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      慢教學(xué),慢思考,大收獲
      ——記一節(jié)習(xí)題課教學(xué)

      2017-06-13 09:22:26筅貴州省息烽縣第一中學(xué)王守康
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年11期
      關(guān)鍵詞:證法零點最值

      筅貴州省息烽縣第一中學(xué)王守康

      慢教學(xué),慢思考,大收獲
      ——記一節(jié)習(xí)題課教學(xué)

      筅貴州省息烽縣第一中學(xué)王守康

      現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué),很多同學(xué)或老師追求課堂的容量,然而,將節(jié)奏放慢,引導(dǎo)學(xué)生從多角度對典型題目隱含的信息進行審視和深層次挖掘,體會解題所用知識、方法、數(shù)學(xué)思想及知識與方法的聯(lián)系,反思解題過程中的障礙以及解決該題的關(guān)鍵,對學(xué)生形成挖掘題目信息的習(xí)慣,尋找解題規(guī)律有重要意義,會讓同學(xué)和老師有意想不到的收獲.下面筆者以最近課堂的一節(jié)上課實錄,談?wù)勏敕?

      題目已知函數(shù)f(x)=ax2+xlnx.若a=-e,證明:方程2(fx) -3x=2lnx無解.

      (學(xué)生充分思考,動筆去解,老師巡視……)

      教師:誰來談?wù)効捶ǎ?/p>

      學(xué)生1(證法1):我先想到的是“想辦法把絕對值去掉”.

      因為a=-e,

      原方程可化為2|ex2-xlnx|=3x+2lnx(x>0).

      令h(x)=ex-lnx,

      min

      所以h(x)=ex-lnx>0.

      又x>0,

      所以ex2-xlnx>0.

      因此原方程可化為2(ex2-xlnx)=3x+2lnx(x>0).①

      進一步化為2ex2-2(x+1)lnx-3x=0(x>0).②

      令g(x)=2ex2-2(x+1)lnx-3x,

      接下來我就不知咋辦了?

      教師:為了研究問題的方便,想到去掉絕對值,很好!而且想到因為x>0,所以只需判斷h(x)=ex-lnx的符號,通過求導(dǎo),求出=1+1>0,從而判斷了符號,達到去掉絕對值的目的更是聰明!在對①式進行轉(zhuǎn)化時,把非零項都放在了方程一邊,也是很自然的思路.問題就在于我們無法求出g′(x)的零點,觀察法也不行,從而無法求g(x)最值,很遺憾,此路不通!

      課堂一片寂靜!

      (數(shù)秒后)學(xué)生2:我們沒有必要求出零點,我們只要由零點存在性定理判斷g′(x)有變號零點就可以了.設(shè)出隱零點x0(設(shè)而不求),然后利用方程f′(x0)=0進行代換,從而求最值.

      教師:你太厲害了!大家趕快試試,看看能否行得通?

      課堂再次安靜下來,個個爭先恐后地動起筆來.

      學(xué)生3:我判斷出了有零點.

      教師:很好.這個零點唯一嗎?

      所以g′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).

      教師:大家太厲害了!這樣我們很容易判斷x0是g(x)的極小值點,也是最小值點.那么目標能實現(xiàn)嗎?

      經(jīng)過一會兒演算,我看到的是個個愁眉苦臉!

      教師:誰來談?wù)動龅搅耸裁蠢Щ螅?/p>

      000

      而11-6e<0,因此無法判斷g(x)min的符號.

      教師:這下白忙了!有解決辦法嗎?

      學(xué)生6:有.把隱零點x0的范圍再縮小點.

      這時課堂氣氛顯得異常熱烈!

      =5-e-2ln2>2-2ln2>0,

      教師:這樣能行了嗎?

      同學(xué)們又迫不及待地進行嘗試……

      學(xué)生8:我做出來了!

      我看到他興奮的樣子,就立即讓他說說看.

      教師:經(jīng)過大家努力終于大功告成,我們在此題的探究中遇到了太多挫折,同時得到太多意外收獲,可喜可賀!也許這就是我們的數(shù)學(xué)人生!這樣就得到g(x)>0,從而方程②(其實是g(x)=0)無解,即原方程無解.

      正在總結(jié)時,數(shù)學(xué)課代表積極地舉手要發(fā)言.

      令h(x)=ex-lnx,

      易知,當(dāng)(0,e)時,φ′(x)>0,所以φ(x)在(0,e)上為增函數(shù);

      當(dāng)(e,+∞)時,φ′(x)<0,所以φ(x)在(e,+∞)上為減函數(shù).

      因此,h(x)>φ(x)(x>0).

      故方程④無解,即原方程無解.

      教師:太神奇了!只是做了簡單的變形,然后用最值法,證法大大簡化,方程①還有其他的變形方式嗎?能行得通嗎?

      結(jié)果這一做法起了拋磚引玉的作用,課堂氣氛更加活躍,接下來又有同學(xué)給出了兩種不同證法.

      學(xué)生10(證法3):方程①可化為2ex2-2xlnx-3x-2lnx= 0(x>0).⑤

      由證法2知,h(x)=ex-lnx≥2.

      因此,對于方程⑤,

      左邊=2x(ex-lnx)-3x-2lnx≥4x-3x-2lnx=x-2lnx.

      令F(x)=x-2lnx(x>0),

      易知,F(xiàn)(x)min=F(2)=2-2ln2>0.

      因此,方程⑤左邊>0,所以方程⑤無解.

      故原方程無解.

      學(xué)生11(證法4):我是利用常用不等式lnx≤x-1(x=1時取等號)進行放縮的.

      因為lnx≤x-1,

      所以-2(x+1)lnx≥-2(x2-1)(x>0).

      方程①可化為2ex2-3x-2(x+1)lnx=0(x>0).⑥

      對于方程,⑥左邊≥2ex2-3x-2(x2-1)=2(e-1)x2-3x+ 2.

      令m(x)=2(e-1)x2-3x+2,

      則Δ=9-16(e-1)<0.

      故m(x)>0恒成立.

      因此方程⑥左邊>0,所以方程⑥無解.

      故原方程無解.

      教師:你們太聰明了!多好的放縮法!放縮法在證明不等式中經(jīng)常有神奇表現(xiàn),大家以后可多多嘗試!它很具挑戰(zhàn)性,特別是要放縮有度,有時要調(diào)整這個“度”!

      此時下課鈴聲響起!

      我看到了學(xué)生臉上的表情:驚嘆之余,有些不舍和遺憾!

      高中數(shù)學(xué)教學(xué)其實就是解題過程的教學(xué),解題就是把待解決或未解決的問題,化歸為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題,特別對于高考試題就是將高考試題化歸為課堂上已經(jīng)解決的問題,或化歸為往年的高考題或其變形,而理解題意是解題過程的第一環(huán)節(jié),也是核心環(huán)節(jié).若草草拋給學(xué)生答案,學(xué)生收獲甚微,只有讓課堂教學(xué)慢下來,從題目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點、推理目標、及溝通起點與目標之間聯(lián)系的更多信息,才能不斷培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.在平時的教學(xué)中,我們教師要充分相信學(xué)生,教學(xué)中要多給一點學(xué)生自由思考的時間,教師不能只按照自己事先想好的思路來教學(xué),否則就會限制學(xué)生的思維,強扭學(xué)生的思維,題目剛出來就先進行提示或分析,那樣做會扼殺學(xué)生的自主思維能力,剝奪學(xué)生的自由創(chuàng)造空間.在學(xué)生還沒來得及思考的時候,老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦,使他們服從于已有的模式,這對他們思維能力的形成是個不小的打擊.

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