2.2 完全壟斷廠商利潤(rùn)函數(shù)
定義1假設(shè)第i(i=1,…,N)個(gè)廠商完全壟斷電力市場(chǎng)，稱此時(shí)發(fā)電商商i(i=1,2)的利潤(rùn)與其電價(jià)pi之間的數(shù)量關(guān)系為發(fā)電商i(i=1,2)的利潤(rùn)函數(shù)，記為Πi(pi)|ki,si,ei，以下在不引起歧義的情況下簡(jiǎn)寫(xiě)為Πi(pi)。假定發(fā)電商i(i=1,2)的支付函數(shù)為其獲得的預(yù)期利潤(rùn)。
(3)
最大壟斷利潤(rùn)的一階條件為：
(4)
根據(jù)(3)，設(shè)零利潤(rùn)價(jià)格為p#i(i=1,2)，即：
Πi(pi)=0
(5)
因此根據(jù)(6)可知，發(fā)電商i的零利潤(rùn)價(jià)格為：
(6)
根據(jù)(3)，為保證發(fā)電商在完全壟斷時(shí)的利潤(rùn)為正，需要假定：
(7)
因此，根據(jù)(7)，(6)式有意義。記：
i=1,2
(8)
2.3 最優(yōu)反應(yīng)
以下考慮對(duì)稱雙寡頭模型，即假定
k1=k2=k,s1=s2=s,e1=e2=e
由于納什均衡是參與人最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)的交集[12]。本節(jié)先構(gòu)建發(fā)電商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。
給定發(fā)電商2的純策略即價(jià)格p2，發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)是發(fā)電商1的最優(yōu)價(jià)格。最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)一般是集值函數(shù)，即可能有多個(gè)最優(yōu)價(jià)格，它們構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)反應(yīng)集(也可以是空集)。因此最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是一種映射或者集值函數(shù)。
下面將發(fā)電商2的策略(p2)分別置于不同的三個(gè)區(qū)間來(lái)求解發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略集。這三個(gè)區(qū)間分別為：
定理1
如果p2∈I1，發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略集為：
3)其他情形下，發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1>p2。
證明見(jiàn)附錄A。
定理2
如果p2∈I2，則發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1=p2，當(dāng)且僅當(dāng)π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)。
證明見(jiàn)附錄B。
定理3
2.4 納什均衡
根據(jù)不同情形的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)交集，納什均衡只可能是前面的兩種情形，并且要求下面的條件成立：
2)π1=Π1(p2)|2h,k,s,e≥Π1(p2),p2∈I2
并且，如果要求均衡利潤(rùn)大于零，則在上述兩種情形里面都進(jìn)一步要求有
所有的納什均衡都滿足p1=p2。
證明見(jiàn)附錄C。
由于所有的納什均衡都滿足p1=p2，即不可能存在單一廠商完全壟斷市場(chǎng)的均衡。
記發(fā)電商完全壟斷利潤(rùn)函數(shù)非負(fù)的價(jià)格區(qū)間為
D=[p#1s|2h,p#1b|2h]
在p2∈I1存在非負(fù)利潤(rùn)的均衡條件是：
I1∩D非空,即下面的條件成立：
根據(jù)(4)和(8),該條件為：
p2∈I2存在正利潤(rùn)的均衡條件是：
因?yàn)閍-p2>0
(9)
是在p2∈I2存在正利潤(rùn)的充分必要條件。
根據(jù)(4)和(8)，考察下面不等式成立的
可能性：
(10)
(10)是可能成立的。
如果h充分大(給定其他參數(shù)不變)，(10)就成立。在這些場(chǎng)合，在p2∈I2存在正利潤(rùn)的均衡。這說(shuō)明，存在使得(9)成立的條件。這樣在p2∈I2就存在正利潤(rùn)的均衡。
繼而，根據(jù)納什均衡，對(duì)稱雙寡頭發(fā)電商Bertrand模型純策略均衡利潤(rùn)為非負(fù)和正數(shù)的條件可由定理4給出。
定理4 對(duì)稱雙寡頭發(fā)電商Bertrand博弈僅當(dāng)k=e=qic=0,i=1,2以外的情形，才可能存在正利潤(rùn)的， 如果存在正的均衡利潤(rùn)，帶來(lái)正均衡利潤(rùn)的均衡必定是p1=p2∈I2的情形。且在p2∈I2存在正利潤(rùn)的充分必要條件為式(11)。
(11)
證明見(jiàn)附錄D。
3 均衡狀態(tài)的勒拿指數(shù)上限
考慮可能的均衡狀態(tài)，均衡價(jià)格p1=p2=pN
qi∈[qs,qb],i=1,2
(12)
其中，式(12)表示發(fā)電市場(chǎng)中的安全不等式約束，包括機(jī)組的處理上下限、線路傳輸容量極限等約束條件[20-21]，其中qs，qb為常數(shù)。
假設(shè)均衡價(jià)格滿足下式：
pi∈[a-2hqb,a-2hqs]
(13)
根據(jù)(4)
此時(shí)I2的上限隨著差價(jià)合約電量的上升而下降。因?yàn)镮2的上限也正是所有納什均衡價(jià)格的上限，因此存在抑制均衡價(jià)格的效應(yīng)。
勒拿指數(shù)為
(12)
由于差價(jià)合約電量qic(i=1,2)的增加會(huì)導(dǎo)致均衡價(jià)格的上限下移，因此抑制均衡價(jià)格，從而也有抑制勒拿指數(shù)的效應(yīng)。
由于可能存在多重納什均衡，在這里分析勒拿指數(shù)的抑制效應(yīng)只能夠從這種意義上進(jìn)行，因?yàn)殡y以判斷由于差價(jià)合約電量qic(i=1,2)的增加如何影響均衡的移動(dòng)。
4 算例
上節(jié)指出在對(duì)稱雙寡頭發(fā)電商的電力市場(chǎng)中，在拓展Bertrand博弈納什均衡中，每一個(gè)發(fā)電商的差價(jià)合約電量越大，其勒拿指數(shù)上限會(huì)下移，因而差價(jià)合約電量的增加有抑制市場(chǎng)力量的作用。為了更好地說(shuō)明絕對(duì)量差價(jià)合約的市場(chǎng)力抑制作用，本節(jié)給出一個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。雙寡頭發(fā)電商的數(shù)據(jù)如表1所示。
表1 雙寡頭發(fā)電商的各個(gè)參數(shù)數(shù)據(jù)
根據(jù)(4)可知，可得到圖1和圖2。圖1表示了均衡價(jià)格上限的移動(dòng)，圖2表示了勒拿指數(shù)的移動(dòng)。其中，均衡價(jià)格單位為元/KWh，合約電量單位為KWh。由圖1和圖2可以看出，均衡價(jià)格上限與絕對(duì)量差價(jià)合約電量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，勒拿指數(shù)上限隨著合約電量增加而下降。因此，上節(jié)的結(jié)論在這里得到了更好的說(shuō)明，即在對(duì)稱雙寡頭電力市場(chǎng)中，絕對(duì)量差價(jià)合約電量的增加會(huì)抑制發(fā)電商的均衡價(jià)格，進(jìn)而抑制市場(chǎng)力。
圖1 均衡價(jià)格上限與絕對(duì)量合約電量的關(guān)系圖
圖2 勒拿指數(shù)上限與絕對(duì)量合約電量的關(guān)系圖
5 結(jié)語(yǔ)
本文通過(guò)將經(jīng)典的Bertrand拓展到非常數(shù) 邊際成本的二次冪函數(shù)情形，發(fā)現(xiàn)存在正均衡利潤(rùn)的可能性，并導(dǎo)出了出現(xiàn)正均衡利潤(rùn)的一個(gè)充分必要條件。然后運(yùn)用該拓展Bertrand分析了相對(duì)電量差價(jià)合約對(duì)于發(fā)電商市場(chǎng)力量的抑制效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)相對(duì)電量差價(jià)合約存在對(duì)于發(fā)電商市場(chǎng)力的抑制效應(yīng)，因?yàn)榫鈨r(jià)格存在區(qū)間的上限在相對(duì)電量差價(jià)合約電量增加時(shí)下降了，同時(shí)也導(dǎo)致勒拿指數(shù)分布區(qū)間下移。本文的研究限于對(duì)稱雙寡頭博弈的情形，結(jié)論在非對(duì)稱和多發(fā)電商的情形可以進(jìn)行類似的推廣，只不過(guò)在數(shù)學(xué)上更加復(fù)雜而已。
附錄A定理1的證明：為得到p2∈I1時(shí)發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略集，需分情況討論
時(shí)的完全壟斷發(fā)電商的利潤(rùn)函數(shù)。
2)當(dāng)p#1s|2h0，因此此時(shí)發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1=p2。
3)當(dāng)p2=p#1s|2h或者p2=p#1b|2h發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1≥p2
其他情形發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1>p2，證畢。
當(dāng)p1>p2，發(fā)電商1的利潤(rùn)為零，也存在占優(yōu)其的其他價(jià)格策略，所以不是最優(yōu)策略。只有當(dāng)p1=p2，π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)達(dá)到發(fā)電商1的最大利潤(rùn)，所以此時(shí)發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1=p2，證畢。
附錄C納什均衡的證明：下面將發(fā)電商2的策略(p2)分別置于不同的三個(gè)區(qū)間來(lái)求解發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略集。這三個(gè)區(qū)間分別為：
其中Π1(p2)|2h表示需求曲線為p=a-2h(q1+q2)時(shí)的完全壟斷發(fā)電商的利潤(rùn)函數(shù)。
其他情形發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1>p2。
當(dāng)p1>p2，發(fā)電商1的利潤(rùn)為零，也存在占優(yōu)其的其他價(jià)格策略，所以不是最優(yōu)策略。只有當(dāng)p1=p2，π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)達(dá)到發(fā)電商1的最大利潤(rùn)，所以此時(shí)發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)策略是p1=p2。
納什均衡是所有參與人的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)的交集。
此時(shí)，根據(jù)不同情形的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)交集如下：
1)p2∈I1，注意到此時(shí)發(fā)電商1的最優(yōu)反應(yīng)價(jià)格都滿足p1≥p2，在對(duì)稱條件下，顯然一定有p1≤p2，所以有p1=p2，因此有前提條件：
p#1s|2h≤p2≤p#1b|2h
僅在該條件滿足時(shí)才存在均衡。
2)p2∈I2，注意到此時(shí)如果有納什均衡，則一定有
p1=p2
并且此時(shí)有
π1=Π1(p2)|2h,k,s,e≥Π1(p2)
附錄D定理4的證明：
由于所有的納什均衡都滿足p1=p2，即不可能存在單一廠商完全壟斷市場(chǎng)的均衡。
記發(fā)電商完全壟斷利潤(rùn)函數(shù)非負(fù)的價(jià)格區(qū)間為
在p2∈I1存在非負(fù)利潤(rùn)的均衡條件是：
I1∩D非空,即下面的條件成立：
根據(jù)(4)和(8),該條件為：
p2∈I2存在正利潤(rùn)的均衡條件是：
因?yàn)閍-p2>0
(13)
是在p2∈I2存在正利潤(rùn)的充分必要條件。
根據(jù)(4)和(8)，考察下面不等式成立的可能性：
(14)
(14)是可能成立的。
如果h充分大(給定其他參數(shù)不變)，(14)就成立。在這些場(chǎng)合，在p2∈I2存在正利潤(rùn)的均衡。這說(shuō)明，存在使得(13)成立的條件。這樣在p2∈I2就存在正利潤(rùn)的均衡。
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ABertrandModelbasedonContractsforDifferenceforInhibitingMarketPower
PUYong-jian,SUNXian-hua
(School of Economics and Business Administration, Chongqing University, Chongqing 400044, China)
In this paper, the market power inhibiting effects of contracts for differences are studied. Due to oligopolistic characters owned by the electricity market, it is of great importance to focus on methods that could help restricting the market power of generators. The contract for differences is considered an effective way to control market power according to former researches, but the model we propose has the following characters that make our research special and creative. First of all, it is based on Bertrand model, which is properly applied in the electricity market, without adding any exogenous factors suggesting the relationship between the bidding price and the electricity quantity. It provides conditions that guarantee positive profit of generators. Secondly, Lerner index is introduced to the model for assessing market power. The main parts of this paper include the Nash equilibrium of generators in an identical duopoly electricity market (which is gained by analyzing the best responses of each generator), the superior limit of both equilibrium price and Lerner index, the conditions to guarantee positive profit and illustration of identical duopoly electricity market by data simulation. Finally, the conclusion that the absolute electric quantity contract for difference has inhibiting effect on market power in an identical duopoly electricity market is drawn through the movement of the superior limit of Lerner index. This research provides a tool for other researches that consider using Bertrand model for analyzing contractual problems in electricity market, which is not often used in former researches due to the zero profit of classical Bertrand model, though it actually matches the electricity market.
contract for difference;Lerner index;electricity market;Bertrand game;market power
1003-207(2017)05-0109-07
10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.05.013
2015-07-13；
2015-12-22
重慶市“兩江學(xué)者”計(jì)劃專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目; 重慶大學(xué)人文社科重點(diǎn)基地創(chuàng)新研究項(xiàng)目(106112015CDJSK02JD04)
蒲勇健(1961-), 男(漢族), 重慶渝中人,重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院, 教授, 博士生導(dǎo)師, 研究方向：能源經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論及數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，E-mail:puyjan@sina.com.
F224.9
A
