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    初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的途徑研究

    2017-05-16 22:15錢紅娟
    關(guān)鍵詞:基本途徑猜想初中數(shù)學(xué)

    錢紅娟

    [摘 要] 猜想對數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展有著重要的作用,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要結(jié)合現(xiàn)代教育理論,積極聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ),探索并實踐培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的有效途徑,從而提升數(shù)學(xué)課堂效率.

    [關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);猜想;基本途徑

    猜想能夠為科學(xué)認知的發(fā)展提供強大的推動作用,愛因斯坦就曾經(jīng)指出:相比于知識,想象力的重要性更大,因為知識畢竟是有限的,但是想象力卻能對整個世界進行概括,推動人們認識的進步,是認知發(fā)展的動力源泉. 初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準也指出,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該具有現(xiàn)實性和挑戰(zhàn)性,要有助于學(xué)生主動參與實驗觀察、質(zhì)疑猜想、驗證推理等數(shù)學(xué)探究活動. 主動探索、參與實踐以及合作交流應(yīng)該成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式,所以教師要關(guān)注學(xué)生進行科學(xué)猜想和創(chuàng)造的過程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究過程中的直覺思維和獨創(chuàng)意識.

    猜想與數(shù)學(xué)的關(guān)系

    數(shù)學(xué)研究思想和研究方法有一個龐大的理論體系,其中較常使用的歸納類比與合情推理都與猜想有著密不可分的關(guān)系. 眾所周知,數(shù)學(xué)思維強調(diào)嚴謹性和邏輯性,在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)論證推理的基本操作和探究習(xí)慣,同時必須積極引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理. 換言之,初中數(shù)學(xué)不僅要強調(diào)讓學(xué)生學(xué)習(xí)證明法,也要讓學(xué)生掌握猜想法.

    1. 猜想是數(shù)學(xué)思維的“先知先覺”

    作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的一種“先知先覺”,猜想機制是對具有形式化、多樣化、抽象化等特征的數(shù)學(xué)信息所進行的一種思辨認知活動,科學(xué)性和預(yù)測性是它的重要標(biāo)志. 自然規(guī)律的探索之所以如此復(fù)雜,其關(guān)鍵就在于受到多種因素的共同影響,而猜想有助于人們借助靈光一現(xiàn)的靈感,穿透認知的迷霧,成功誘發(fā)人們發(fā)現(xiàn),從而推動人們理性思維的進一步飛躍與升華,讓學(xué)生找到解決問題的方案.

    2. 猜想是數(shù)學(xué)能力的發(fā)展動力

    作為數(shù)學(xué)思維機制中最為活躍、最為積極、最為靈活的因素之一,數(shù)學(xué)猜想一旦得以證實,那就直接對應(yīng)著數(shù)學(xué)問題突破口的發(fā)現(xiàn),同時也對應(yīng)著理想化為現(xiàn)實. 假設(shè)成為定理的過程,也將成為人們數(shù)學(xué)認知體系中的重要組成部分,它有效促成了數(shù)學(xué)理論的完善,也推動了研究方法的進步和發(fā)展.

    初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的基本途徑

    初中數(shù)學(xué)研究中的科學(xué)猜想有別于生活中的胡思亂想,它屬于一種高階的思維方式,而且和學(xué)生的知識基礎(chǔ)以及其他理性思維能力緊密結(jié)合在一起. 因此,在實際教學(xué)中,教師要善于創(chuàng)造機會,引導(dǎo)學(xué)生積極開展猜想訓(xùn)練,以此提升他們相應(yīng)的能力.

    1. 在知識遷移中培養(yǎng)學(xué)生的類比猜想

    所謂類比猜想,就是采用類比的方法,對兩個問題或?qū)ο蟮南嗨菩赃M行比較,通過數(shù)學(xué)知識的遷移運用,形成新方法或建構(gòu)新知識的猜想. 這里的“新”主要針對的是學(xué)生的思維過程,這也是一種獨創(chuàng)意識的體現(xiàn),此種途徑往往用在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié).

    例如,引導(dǎo)學(xué)生研究相似三角形的判定定理時,教師可先讓學(xué)生對全等三角形的判定方法進行回顧,然后由學(xué)生對相似三角形和全等三角形的相似性進行比較,從而引發(fā)類比猜想:怎樣來判定兩個三角形相似呢?學(xué)生從處理全等三角形的思路出發(fā),通過知識的遷移展開猜想:兩條邊對應(yīng)成比例并且夾角相等(類比于全等三角形的判定定理SAS)、三條邊對應(yīng)成比例(類比于全等三角形的判定定理SSS)、兩個角相等且夾邊成比例(類比于全等三角形的判定定理ASA)、兩個角相等且其中某角的對邊成比例(類比于全等三角形的判定定理AAS),由此猜想出四條相似三角形的判定定理. 猜想一經(jīng)提出,學(xué)生就開始進行爭論,有人指出:ASA和AAS都不可能成立,一條對應(yīng)邊與誰成比例?學(xué)生進一步思考,對猜想進行了修正:是否可以簡化上述猜想,即兩個角相等,就可以確認三角形相似?無論學(xué)生的猜想最終能否被證實,這些都是難能可貴的探究過程,因為它們是學(xué)生采用類比思維向未知領(lǐng)域邁出的第一步.

    從上述例子中我們可以發(fā)現(xiàn),在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用類比來誘發(fā)學(xué)生猜想,不僅能夠有效激活學(xué)生的思維,而且容易讓學(xué)生的思維保持亢奮狀態(tài),這有助于學(xué)生通過猜想來概覽知識的輪廓,能讓學(xué)生從整體的層面了解即將探究的問題.

    2. 在歸納思維中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)猜想

    歸納是數(shù)學(xué)研究的重要方法,人們在研究數(shù)學(xué)問題時,由具體的對象出發(fā),從一定的個體或特例開始研究和分析,最終形成一種有關(guān)普遍性的原理和結(jié)論的猜想,這就是歸納思維中的猜想活動. 此類方法往往運用于對新知識、新規(guī)律的探索.

    例如,七年級學(xué)生在探索“多邊形內(nèi)角和的規(guī)律”時,教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生進行研究:首先,讓學(xué)生自己畫出若干種不同類型的多邊形——三角形、四邊形、五邊形等,由學(xué)生確定邊的數(shù)目,再引導(dǎo)學(xué)生對圖形進行觀察,并逐個確定多邊形的內(nèi)角和,學(xué)生對三角形早已有所認識——內(nèi)角和為180°,然后他們在分析中發(fā)現(xiàn)四邊形是360°,而五邊形的內(nèi)角和又恰恰是540°,一組非常和諧的數(shù)列呈現(xiàn)在學(xué)生面前,他們開始大膽猜想:六邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是720°,七邊形應(yīng)該是900°,那么n邊形的內(nèi)角和就應(yīng)該是(n-2)×180°. 學(xué)生從大量的事實出發(fā),數(shù)字之間特殊的關(guān)系激活了學(xué)生的歸納思維,最終形成猜想. 而這一猜想不僅僅是針對結(jié)論,更包括證明方法,很多學(xué)生又通過180°聯(lián)想到三角形:多邊形能否轉(zhuǎn)換為三角形來實現(xiàn)對猜想的驗證呢?進一步的思考和處理讓學(xué)生的思路豁然開朗.

    學(xué)生進行猜想時需要一定的時間和空間,教師對課堂時間的分配應(yīng)該慷慨一點,讓學(xué)生能夠充分把握自己的思維節(jié)奏. 事實上,學(xué)生一旦獲得思維和討論的自由,他們的熱情就會無比高漲,他們會交流自己的設(shè)想和觀點,在彼此啟發(fā)中完善各自的猜想. 這顯然能比純粹的灌輸式教學(xué)產(chǎn)生更好的效果.

    3. 通過數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)學(xué)生的實驗猜想

    在初中數(shù)學(xué)課堂中,實驗教學(xué)也能為課堂注入無限的活力,會讓數(shù)學(xué)課堂不再是純理論化的說教. 事實上,實驗、猜想以及證明正是數(shù)學(xué)問題解決和理論發(fā)展的關(guān)鍵利器. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,諸如牛頓、傅立葉、亥姆霍茲等人都有物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家雙重身份,在研究中,他們正是對物理實驗進行分析的過程中需要用到大量的數(shù)學(xué)知識和方法才大力推進了數(shù)學(xué)理論的進步. 因此,我們的初中數(shù)學(xué)教學(xué)要善于采用實驗來提出問題,引導(dǎo)學(xué)生進行猜想,從而提升他們的數(shù)學(xué)認知能力和相關(guān)能力.

    例如,組織學(xué)生研究三角形的三邊關(guān)系時,教師可以讓學(xué)生先準備好長度分別為3厘米、4厘米和10厘米的三根小棒,然后由學(xué)生動手操作:用自備的小棒構(gòu)建三角形. 學(xué)生屢試屢敗,這時教師再提出問題:你們能否適當(dāng)調(diào)整小棒的長度,然后拼成一個三角形?學(xué)生答道:要么將長邊縮短,要么將短邊延長. 在此基礎(chǔ)上,教師鼓勵學(xué)生形成猜想:三角形的兩邊之和大于第三邊. 當(dāng)學(xué)生形成猜想后,教師再要求學(xué)生自己對其進行證明,由于學(xué)生親自通過實驗發(fā)現(xiàn)了問題,并由實驗操作形成了猜想,所以他們的驗證異常順利.

    將實驗操作和猜想融合在一起搭建數(shù)學(xué)課堂,既能促成學(xué)生融合多種感官參與到認知探究中,也能讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)問題的提出過程和知識的形成過程,能有效提升課堂效率,何樂而不為呢?

    4. 通過創(chuàng)新意識的激發(fā)來培養(yǎng)學(xué)生的探索猜想

    所謂探索猜想,就是人們采用嘗試探索的方法,依據(jù)自身的已有認知與經(jīng)驗,對新知識和問題形成局部性或方向性的猜想. 這一過程需要研究者充分發(fā)揮創(chuàng)新意識,敢于突破傳統(tǒng)思維的藩籬,運用科學(xué)的方法提出自己充滿建設(shè)性的猜想. 探索性是此類猜想的基本特征,即研究者需要根據(jù)研究的不斷深入,及時而適當(dāng)?shù)貙Σ孪脒M行修正,以便增強猜想的合理性和可靠性.

    例如,學(xué)生在探索三角形的內(nèi)角和定理時,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過折疊或剪拼的方式來尋找結(jié)論. 學(xué)生不難發(fā)現(xiàn):三角形的內(nèi)角和是180°,但是為什么有這樣的結(jié)論呢?有的學(xué)生猜想是平角,有的學(xué)生從兩條平行線截出的同旁內(nèi)角進行猜想,有的學(xué)生將180°聯(lián)系到直角的兩倍或周角的一半……究竟哪一個做法才是正確的呢?這時教師要鼓勵學(xué)生大膽地進行探索和驗證,進而從多個角度證明定理.

    學(xué)生在探索新知的過程中,會迸發(fā)出很多猜想,教師要給予學(xué)生充分的耐心和信任,讓學(xué)生積極驗證,引導(dǎo)學(xué)生克服盲目猜想,實施合理猜想,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.

    理性思維是數(shù)學(xué)理論不斷進步的根基所在,而猜想則是這一過程的催化劑. 初中數(shù)學(xué)教師在課堂上有策略地培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)能力,能讓學(xué)生像科學(xué)家一樣經(jīng)歷猜想、驗證等一系列過程,并從中體驗到創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的快樂與成功.

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