一維玻色愛因斯坦凝聚中的空間孤子能態(tài)密度初步研究

熊擇正　袁一帆??

摘要：在玻色愛因斯坦凝聚體系中，玻色子由于體系極低的溫度，較弱的相互作用以及位置空間中的外場(chǎng)相互作用，其狀態(tài)波函數(shù)在位置空間呈現(xiàn)孤子形態(tài)。在本文中，我們研究了堿金屬原子體系在方勢(shì)阱中體系空間波函數(shù)與動(dòng)量空間能態(tài)密度的轉(zhuǎn)化問題，為低溫下BEC體系的孤子熱力學(xué)問題分析提供了研究基礎(chǔ)，為相關(guān)量子體系（如無相互作用或者弱相互作用體系）的研究提供了嶄新的方法和思想。

關(guān)鍵詞：玻色愛因斯坦凝聚；孤子；空間波函數(shù)；能態(tài)密度函數(shù)

1924年，玻色和愛因斯坦在理論上預(yù)言了玻色愛因斯坦凝聚現(xiàn)象的存在，即當(dāng)理想玻色子被冷卻到一個(gè)臨界溫度以下時(shí)，將發(fā)生相變，形成一種新的物質(zhì)狀態(tài)——波色愛因斯坦凝聚態(tài)。在凝聚體中，宏觀數(shù)量上的玻色原子占據(jù)能量最低態(tài)，并且表現(xiàn)出相同的量子特性，從而得以在宏觀上觀測(cè)BEC現(xiàn)象。在本文中，我們根據(jù)絕對(duì)零度（或者極低溫度）時(shí)，能描述精確玻色愛因斯坦凝聚的動(dòng)力學(xué)行為的GrossPitaevskii（GP）方程和其他學(xué)者研究方勢(shì)阱中的體系波函數(shù)的結(jié)果，探索了BEC體系下如何求得孤子在動(dòng)量空間中的能態(tài)密度函數(shù)。

1 利用方勢(shì)阱囚禁玻色子氣體的系統(tǒng)孤子行為

近年來，方勢(shì)阱已經(jīng)成功地被添加到BEC的實(shí)驗(yàn)中。根據(jù)BEC的電磁相互作用本質(zhì)，方勢(shì)阱可以通過電勢(shì)的突然變化來實(shí)現(xiàn)。下面我們就以這種理想化的方勢(shì)阱作為條件來研究其作用下BEC孤子特性。

首先根據(jù)GP方程，如果我們將一個(gè)方勢(shì)阱添加在BEC系統(tǒng)中，我們可以得到以下的方程：

ih-[SX（]ψ[]t[SX）]=[SX（]-h-2[]2m[SX）][SX（]ψ[]x2[SX）]+V（x）ψ+g|ψ|2ψ[JY]（1）

其中V（x）[JB（{]V0，-[SX（]L[]2[SX）]0，|x|≥[SX（]L[]2[SX）][JB）]

將其無量綱化（為了數(shù)學(xué)上的方便），得到：

i[SX（]ψ[]τ[SX）]=-[SX（]1[]2[SX）][SX（]2ψ[]x2[SX）]+V（x）ψ+g|ψ|2ψ[JY]（2）

根據(jù)帶有虛數(shù)單位非線性方程的一般辦法，將的實(shí)部和虛部分開，即：

ψ（x，t）=A（x，t）exp[iB（x，t）].將其代入上式并對(duì)比實(shí)、虛部有

[SX（]A[]t[SX）]+A[SX（]2B[]x2[SX）]+2[SX（]A[]x[SX）]·[SX（]B[]x[SX）]=0[JY]（3）

A[SX（]B[]t[SX）]-2A[]x2+A（[SX（]B[]x[SX）]）2+gA3+V（x）A=0

[JY]（4）

2 孤子體系于動(dòng)量空間中的能態(tài)密度函數(shù)

在前文中，我們利用GP方程得到了方勢(shì)阱中的孤子解。但是眾所周知，量子力學(xué)中的波函數(shù)與統(tǒng)計(jì)物理中的能態(tài)密度函數(shù)都是數(shù)學(xué)中的概率密度函數(shù)，二者是否可以在相空間中進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？該部分將利用量子力學(xué)中的基本關(guān)系進(jìn)行對(duì)該問題的探索。首先既然是為了得到孤子的能態(tài)密度函數(shù)，那么自然要在動(dòng)量表象中進(jìn)行GP方程的解。對(duì)于前文中分離變量x與t的兩個(gè)方程，根據(jù)量子力學(xué)中的動(dòng)量算符定義p=-ih-[SX（][]x[SX）]并將其無量綱化，有：

[SX（]A[]t[SX）]+3pAB=0[JY]（5）

A[SX（]B[]t[SX）]+p2AB-p2A+gA3+V（x）A=0[JY]（6）

現(xiàn)在研究勢(shì)阱外情形，此時(shí)V（x）=0，則有

-A[SX（]2A[]t2[SX）]+（[SX（]A[]t[SX）]）2+p2A2B2-p2A2+gA4+V（x）A=0[JY]（7）

將B用A的式子代替并合

[SX（]dA[]dt[SX）]=f，以及A2=T，F(xiàn)=f2[JY]（8）

則有，

[SX（]dF[]dt[SX）]-（1+[SX（]1[]9p2[SX）]）[SX（]F[]T[SX）]+2p2-2gT=0[JY]（9）

根據(jù)一階線性微分方程的解法，以及在T=0時(shí)（即波函數(shù)模平方為零時(shí)），

有F=0，此時(shí)為T的極值點(diǎn)，最后得到

C1ln

（[SX（]λ2-[KF（]a[KF）][]λ2+[KF（]a[KF）][SX）]）=t+c2，λ=A[JY]（10）

即事實(shí)上，孤子在動(dòng)量空間的能態(tài)密度函數(shù)D（p）會(huì)隨著時(shí)間變化。其中為積分常數(shù)，而

[JB（{]C1=

[SX（]g（9p2+1）3/2[]6[KF（]2[KF）]p4[SX）]

a=[SX（]18p4[]9p2+1[SX）][JB）][JY]（11）

所以

D（p）～[SX（]2[KF（]a[KF）][]1-[SX（]et+C2[]C1[SX）][SX）]-[KF（]a[KF）][JY]（12）

通過以上的探究，我們發(fā)現(xiàn)孤子的動(dòng)量空間能態(tài)密度函數(shù)呈現(xiàn)出與平均場(chǎng)近似以下的BEC體系很顯著的區(qū)別。首先它隨時(shí)間呈非線性變化的趨勢(shì)，其次它與動(dòng)量之間具有十分復(fù)雜的聯(lián)系，這時(shí)它的熱力學(xué)性質(zhì)可能有著未曾被注意過的影響。

3 結(jié)論

關(guān)于第三節(jié)（作為本文的核心內(nèi)容），我們期望通過對(duì)方勢(shì)阱中孤子體系的研究（比較幸運(yùn)地得到了一個(gè)解析結(jié)果），將其擴(kuò)展到一般情況。在量子力學(xué)的波函數(shù)與統(tǒng)計(jì)物理的能態(tài)密度函數(shù)這兩個(gè)最基本的概率密度函數(shù)之間是否有著類似于此的深刻聯(lián)系，筆者經(jīng)過思考，認(rèn)為是很有理論探索可行性的，其關(guān)鍵就在于量子力學(xué)中動(dòng)量與位置的基本關(guān)系p=-ih-[SX（][]x[SX）] 。在大量的量子體系中（例如大量無相互作用粒子活動(dòng)于各種勢(shì)壘中），如果可以順利地（近似）解出或者列出薛定諤方程，那么利用這一關(guān)系，會(huì)將關(guān)于位置與時(shí)間變量的波函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于動(dòng)量和時(shí)間變量的能態(tài)密度函數(shù)，從而為研究復(fù)雜量子體系的熱力學(xué)性質(zhì)提供了嶄新的視角和方法。筆者查閱大量文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)幾乎沒有相關(guān)研究，因此在此拋磚引玉，以俟遠(yuǎn)者繼續(xù)拓展研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]周政.準(zhǔn)一維玻色愛因斯坦凝聚中的孤子及應(yīng)用.湖南師范大學(xué)碩士畢業(yè)論文，2010.

[2]熊駿.一維修正GrossPitaevskii方程的精確解.長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004.9，1（2/3），5863.