“一題多變”在教學中的應用

林素平

【摘要】“一題多變”相信對于許多教師而言，都是不陌生的詞語，并且我們教師經常在課堂上廣泛地運用。一題多變側重點在于對某個問題或某類問題進行多角度、多方位、多層次的探究，可以極大地幫助了對學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，也提高了學生學習效率，同時也為創(chuàng)新提供了幫助。

【關鍵詞】一題多變 效率 發(fā)散思維

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）20-0119-02

教師是學生學習的領路人之一，在教學實踐中占主導作用，在課堂上如何去“導”占主體地位的學生進行高效地學習，經常是教師們探討的熱門話題。著名教育家陶行知先生說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學”；因此我們的教學重點是培養(yǎng)學生的思維能力，而且我們教師也經常在教學中一點一滴的有意識地做。

教學中，“一題多變”是學生發(fā)散思維培養(yǎng)的一種有效方法之一，進行適當的一題多變，可以幫助學生打破思維定勢，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。課堂教學中，教師在引導學生解題時多進行變式訓練是極有必要的，它能帶來諸多益處。

下面是學生對在課堂上遇到“直線到底有多少條” 的例題及其變式題的做法。

例1 過點M（2，1）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，O為原點，且S△OPQ=4，則符合條件的直線l有 （ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

【解答】解：設直線l的方程為：y-1=k（x-2），則P（2- ，0），Q（0，1-2k）.

∴S△OPQ=4= 2- 1-2k，化為： -4=±8，

化為：4k2-12k+1=0，4k2+4k+1=0，

解得k= ，或k=- .

因此符合條件的直線l有3條。

故選：C.

例2過點M（2，1）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，O為原點，且S△OPQ=8，則符合條件的直線l有（ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

學生這時很有疑問了，難道這種題型有規(guī)律？

答案是肯定的，根據上面的解法很快地得出結論符合條件的直線有4條，學生這時又想，何時滿足條件的直線是2 條，3條，4條？有沒有可能出現1條或不存在直線的情況？同學的學習好奇心現已被我們調動，我們老師趁熱打鐵說我們來研究一下，先畫畫圖，如圖：

連結OM為直線l，當l分別按逆時針和順時針旋轉至m和n時，直線與坐標軸所圍成的面積從0逐漸增加至無窮大，因此，無論直線與坐標軸所圍成的面積是多少，所求的直線至少有兩條，且k>0，當k<0時是否有直線滿足條件？

【解答】解：設直線l的方程為：y-1=k（x-2），則P（2- ，0），Q（0，1-2k）.

∴S△OPQ= 2- 1-2k，化為： -4=-2S，

化為：4k2+（2S-4）k+1=0，

當△=（2S-4） -16=0k1+k2=- <0，k1·k2= >0方程只有一個負根，此時k<0的滿足條件的直線有一條，因此符合條件的直線一共有3條。

當△=（2S-4） -16>0k1+k2=- <0，k1·k2= >0即S>4時，方程有2個不等的負根，此時k<0的滿足條件的直線有2條，因此符合條件的直線一共有4條。

學生這時想探究，過一點M（a，b）其中a≠0，b≠0的直線l，與坐標軸圍成的面積為S的直線到底有多少條？

【解答】解：設直線l的方程為：y-b=k（x-a），

則p（a- ，0），Q（0，b-ak）

∴S△OPQ= a- ·b-ak=S

化為： =±2S，

化為：a2k2-（2S+2ab）k+b2=0（1）或a2k2+（2S-2ab）k+b2=0 （2）

由（1）得△1=（2S+2ab）2-4a2b2=4S（S+2ab）

由（2）得△2=（2S-2ab）2-4a2b2=4S（S-2ab）

①當ab≥0時，△1>0，方程（1）有兩個不等的實根

當S>2ab時，△2>0，方程（2）也有兩個不等的實根

即當S>2ab≥0時，此時滿足條件的直線有4條

當S=2ab，△2=0，方程（2）也有兩個不相等的實根，此時滿足條件的直線有3條

當0

②當ab≤0時，△2>0，方程（2）有兩個不等的實根

當S>-2ab時，△1>0，方程（1）也有兩個不等的實根

即當S>-2ab≥0時，此時滿足條件的直線有4條

當S=-2ab時，△1=0，方程（1）也有兩個不相等的實根，此時滿足條件的直線有3條

當0

綜上所述，滿S>2ab時，滿足條件的直線有4條

當S=2ab時，滿足條件的直線有3條

當S<2ab時，滿足條件的直線有2條

這樣，教師通過引導學生探究直線有多少條，對題目進行一題多變，得到一系列“新”的題目，充分調動學生探討問題的求知欲，找到歸納一類問題解題方法與技巧，提高學生對學習的積極性和主動性，同時也提高了學生學習的效率和自主探究能力，教師提高了課堂教學效率，也培養(yǎng)學生思維的探索性。

參考文獻：

[1]李學數《數學和數學家的故事》第一冊 P10

[2]上海科學技術出版社 發(fā)行時間： 2005年01月01日