例析坐標系與參數(shù)方程

劉忠君

在學習坐標系與參數(shù)方程的過程中，要強化數(shù)學思維的培養(yǎng)，重視思想與方法的提煉，加強題型的積累與知識的應用.

點的極坐標與直角坐標

例1 取直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸.

（1）點的極坐標是 ，點的直角坐標是 ；

（2）已知點的極坐標為，則點關于極軸的對稱點的極坐標是 ，點關于極點的對稱點的極坐標是 ，點關于直線的對稱點的極坐標是 .

解析 （1）由互化公式得，點的極坐標為，點的直角坐標為.

（2）畫出坐標系（圖略），由對稱性得，，，.

點評 利用互化公式，將點的極坐標化為直角坐標較為容易，而將直角坐標化為極坐標時，唯一確定，但由（）確定角時，一般應根據(jù)點所在的象限取最小正角. 另外，第（2）問也可推廣，即點關于極軸的對稱點為，關于極點的對稱點為，關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點為.

極坐標方程與直角坐標方程的互化

例2 （1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設兩條曲線與分別交于兩點，求線段的長.

解析 （1）∵，

∴，即.

∴. 化簡得，.

（2）方法1：由得，.

又，

∴.

∴.

由得，A（1，0），.

由距離公式得，.

方法2：聯(lián)立與解得，

.

又，∴，或.

∴A（1，0），B（1，）. 畫出圖形（略），由余弦定理得，.

點評 極坐標與直角坐標互化的條件是：極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正方向重合且長度單位一致. 其次，極坐標方程化為直角坐標方程，通常要進行一系列的變形（如三角恒等變形），構造出形如，，等式子，然后進行整體代換. 注意：在對方程進行變形時，方程必須同解，因此要對變形過程加以檢驗. 另外，在直接利用極坐標方程求解（如方法2）時，一要注意極角的范圍，二要結(jié)合圖形，否則容易出錯.

參數(shù)方程與普通方程的互化

例3 當時，參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的圖形是 .

解析 方法1：原方程可化為①，②，兩式相除得，③.

將③式代入②式中并化簡得，方程（），其圖形是橢圓（除掉點（0，-1））.

方法2：原方程可化為，.

令（，），

則 消去得，（），其圖形是橢圓（除掉點（0，-1））.

點評 將參數(shù)方程化為普通方程，應根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒? 常見的消參方法有：代入消參法、三角消參法和變換法. 在消參的過程中，要注意參數(shù)的取值范圍對的取值范圍的限制（即參數(shù)方程與普通方程的等價性）.

曲線的極坐標方程、參數(shù)方程的求法

例4 在極坐標系中，為極點，半徑為2的圓的圓心的極坐標為（2，）.

（1）求圓的極坐標方程；

（2）是圓上一動點，點滿足，以極點為原點，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，求點的軌跡的極坐標方程.

解析 （1）設是圓C上任意一點，過點C作CH⊥OM于H點，則Rt△COH中，OH=OC·cos∠COH.

∵∠COH=∠COM=，OH=OM=，OC=2，

∴=2cos，即為所求的圓C的極坐標方程.

（2）設點Q的極坐標為，∵，

∴P的極坐標為（）.

代入圓C的極坐標方程得，=4cos（），即.

∴，此方程即為點Q的軌跡的極坐標方程.

點評 （1）求曲線的極坐標方程的一般步驟：①建立適當?shù)臉O坐標系，設是曲線上任意一點；②由曲線上的點所滿足的條件，建立關于極徑與極角之間的關系式（或方程）；③將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程；④檢驗并確認所得的方程即為所求.

（2）本例是在準確把握圖形特征的基礎上，直接在極坐標系中進行變換求解的. 另外，求曲線的極坐標方程時，也可先求曲線的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程.

例5 在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 設橢圓的長軸長為10，中心為（3，0），一個焦點在直角坐標原點. 當橢圓的過直角坐標原點的弦的長度為時，求弦所在的直角坐標方程.

解析 橢圓的方程為，其極坐標方程為.

設過直角坐標原點的弦的所在的直線的傾斜角為，弦的兩端點分別為，，

則有，.

又由題意得，.

所以.

解得，.

所以，或.

所求直線方程為，或.

點評 本例在處理過橢圓中心的弦長時，用極坐標方法比直角坐標方法要簡便的多. 另外，圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程為（為離心率，為焦點到準線的距離）.當時表示橢圓，當時表示拋物線，當時表示雙曲線. 用此方程解決與圓錐曲線有關的某些問題，可避免復雜的計算.

例6 如圖，已知拋物線，A（-1，0），過點的直線與拋物線交于兩點，且直線上的點滿足，求動點的軌跡方程.

解析 設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入拋物線方程得，，化簡得，.

設所對應的參數(shù)分別為，，

則，.

由韋達定理得，，.

設對應的參數(shù)為，則.

由得，.

∴，即.

∴，即為動點的軌跡方程.

點評 本例既可看作是“參數(shù)法”求曲線方程的一個實例，也可看作是直線的參數(shù)方程的應用. 解決此類問題時，一要熟練掌握常見曲線的參數(shù)方程形式和參數(shù)的意義，二要把握題設中的條件與參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 注意，參數(shù)可以是一個有物理意義或幾何意義的變量，也可以是沒有明顯實際意義的變量.

曲線的極坐標方程、參數(shù)方程的應用

例7 （1）在極坐標系中，點到直線的距離等于 .

（2）已知直線：（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于兩點，則= .

解析 （1）由互化公式得，點對應的直角坐標為，直線對應的直角坐標方程為，故所求距離為1.

（2）直線的方程化為標準式即為（為參數(shù)），曲線的方程可化為.

將，代入并化簡得，

.

由韋達定理得，，.

故.

點評 在極坐標系中求解距離問題，一是轉(zhuǎn)化為直角坐標系中的距離求解，二是在極坐標系中構造三角形，利用余弦定理求解. 同理，參數(shù)方程問題也可轉(zhuǎn)化為普通方程問題求解. 注意：直接利用直線的參數(shù)方程求解時，一定要將直線的參數(shù)方程化為標準形式（為參數(shù)），并注意參數(shù)的幾何意義.

例8 （1）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）. 在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線，直線（其中滿足，）. 若曲線與的公共點都在上，則= .

（2）在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）. 在極坐標系中，圓C的方程為. 若圓C與直線相切，則= .

解析 （1）由題意知，曲線的普通方程是，①

曲線的直角坐標方程是，②

直線的直角坐標方程是.

①-②得，.

由題意知，此方程即為的方程.

故.

又，所以.

（2）直線的普通方程為.

由題意得，，解得，，或6.

點評 涉及參數(shù)方程與極坐標方程的綜合問題，求解方法通常是分別轉(zhuǎn)化為普通方程與直角坐標方程后求解. 極坐標方程在轉(zhuǎn)化時應注意兩坐標系之間的關系，同時還要考慮，的限制條件與題中的隱含條件.