修正KdV-sinh-Gordon方程的實(shí)N孤子解及復(fù)N孤子解

郭博文，康景峰

(中原工學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 451191)

隨著時(shí)代的發(fā)展，非線性問題在很多領(lǐng)域受到了越來越多的關(guān)注，如KP方程、非線性Schr?dinger方程[1]、sine-Gordon方程[2]、KdV方程[3]等，它們?cè)诹黧w力學(xué)、生物學(xué)、非線性光學(xué)、等離子物理學(xué)中的應(yīng)用一一凸顯。

若將sine-Gordon方程中的正弦函數(shù)替換為雙曲正弦函數(shù)，可得sine-Gordon方程：

uxt+sinh(u)=0，

(1)

方程(1)在可積量子場(chǎng)論、扭結(jié)動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)等諸多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用[4-5]。

修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程為

ut-6u2ux+uxxx=0，

(2)

修正KdV-sinh-Gordon(mKdV-SHG)方程

(3)

是由式(1)和式(2)結(jié)合推演而來的。其中，α和β是常數(shù)，當(dāng)α=0、β=-1 時(shí)，式(3)轉(zhuǎn)化成式(1)。對(duì)于任意α和β，式(3)均有完全可積性，這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[12]中已得到證明。

本研究將先使用變數(shù)代換，將非線性方程(3)展開，用Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法將方程(3)的展開式轉(zhuǎn)化為雙線性形式，并進(jìn)行實(shí)N孤子解的計(jì)算，接下來根據(jù)變數(shù)代換中參數(shù)的不同，進(jìn)行復(fù)N孤子解的構(gòu)造，最后討論孤子分子的存在條件。

1 mKdV-SHG方程的實(shí)N孤子解

使用Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先對(duì)u進(jìn)行變數(shù)代換:

(4)

式中：f和g均為x和t的實(shí)函數(shù)。

取fxxg-2fxgt+fgxx=0作為條件之一，可將上式轉(zhuǎn)化為以下雙線性形式：

(5)

為了求解式(5)，本研究進(jìn)行了f函數(shù)和g函數(shù)的構(gòu)造。設(shè)f和g可以按參數(shù)ε展開為級(jí)數(shù)，即

(6)

式中：fi和gi均為x和t的實(shí)函數(shù)；ε為小參數(shù)。

將式(6)代入式(5)中，令ε同次冪系數(shù)相等得一系列等式。通過比較ε的同次冪系數(shù)計(jì)算，當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為1時(shí)可得方程(3)具有以下形式的單實(shí)孤子解：

(7)

孤子的速度為

(8)

單實(shí)孤子解取模后的三維圖形見圖1，其中參數(shù)設(shè)置為ξ10= 0，k1=1，α=1，β=2。

圖1 單實(shí)孤子解取模后的三維圖形

當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為2時(shí)，可求出雙實(shí)孤子解為

(9)

其中的ξ1、ξ2、A12及2個(gè)孤子的速度見式(10)：

(10)

雙實(shí)孤子解取模后的三維圖形見圖2，其中ξ10=ξ20=0，k1= 0.03，k2=1.1，α=1，β=-0.5。

圖2 雙實(shí)孤子解取模后的三維圖形

當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為3時(shí)，可求出三實(shí)孤子解為

(11)

式(11)中的ξj、Ajt及3個(gè)孤子的速度為

(12)

式中：j

三實(shí)孤子解取模后的三維圖形見圖3，其中ξ10=ξ20=ξ30=0，k1=0.2，k2= 0.7，k3=2，α=1，β=0.5。

圖3 三實(shí)孤子解取模后的三維圖形

在單孤子解、雙孤子解及三孤子解的基礎(chǔ)上，可以計(jì)算出mKdV-SHG方程的實(shí)N孤子解形式：

(13)

式(13)中將μ的和定義為當(dāng)μj(j=1，2，…，n)取0或1時(shí)，所有可能項(xiàng)之和，其中ξj、Ajl為

(14)

2 mKdV-SHG方程的復(fù)N孤子解

使用Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法求mKdV-SHG的復(fù)數(shù)解時(shí)，將式(4)代入式(3) 中，將式(3)轉(zhuǎn)化為同式(5)的雙線性形式，但本節(jié)中的f和g為復(fù)數(shù)形式且互為共軛。當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為1時(shí)，可得出mKdV-SHG方程(3) 具有以下形式的單復(fù)孤子解：

(15)

孤子速度同式(8)，單復(fù)孤子解取模后的三維圖形見圖4，其中ξ10=0，k1=1，α=1，β=2。

圖4 單復(fù)孤子解取模后的三維圖形

當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為2時(shí)，可求出雙復(fù)孤子解為

(16)

式中：ξ1、ξ2、A12及2個(gè)孤子的速度計(jì)算結(jié)果同式(10)。雙復(fù)孤子解取模后的三維圖形見圖5。

圖5 雙復(fù)孤子解取模后的三維圖形

圖5中，ξ10=ξ20=0，k1=1，k2=2，α=1，β=0.5。

當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為3時(shí)，可求出三實(shí)孤子解為

(17)

式中：ξj、Ajl及3個(gè)孤子的速度計(jì)算結(jié)果同式(12)。當(dāng)把參數(shù)設(shè)置為ξ10=ξ20=ξ30=0，k1=1，k2=2，k3=2.5，α=1，β=0.5時(shí)，三復(fù)孤子解取模之后的三維圖形見圖6。

圖6 三復(fù)孤子解取模后的三維圖形

循環(huán)求解步驟，可以計(jì)算出mKdV-SHG方程的復(fù)N孤子解：

(18)

式(18)中將μ的和定義為當(dāng)μj(j=1，2，…，n)取0或1時(shí)所有可能項(xiàng)之和，其中ξj、Ajl同式(14)。

3 mKdV-SHG方程的孤子分子存在條件

在現(xiàn)代非線性光學(xué)領(lǐng)域中，孤子分子為研究熱點(diǎn)之一[9，14-16]。當(dāng)2個(gè)孤子保持速度一致的時(shí)候，便形成了孤子分子，其為一對(duì)穩(wěn)定且不隨著運(yùn)動(dòng)而彌散的孤立子。在前文中，已經(jīng)求出mKdV-SHG方程孤子解中孤子的速度，根據(jù)此結(jié)果可以判斷出孤子分子的存在條件。在此條件下2個(gè)孤子可以耦合為1個(gè)孤子分子，以雙實(shí)孤子解構(gòu)成的孤子分子為例：

(19)

圖7 雙實(shí)孤子分子

圖8 雙實(shí)孤子分子俯視圖

由圖7和圖8可以看出，孤子分子中的2個(gè)孤立子保持平行狀態(tài)，以同樣的速度前進(jìn)。根據(jù)孤子分子構(gòu)成式(19)，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出多重孤子分子的存在條件。

4 結(jié)語

本研究利用雙線性導(dǎo)數(shù)法分析了mKDV-SHG方程，得到了該方程的雙線性形式，根據(jù)f和g類型的不同進(jìn)行變數(shù)代換，進(jìn)一步得到N重實(shí)孤子解和N重復(fù)孤子解，并對(duì)一至三的實(shí)孤子解和復(fù)孤子解進(jìn)行了三維圖像繪制。除此之外，根據(jù)所求出的不同孤子的速度，推導(dǎo)出了mKdV-SHG方程的孤子分子存在條件，并進(jìn)行了簡(jiǎn)單的形式求解。