四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

徐曉嶺, 段貴鋒, 王蓉華, 顧蓓青

(1.上海對外經(jīng)貿大學 統(tǒng)計與信息學院,上海 201620; 2.上海師范大學 數(shù)理學院,上海 200234)

四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

徐曉嶺1, 段貴鋒2, 王蓉華2, 顧蓓青1

(1.上海對外經(jīng)貿大學 統(tǒng)計與信息學院,上海 201620; 2.上海師范大學 數(shù)理學院,上海 200234)

推導了四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)場合下的似然函數(shù),并且給出了常數(shù)失效率單元和線性失效率單元所組成的四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的參數(shù)的極大似然估計,以及采用似然比構造區(qū)間估計的方法得到參數(shù)的近似區(qū)間估計.

屏蔽數(shù)據(jù); 四單元混聯(lián)系統(tǒng); 極大似然估計; 近似區(qū)間估計

0 引 言

在可靠性分析中,人們往往通過分析系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)來估計該系統(tǒng)中各組成單元壽命分布中的未知參數(shù).系統(tǒng)壽命試驗數(shù)據(jù)包括兩個方面.一是失效時間;二是失效原因.理想狀態(tài)下,系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)應該包括系統(tǒng)失效的具體時間以及由哪個單元失效導致整個系統(tǒng)失效的信息.但大多數(shù)時候,導致系統(tǒng)失效的那個單元并不能夠被準確識別出來,人們僅能夠把導致系統(tǒng)失效的原因歸結為某些單元所組成的一個集合,系統(tǒng)真正失效的原因被屏蔽掉了.在現(xiàn)實生活中,由于故障診斷和故障檢測所需的費用昂貴,特別是在現(xiàn)代系統(tǒng)中越來越多地采用模塊化設計,引起系統(tǒng)失效的確切單元通常都是未知的.在對計算機或集成電路等進行系統(tǒng)可靠性研究時,也會遇到相類似的屏蔽問題.導致屏蔽發(fā)生的原因很多,如:經(jīng)費的不足、時間的限制、記錄的錯誤、診斷工具的缺乏,及某些單元失效所帶來的破壞性后果等.這使得屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析成為近年來研究的熱點問題,許多學者做了很好的工作,并取得了一系列研究成果,具體見文獻[1-21].

圖1 四單元混聯(lián)系統(tǒng)

值得指出的是,隨著系統(tǒng)的功能越來越完善,其構成也越來越復雜,例如航空電源系統(tǒng)或雷達系統(tǒng)等,不再是單純的串聯(lián)或并聯(lián)系統(tǒng),而更多的是多單元的混聯(lián)復雜系統(tǒng),且常常伴有屏蔽現(xiàn)象發(fā)生.關于由4個單元組成的系統(tǒng),除了4個單元全部串聯(lián)和4個單元全部并聯(lián)外,系統(tǒng)還有6種不同的構成方式,將其統(tǒng)稱為四單元混聯(lián)系統(tǒng).圖1即為4個單元組成的混聯(lián)系統(tǒng)的一種.

本文作者詳細推導了如圖1所示的四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)場合下的似然函數(shù),并且給出了常數(shù)失效率單元和線性失效率單元所組成的四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的參數(shù)的極大似然估計,并采用似然比構造區(qū)間估計的方法得到參數(shù)的近似區(qū)間估計.

1 四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的似然函數(shù)

在建立模型之前,先給出一些基本假設:

假設1 系統(tǒng)由4個獨立單元混聯(lián)而成;

假設2 屏蔽的發(fā)生與失效原因和時間無關(即獨立);

考慮將n個四單元混聯(lián)系統(tǒng)進行壽命試驗.記Tij表示第i個系統(tǒng)中第j個單元的壽命,其觀察值為tij,i=1,2,…,n,j=1,2,3,4.則第i個系統(tǒng)的壽命Ti為:

Ti=min[max(Ti1,Ti2),max(Ti3,Ti4)].

其觀察值為ti,i=1,2,…,n.令Si為引起第i個系統(tǒng)失效的單元集合,其觀察值為si,i=1,2,…,n.若si中只由一個單元組成,則表明引起第i個系統(tǒng)失效的原因是確切的;若si中的單元數(shù)大于一個,則表明引起第i個系統(tǒng)失效的原因是未知的,即引起第i個系統(tǒng)失效的單元壽命數(shù)據(jù)被屏蔽了.

現(xiàn)在考慮第i個系統(tǒng):

因此,

其中,P(ti

于是可以分別給出各單元失效是導致第i個系統(tǒng)失效的確切原因的概率:

Pi1=P(ti

Pi2=P(ti

Pi3=P(ti

Pi4=P(ti

記

fi1=f1(ti)F2(ti)[1-F3(ti)F4(ti)],fi2=F1(ti)f2(ti)[1-F3(ti)F4(ti)],

fi3=[1-F1(ti)F2(ti)]f3(ti)F4(ti),fi4=[1-F1(ti)F2(ti)]F3(ti)f4(ti),

根據(jù)假設2,屏蔽的發(fā)生與失效原因和時間無關,即對于j,j′∈si有:

現(xiàn)在考慮n個四單元混聯(lián)系統(tǒng)進行定時截尾壽命試驗.定時截尾時間τ,這時共有r個系統(tǒng)失效,其次序失效時間分別為t1,t2,…,tr.此時似然函數(shù)可表示為:

其中,C>0為正常數(shù),T為四單元混聯(lián)系統(tǒng)的壽命.

易見,如果考慮n個四單元混聯(lián)系統(tǒng)進行定數(shù)截尾壽命試驗.定數(shù)截尾數(shù)為r,其次序失效時間分別為t1,t2,…,tr.此時似然函數(shù)可表示為:

其中,τ=max(t1,t2,…,tr).

2 單元失效率同為常數(shù)的四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

設單元1的壽命為X,單元2的壽命為Y,單元3的壽命為Z,單元4的壽命為K,它們的失效率同為常數(shù)α,X,Y,Z,K相互獨立,系統(tǒng)的壽命記為T,則T=min[max(X,Y),max(Z,K)].

對于t≥0,P(T>t)=P(max(X,Y)>t)P(max(Z,K)>t)=e-2αt(2-e-αt)2.

2.1 全樣本場合下的統(tǒng)計分析

在全樣本場合下的對數(shù)似然函數(shù)為:

給定不同的樣本容量n,及ni,i=1,2,…,14和參數(shù)真值的情況下,通過1 000次的Monte-Carlo模擬,得到參數(shù)α的極大似然估計的均值和均方誤差,在給定置信水平0.95下得到參數(shù)α和近似區(qū)間估計的平均上限、平均下限以及1 000次模擬真值落在區(qū)間估計外面的個數(shù),模擬結果表明極大似然估計以及近似區(qū)間估計的精度還是令人滿意的.

例1 取樣本容量n=38,n1=6,n2=4,n3=5,n4=4,n5=1,n6=2,n7=1,n8=1,n9=2,n10=3,n11=2,n12=1,n13=2,n14=2,4個單元的失效率同取為α=1,通過Monte-Carlo模擬產生38個失效數(shù)據(jù)如下:

si={1}:2.0327,0.061004,0.35403,0.57617,1.1416,2.1044;si={2}:0.40628,0.19919,1.3348,0.5073;si={3}:0.78044,0.35211,0.6749,1.1586,0.44911;si={4}:0.71715,1.7075,0.86229,0.043607;si={1,2}:0.41627;si={1,3}:0.08604,0.2081;si={1,4}:0.57083;si={2,3}:1.8555;si={2,4}:0.33451,1.9864;si={3,4}:0.42826,0.65081,0.12387;si={1,2,3}:0.51431,1.242;si={1,2,4}:1.0934;si={1,3,4}:1.3014,1.331;si={2,3,4}:1.1799,1.0782;si={1,2,3,4}:1.5512,0.69633.

2.2 截尾樣本場合下的統(tǒng)計分析

2(n-r)ατ+2(n-r)ln(2-e-ατ).

類似地,可用似然比的方法給出參數(shù)α的近似區(qū)間估計.

給定不同的樣本容量n,和定數(shù)截尾數(shù)r,ri,i=1,2,…,14和參數(shù)真值的情況下,通過1 000次的Monte-Carlo模擬,得到參數(shù)α的極大似然估計的均值和均方誤差,在給定置信水平0.95下得到參數(shù)α和近似區(qū)間估計的平均上限、平均下限以及1 000次模擬真值落在區(qū)間估計外面的個數(shù),模擬結果表明極大似然估計以及近似區(qū)間估計的精度滿足要求.

例2 取樣本容量n=38,r=36,r1=5,r2=6,r3=6,r4=5,r5=2,r6=1,r7=1,r8=2,r9=1,r10=2,r11=1,r12=1,r13=1,r14=1,4個單元的失效率同取為α=1,通過Monte-Carlo模擬產生36個失效數(shù)據(jù)如下:

si={1}:1.4193,0.2747,1.2822,0.8280,0.0654;

si={2}:1.0330,1.3849,1.5964,1.5312,0.5222,1.6606;

si={3}:1.1026,0.4690,0.5532,1.0306,1.0851,1.2903;

si={4}:0.4033,1.7213,0.2125,0.7960,0.9508;si={1,2}:0.7352,0.5709;

si={1,3}:0.6101;si={1,4}:0.7919;si={2,3}:0.3400,0.5037;

si={2,4}:0.6608;si={3,4}:0.8442,0.9803;si={1,2,3}:0.3726;

si={1,2,4}:1.0369;si={1,3,4}:0.7288;si={2,3,4}:1.2013;si={1,2,3,4}:0.8148.

3 單元失效率同為過原點的線性函數(shù)的四單元混聯(lián)系統(tǒng)屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

設單元1的壽命為X,單元2的壽命為Y,單元3的壽命為Z,單元4的壽命為K,它們的失效率都為βt,X,Y,Z,K相互獨立,系統(tǒng)的壽命記為T,則T=min[max(X,Y),max(Z,K)].

3.1 全樣本場合下的統(tǒng)計分析

在全樣本數(shù)據(jù)下對數(shù)似然函數(shù)為:

類似地,可用似然比的方法給出參數(shù)α的近似區(qū)間估計.給定不同的樣本容量n,及ni,i=1,2,…,14和參數(shù)真值的情況下,通過1000次的Monte-Carlo模擬,得到參數(shù)α的極大似然估計的均值和均方誤差,在給定置信水平0.95下得到參數(shù)α和近似區(qū)間估計的平均上限、平均下限以及1000次模擬真值落在區(qū)間估計外面的個數(shù),模擬結果表明極大似然估計以及近似區(qū)間估計的精度滿足要求.

例3 取樣本容量n=38,n1=6,n2=4,n3=5,n4=4,n5=1,n6=2,n7=1,n8=1,n9=2,n10=3,n11=2,n12=1,n13=2,n14=2,4個單元的失效率同取為βt=t,通過Monte-Carlo模擬產生38個失效數(shù)據(jù)如下:

si={1}:2.0327,0.061004,0.35403,0.57617,1.1416,2.1044;si={2}:0.40628,0.19919,1.3348,0.5073;si={3}:0.78044,0.35211,0.6749,1.1586,0.44911;si={4}:0.71715,1.7075,0.86229,0.043607;si={1,2}:0.41627;si={1,3}:0.08604,0.2081;si={1,4}:0.57083;si={2,3}:1.8555;si={2,4}:0.33451,1.9864;si={3,4}:0.42826,0.65081,0.12387;si={1,2,3}:0.51431,1.242;si={1,2,4}:1.0934;si={1,3,4}:1.3014,1.331;si={2,3,4}:1.1799,1.0782;si={1,2,3,4}:1.5512,0.69633.

3.2 截尾樣本場合下的統(tǒng)計分析

對數(shù)似然函數(shù)為:

類似地,可用似然比的方法給出參數(shù)α的近似區(qū)間估計.給定不同的樣本容量n,和定數(shù)截尾數(shù)r,ri,i=1,2,…,14和參數(shù)真值的情況下,通過1 000次的Monte-Carlo模擬,得到參數(shù)α的極大似然估計的均值和均方誤差,在給定置信水平0.95下得到參數(shù)α和近似區(qū)間估計的平均上限、平均下限以及1000次模擬真值落在區(qū)間估計外面的個數(shù),模擬結果表明極大似然估計以及近似區(qū)間估計的精度滿足要求.

例4 取樣本容量n=38,r=37,r1=2,r2=3,r3=2,r4=3,r5=2,r6=3,r7=3,r8=2,r9=3,r10=3,r11=3,r12=2,r13=3,r14=2,4個單元的失效率同取為βt=2t,通過Monte-Carlo模擬產生37個失效數(shù)據(jù)如下:

si={1}:0.9450,0.6555;si={2}:0.6093,0.6055,0.4182;si={3}:0.3874,0.3345;si={4}:0.2879,1.8960,0.7146;si={1,2}:1.4526,0.6033;si={1,3}:0.5715,0.9877,0.0242;si={1,4}:1.0173,0.5948,1.6265;si={2,3}:0.9140,0.6306;si={2,4}:1.7371,1.0492,0.2713;si={3,4}:0.7639,0.1641,1.0685;si={1,2,3}:1.4754,0.4533,1.1277;si={1,2,4}:1.0529,1.9911;si={1,3,4}:1.0176,0.4860,1.4511;si={2,3,4}:1.3909,0.5437;si={1,2,3,4}:1.0582.

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(責任編輯：馮珍珍)

Statistical analysis of four-unit hybrid system for masked data

Xu Xiaoling1, Duan Guifeng2, Wang Ronghua2, Gu Beiqing1

(1.School of Statistics and Information,Shanghai University of International Business and Economics,Shanghai 201620,China; 2.College of Mathematics and Science,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

The likelihood function of four-unit hybrid system is deduced based on masked data.The maximum likelihood estimates of parameters are proposed for hybrid system composed of four units with constant failure rate and linear failure rate based on masked data.Besides,the approximate interval estimates of parameters are obtained by using likelihood ratio to construct interval estimate.

masked data; four-unit hybrid system; maximum likelihood estimate; approximate interval estimate

2015-07-01

上海市教育委員會科研創(chuàng)新重點項目(14ZZ155)

徐曉嶺(1965-),男,教授,主要從事應用統(tǒng)計方面的研究.E-mail:xlxu@suibe.edu.cn

O 213

A

1000-5137(2017)02-0178-08