的三條棱與交于此頂點的對角線所成角分別為α、β、γ

證明：長方體AC1，對角線B1D與BB1、A1B1、B1C1所成的角分別為α、β、γ，設(shè) A1B1=a， BB1=b， B1C1=c

當(dāng)且反當(dāng)a=b=c，即α=β=γ時等號或成立，即證畢。

從以上例子可以看出，有些不等式的證明用常規(guī)方法證明較難入手，若選擇構(gòu)造幾何模型，利用幾何意義就可以很輕松地證明出來了。