沿板平面材料梯度變化的二維梯度薄板撓度分析

許楊健，龐宇飛，劉 碩

沿板平面材料梯度變化的二維梯度薄板撓度分析

許楊健1，龐宇飛1，劉 碩2

(1.河北工程大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

采用有限單元法，分析了由Ti-6Al-4V、Al 1100和ZrO2組成的二維功能梯度材料（2D-FGM）薄板的小撓度問(wèn)題，計(jì)算了在不同溫度環(huán)境下，四邊簡(jiǎn)支受均布荷載的2D-FGM薄板撓度值和四邊固支受均布荷載的2D-FGM薄板撓度值，并對(duì)本方法進(jìn)行了正確性檢驗(yàn)，給出了2D-FGM薄板撓度分布圖。進(jìn)一步討論了溫度和孔隙率對(duì)2D-FGM薄板撓度的影響。結(jié)果表明，溫度和孔隙率對(duì)受載2D-FGM薄板撓度變形影響較為明顯，在環(huán)境溫度不變的情況下，四邊固支和四邊簡(jiǎn)支的2D-FGM薄板撓度都隨孔隙率的增大而逐漸變大，在孔隙率不變情況下，四邊固支和四邊簡(jiǎn)支的2D-FGM薄板撓度都隨環(huán)境溫度的不斷升高而逐漸變大。

功能梯度材料薄板；撓度；溫度；孔隙率；有限元法

FGM是材料科學(xué)領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)的一種新一代非均勻復(fù)合材料，它是各國(guó)在航空航天高技術(shù)領(lǐng)域里的競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)物。薄板構(gòu)件在機(jī)械、土建、造船、航空等工程領(lǐng)域中應(yīng)用都很廣泛，因此，研究薄板結(jié)構(gòu)性能對(duì)各個(gè)工程領(lǐng)域都很重要，目前，研究學(xué)者們就薄板結(jié)構(gòu)性能做出了大量的研究[1-5]，并獲得了豐富的研究成果。Ping Tan等[6]分析了在彈性約束邊界下的變剛度復(fù)合環(huán)形薄板的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)。董文堂[7]導(dǎo)出了四邊固支邊界條件下的矩形薄板納維葉解法。Rui Li等[8]得出了基于多點(diǎn)支撐下的矩形薄板自由振動(dòng)新的解析解。Shilang Xu等[9]對(duì)由不同的膠凝材料組成的織物增強(qiáng)混凝土（TRC）薄板進(jìn)行了耐高溫性能試驗(yàn)研究。許楊健等[10]采用層合板有限元法對(duì)FGM薄板的瞬態(tài)熱彈性彎曲問(wèn)題進(jìn)行了分析研究。Amin Joodaky[11]對(duì)不同邊界條件下FGM薄斜板的撓度和應(yīng)力進(jìn)行了分析。孫建等[12]計(jì)算出了構(gòu)造撓度函數(shù)的系數(shù)。目前，大多數(shù)研究只在材料屬性沿板厚度方向變化上，而沿著板平面材料梯度變化的研究相對(duì)很少，曹志遠(yuǎn)等[13-14]得到了沿板平面材料特性梯度變化的功能梯度板件力學(xué)量三維分布狀態(tài)。本文基于經(jīng)典薄板理論，利用有限元方法結(jié)合Matlab編程求解出2D-FGM薄板受均布荷載下的撓度值，并分別討論了四邊固支和四邊簡(jiǎn)支兩種邊界條件下，溫度和孔隙率對(duì)受均布荷載2D-FGM薄板撓度值的影響?？晒┬滦筒牧蠐隙茸冃我罂量痰暮娇蘸教?、精密儀器制造等領(lǐng)域作參考，為FGM的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了理論計(jì)算依據(jù)。

1 模型建立

如圖1所示，建立由金屬相Ti-6Al-4V、Al 1100和陶瓷相ZrO2組成的2D-FGM矩形薄板模型，考慮材料組分物性值隨溫度變化，假設(shè)材料屬性沿x、y軸方向變化，沿薄板厚度無(wú)變化。

圖1 2D-FGM 薄板模型Fig.1 Model of 2D-FGM thin plate

2 FGM薄板彎曲變形有限元方程

為了研究薄板的彎曲變形，則采用經(jīng)典薄板理論，構(gòu)造矩形薄板單元。矩形薄板單元共有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)基本未知數(shù)：撓度w，法線繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)θx和繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)θy。

根據(jù)微小位移的假定，位移可表示為：

單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：

取位移函數(shù)為：

由位移w在薄板單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的取值，可以確定w中的12個(gè)參量，

式中｛N｝為形函數(shù)。

根據(jù)虛功原理得：：

式中：｛δ*｝代表虛位移，表示FGM的廣義彈性矩陣。而由于｛δ*｝e具有任意性，故得：

式中：［K］ε表示功能梯度材料薄板的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

3 數(shù)值算例與分析

3.1 FGM薄板物性值

根據(jù)FGM材料研究現(xiàn)狀，本文FGM薄板采用由金屬相Ti-6Al-4V、Al 1100和陶瓷相ZrO2組成的二維FGM薄板作為研究對(duì)象，不考慮組分的影響，考慮物性系數(shù)隨溫度的變化，依據(jù)文獻(xiàn)[15]，金屬Al 1100、Ti-6Al-4V以及陶瓷ZrO2組分材料的變物性物性系數(shù)分別如下：

金屬Al 1100：

金屬Ti-6Al-4V：

陶瓷ZrO2：

表1 四端固支均質(zhì)材料薄板受均勻荷載時(shí)中心點(diǎn)的撓度Tab.1 Def l ection at center point of clamped supported homogeneous sheet under uniformly distributed loads

表2 四端簡(jiǎn)支均質(zhì)材料薄板受均勻荷載時(shí)中心點(diǎn)的撓度Tab.2 Def l ection at center point of simply supported homogeneous sheet under uniformly distributed loads

3.2 正確性檢驗(yàn)

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)的表達(dá)式的正確性，取薄板厚度t為4 mm，a、b都取為100 mm，橫向均布荷載取q=0.1 N/mm2，同時(shí)將FGM薄板退化為Ti-6Al-4V、Al 1100和ZrO2三種均勻材料薄板，在單元內(nèi)對(duì)材料屬性取平均值。將本文有限元計(jì)算程序計(jì)算的四端固支均質(zhì)薄板中心撓度與文獻(xiàn)[7]的3.7式計(jì)算結(jié)果對(duì)比，四端簡(jiǎn)支均質(zhì)薄板的與文獻(xiàn)[16]的3.43式計(jì)算結(jié)果對(duì)比。本文方法和文獻(xiàn)方法計(jì)算薄板中心撓度的結(jié)果如表1和表2所示：

通過(guò)對(duì)比兩種方法的計(jì)算結(jié)果，誤差都不超過(guò)±0.8%，則本文結(jié)果正確。

3.3 溫度、孔隙率影響

圖2 固支2D-FGM薄板的撓度曲線Fig.2 Deflection curve of clamped supported 2D-FGM thin plate

圖3 簡(jiǎn)支2D-FGM薄板的撓度曲線Fig.3 Deflection curve of simply supported 2D-FGM thin plate

圖2 和圖3表明：不同孔隙率、和不同溫度下的四邊固支和四邊簡(jiǎn)支2D-FGM薄板的撓度分布圖。分析可知：(1)薄板的撓度值從板的邊緣到中間逐漸變大，且薄板的最大撓度值靠近板的中心處。(2)在不考慮薄板孔隙率變化的情況下，薄板隨環(huán)境溫度的增加撓度逐漸增大，并且變化率越來(lái)越大。如：在圖2中Ax=0.0, Ay=1.0時(shí)，T=500 K薄板中心點(diǎn)處撓度比T=300 K時(shí)增加10.7%，而T=700 K薄板中心點(diǎn)處撓度比T=500 K時(shí)增加了14.2%。在圖3中Ax=0.0, Ay=1.0時(shí)，T=500 K薄板中心點(diǎn)處撓度比T=300 K時(shí)增加10.7%，而T=700 K薄板中心點(diǎn)處撓度比T=500 K時(shí)增加了14.2%。(3)在不考慮環(huán)境溫度變化的情況下，薄板撓度隨孔隙率的增加不斷變大。如：在圖2中T=700 K時(shí)，Ay=0.0，Ax=1.0薄板中心點(diǎn)撓度比Ay=0.0, Ax=0.0時(shí)增加了8.3%。取T=500 K時(shí)，Ax=0.0，Ay=1.0薄板中心點(diǎn)撓度比Ax=0.0，Ay=0.0為時(shí)增加了43.9 %。在圖3中T=300 K時(shí)，Ay=0.0，Ax=1.0薄板中心點(diǎn)撓度比Ay=0.0，Ax=0.0時(shí)增加了7.4 %，T=900 K時(shí)，Ax=0.0, Ay=1.0薄板中心點(diǎn)撓度比Ax=0.0，Ay=0.0時(shí)增加了45.0%。

4 結(jié)論

1）通過(guò)對(duì)由Ti-6Al-4V、Al 1100和ZrO2組成的2D-FGM薄板算例的撓度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)給出的結(jié)果是一致的，說(shuō)明了本文方法正確可行，給出了不同孔隙率下2D-FGM薄板撓度分布。

2）根據(jù)算例計(jì)算結(jié)果分析可知，無(wú)論FGM薄板四端簡(jiǎn)支還是四端固支，環(huán)境溫度和孔隙率對(duì)受載FGM薄板撓度影響均較為明顯，薄板撓度隨著環(huán)境溫度的升高而增大且變化率也在增大，隨著孔隙率變大撓度也在逐漸增大。

3）在本文的相同條件下，四邊固支薄板比四邊簡(jiǎn)支薄板撓度值小，更適合承受大的荷載。

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（責(zé)任編輯 王利君）

Deflection analysis of two-dimensional graded thin plates varying along plane direction

XU Yangjian1,PANG Yufei1,LIU Shuo2

(1 College of Civil Engineering, Hebei University of Engineering, Hebei Handan, 056038;2 School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Heilongjiang Harbin, 150001 )

The small deflection of the two dimensional functionally graded material (2D-FGM) thin plate (Ti-6Al-4V, Al 1100 and ZrO2) is analyzed by the finite element method(FEM) .The deflection value of 2D-FGM thin plate subjected to uniform distributed load with four edges simply-supported or clampedsupported is calculated under different temperatures. At the same time, the accuracy of this method is examined. The deflection distribution diagrams are obtained. Effects of temperature and porosity on the deflection of 2D-FGM thin plate are discussed. The results show that the influence of temperature and porosity on the load 2D-FGM thin plate is obvious. In the case of constant ambient temperature, the deflection of 2D-FGM thin plate with four edges clamped-supported and four edges simply-supported increases with the increasing of porosity. Under the condition of constant porosity, the deflection of 2D-FGM thin plate with four edges clamped-supported and four edges simply-supported increases with the increasing of temperature.

functionally gradient material thin plate; deflection; temperature; porosity; finite element method

TB333

A

1673-9469（2017）01-0034-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.01.008

2016-09-08 特約專稿

河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (E2011402033)

許楊健(1956 -)，男，四川富順人，教授，從事固體力學(xué)計(jì)算、有限元應(yīng)用和梯度功能材料方面的研究。