包含Euler函數(shù)φ(n)與函數(shù)Ω(n)方程的解

張四保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844008)

包含Euler函數(shù)φ(n)與函數(shù)Ω(n)方程的解

張四保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844008)

對(duì)任一正整數(shù)N,φ(N)為Euler函數(shù),Ω(N)為N的素因數(shù)個(gè)數(shù)函數(shù)。討論了方程φ(N)=2Ω(N)3Ω(N)的可解性,基于整數(shù)的分解獲得了該方程的解。

Euler函數(shù);因子函數(shù);方程的解

Euler函數(shù)φ(N)是數(shù)論中的一類重要函數(shù),對(duì)于有關(guān)方程φ(x)=n解的研究是一公開(kāi)問(wèn)題。對(duì)包含Euler函數(shù)φ(N)方程的研究,有著大量研究的文獻(xiàn),如[2-10]。本文將討論包含函數(shù)Ω(N)與函數(shù)φ(N)的方程

φ(N)=2Ω(N)3Ω(N)

(1)

的解,即證明了以下結(jié)論。

定理1 對(duì)任一正整數(shù)N,則

1.1)當(dāng)δi=1,i=1,2,…,k,若k=1,則N=7是方程(1)的解;若k=2,則N=3×19=57是方程(1)的解;若k=3,則N=3×7×19=399是方程(1)的解;若k≥4,方程(1)無(wú)解;

1 定理的證明

根據(jù)函數(shù)Ω(N)以及函數(shù)φ(N)的定義,顯然N=1是方程(1)的解。以下將討論N≥2的情況,此時(shí)N分為奇數(shù)與偶數(shù)情況。

情況1N為奇數(shù)

情況1.1 當(dāng)k=1

情況1.2 當(dāng)k=2

情況1.3 當(dāng)k=3

情況1.4 當(dāng)k=4

情況1.5 當(dāng)k≥5

情況2N為偶數(shù)

情況2.1 當(dāng)k=1

情況2.2 當(dāng)k=2

情況2.3 當(dāng)k=3

N=2m(2α1+13β1+1)(2α2+13β2+1)(22-α1-α23m+3-β1-β2+1) .

情況2.4 當(dāng)k≥4

綜合以上討論,可得本文結(jié)論。

[1] 孫翠芳,程智.若干包含Euler函數(shù)φ(n)的方程[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,50(5):859-862.DOI:10.13413/j.cnki.jdxblxb.2012.05.022.

[2] Ford K,Luca F,Pomerance C.Common Values of the Arithmetic Functionsφandσ[J].BullLondonMathSoc,2010,42(3):478-488.DOI:10.1112/blms/bdq014.

[3] 田呈亮,付靜,白維祖.一個(gè)包含歐拉函數(shù)的方程[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(1):96-98.

[4] 張四保,席小忠.有關(guān)方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整數(shù)解[J].南京師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,39(1):41-47.DOI:10.3969/j.issn.1001-4616.2016.01.007.

[5] 張文鵬.關(guān)于F.Smarandache函數(shù)的兩個(gè)問(wèn)題[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,38(2):173-176.DOI:10.16152/j.cnki.xdxbzr.2008.02.001.

[6] 范盼紅.關(guān)于F.Smarandache函數(shù)和歐拉函數(shù)的三個(gè)方程[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(5):626-628.DOI:10.13482/j.issn1001-7011.2012.05.023.

[7] 張四保,官春梅,席小忠.方程φ(xyz)=kφ(x)φ(y)φ(z)的解[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版,2016,40(2):111-116. DOI:10.13764/j.cnki.ncdl.2016.02.017.

[8] 張四保.三類包含Euler函數(shù)的方程[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2016,46(8):287-291.

[9] 許霞,徐小凡.關(guān)于歐拉方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整數(shù)解[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,41(4):6-9.DOI:10.13718/j.cnki.xsxb.2016.04.002.

Solutions of an Equation Involving Euler Functionφ(n) and function Ω(n)

ZHANG Sibao

(School of Mathematics and Statistics,Kashgar University,Kashgar 844008,China)

For any positive integerN, letφ(N) be Euler function and let Ω(N) be the total number of prime factors ofN. The solvability of equationφ(N)=2Ω(N)3Ω(N)was discussed, and the solutions of it were obtained based on the integer factorization.

Euler function;factor function;solutions of equation

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.004

2016-08-25；

2016-11-04

新疆維吾爾族自治區(qū)自然科學(xué)基金(No:2016D01A014)

張四保(1978-),江西峽江人,副教授,碩士,主要從事數(shù)論研究。E-mail:sibao98@sina.com

O156

A

0253-2395(2017)02-0225-04