網(wǎng)格曲面模型及樣條曲面模型的樣條實體構建的研究綜述

王會穎,章義剛,李懷英

(1.安徽財貿職業(yè)學院 雪巖貿易學院，合肥 230601；2.合肥學院 建筑工程系，合肥 230601；3 .合肥工業(yè)大學 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,合肥 230009)

網(wǎng)格曲面模型及樣條曲面模型的樣條實體構建的研究綜述

王會穎1,章義剛2,李懷英3

(1.安徽財貿職業(yè)學院 雪巖貿易學院，合肥 230601；2.合肥學院 建筑工程系，合肥 230601；3 .合肥工業(yè)大學 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,合肥 230009)

等幾何分析的研究極大地促進了CAD、CAE的無縫結合，而如何構建樣條實體模型成為制約等幾何分析發(fā)展和應用推廣的關鍵瓶頸。從等幾何計算的視角出發(fā)，介紹NURBS和T樣條基礎理論，著重介紹了NURBS、B樣條和T樣條實體建模的研究進展，并分析了各種構建方法的優(yōu)點和存在的不足。最后，對未來需要進一步深入研究的關鍵問題進行了分析和探討。

等幾何分析；NURBS樣條；B樣條；T樣條；樣條實體建模

0 引 言

計算機輔助工程(Computer Aided Engineering，CAE)中模型的表示常用多邊形網(wǎng)格法，而計算機輔助設計(Computer Aided Design，CAD)中常用NURBS(Non- uniform Rational B- spline)樣條模型表示，CAE與CAD之間存在著不兼容和模型轉換問題，以及由此產(chǎn)生的精度降低和時間耗費等問題已經(jīng)困擾了工業(yè)界數(shù)十年，嚴重影響工業(yè)界高精度模型和高效率計算的發(fā)展。

2005年，Hughes等提出了等幾何分析(Isogeometric Analysis, IGA)，為CAD和CAE的無縫結合帶來了曙光。[1]等幾何分析直接將CAD中設計出的樣條模型作為分析模型，節(jié)省了模型轉換中耗費的大量時間，也極大地提高了計算精度。并且在傳統(tǒng)有限元分析中，如果初次網(wǎng)格劃分后得到的計算精度達不到設計要求，必須對該有限元模型進行重新網(wǎng)格劃分，而在等幾何分析中，則可以直接基于原有網(wǎng)格劃分的結果對模型進行局部細化，簡化了繁瑣的網(wǎng)格劃分步驟。但等幾何分析的模型需要由樣條實體構建，要想推進CAD和CAE的無縫融合，必須建立可用于計算分析的樣條實體模型[2-3]，構建一種高效且便捷的生成樣條實體的計算方法迫在眉睫。

傳統(tǒng)的CAD模型中，實體模型常用的表示方法是邊界表示法(Boundary Representation, B- rep)，使用邊界曲面來表示實體，但實體內部的體積數(shù)據(jù)仍包含很多重要信息，如材料性能、密度等，[2]而且邊界曲面模型無法直接用于分析。在IGA中，分析模型需要由樣條實體構建[3]，所以如何將邊界曲面模型轉變?yōu)槿兞繀?shù)樣條實體模型對于等幾何分析發(fā)展具有重大意義[1-2]。

目前，樣條實體構建的研究仍處在初級階段，雖然有一些開創(chuàng)性的成果，但使用的模型都是擁有簡單拓撲結構的幾何模型，由任意復雜幾何模型或裁剪模型構建樣條實體的方法仍未出現(xiàn)，現(xiàn)有構建算法也存在很多不完善的地方，這也是制約等幾何分析發(fā)展和推廣應用的關鍵瓶頸。本文從網(wǎng)格曲面模型和樣條曲面模型出發(fā)，介紹了NURBS和T樣條的基礎理論，著重介紹了NURBS實體、B樣條實體、T樣條實體構建方法的研究進展并分析了其優(yōu)點和不足，最后對進一步深入研究的熱點問題進行了探討。

1 B樣條和T樣條基礎理論

1.1 NURBS、B樣條實體

非均勻有理B樣條(NURBS)統(tǒng)一了二次曲面和自由曲線曲面的表達形式，具有一套高效、快速、穩(wěn)定的數(shù)值算法。NURBS有很好的數(shù)學性質，如仿射不變性，變差減縮性，凸包性等，也有很好的幾何造型優(yōu)勢。但NURBS也存在缺陷：第一，多張NURBS曲面拼接時容易產(chǎn)生間隙和重疊；第二，NURBS的矩形拓撲結構使得細分時引入大量控制頂點，增大了計算量且不便于模型細化設計。[4]三變量B樣條實體數(shù)學表達式如(1)式。其中，Pi,j,k,i=0,1,…,m,j=0,1,…,n,k=0,1,…,l是u,v,w方向上的控制點。Ni,p(u),Nj,p(v),Nk,r(w)是u,v,w方向上的B樣條基函數(shù)。B樣條實體也可被分解成Bezier體以便后續(xù)等幾何分析，Bezier體可表示為(2)式，其中，Pi,j,k是控制點。Bi,p(u),Bj,q(v),Bi,r(w)是u,v,w方向上的Bernstein基函數(shù)。

(1)

(2)

1.2 T樣條、T樣條實體和雅克比行列式

T樣條實體的雅克比行列式如(4)式。 雅克比行列式值的正負是判斷T樣條實體是否適合于分析的重要依據(jù)。如果J為正值，則構建的T樣條實體適合于等幾何分析。如果J為負值，則幾何模型可能存在自交和重疊的部分，不能用于等幾何分析。

(3)

2 NURBS實體、B樣條實體、T樣條實體構建方法

2.1 T樣條實體的構建

T樣條提供了一種新型的幾何造型技術，解決了NURBS在局部細化和拼接方面的不足。而邊界曲面模型只有在經(jīng)過樣條實體參數(shù)化之后才能用于等幾何分析，所以構建基于網(wǎng)格曲面模型和樣條曲面模型的T樣條實體尤為重要。

由于T樣條及T樣條實體構建的復雜性，自2003年Seder和鄭建民提出T樣條理論，經(jīng)歷了很長一段時間的研究后，2011年才出現(xiàn)第一篇構建T樣條實體的文獻。[5]隨后的3年中，T樣條實體的研究迎來了新高潮。2012年，張永杰和王文艷等人提出更加標準和完整的構建T樣條實體的方法，[2]成為T樣條實體建模發(fā)展的里程碑。隨后，文獻[2-7] 在上述研究的基礎上，將輸入模型拓寬至任意復雜邊界曲面模型，并提出由T樣條曲面構建T樣條實體方法，但目前T樣條實體構建研究的輸入模型都是擁有簡單拓撲結構的幾何模型。

2011年，文獻[6]提出通過自適應四面體網(wǎng)格化和網(wǎng)格重構光順技術，由網(wǎng)格邊界模型構建T樣條參數(shù)化實體的方法，該方法流程如圖1。該文章首次提出相對完整的由邊界曲面“實體”來構建三變量T樣條實體的方法。該方法關鍵是對邊界曲面“實體”進行參數(shù)化，如圖2，隨后在參數(shù)化立方體單元上構建T網(wǎng)格，并由T網(wǎng)格計算生成三變量T樣條實體。但該方法也存在不足：(1)T樣條實體內部存在奇點，其雅克比行列式值為負值，不便于等幾何分析。(2)輸入的“實體”表面為零虧格，當虧格數(shù)大于零時該方法不一定適用。(3)構建的T樣條實體的邊界表面的連續(xù)性在參數(shù)立方體的8個角節(jié)點和12條邊上為C0。

圖1 文獻[6]構建T樣條實體方法。

圖2 文獻[6]細分算法及參數(shù)化過程

隨后，文獻[2]提出了由零虧格邊界曲面三角網(wǎng)格表示向T樣條實體轉化的方法，如圖3。該文章使用映射法和八叉樹細分方法將網(wǎng)格邊界模型轉化為實體T樣條模型，并保證了邊界曲面除邊角節(jié)點外均為C2連續(xù)的特性。其中，由八叉樹細分可以得到初始T網(wǎng)格，但此初始T網(wǎng)格的部分節(jié)點存在負雅克比行列式值，且邊界處不具有良好的性質。該文章通過邊界加層方法來提高T網(wǎng)格的質量和T樣條實體表面的連續(xù)性。之后，通過文獻[4]提出的模板化技術處理參數(shù)立方體中的奇異節(jié)點和偏奇異節(jié)點，保證T網(wǎng)格是無縫隙的。經(jīng)過此步驟后，初始T網(wǎng)格轉變成有效的T網(wǎng)格，可作為T樣條實體構建的基礎。隨后，通過計算T網(wǎng)格中的節(jié)點矢量和節(jié)點基函數(shù)，構建T樣條實體，并通過Beizer因子提取，將T樣條實體用于等幾何分析(案例如圖4)。

圖3 文獻[2]構建T樣條實體方法

圖4 文獻[2]由邊界曲面構建T樣條實體和Beizer因子提取實例

相比于之前T樣條實體構建的文獻，該文章提出了較為完整的T樣條實體構建的方法，構建的T網(wǎng)格中不含有負值的雅克比行列式且保證了T樣條實體的邊界曲面除去邊角節(jié)點外均為C2連續(xù)的性質。但該方法也存在一些缺陷：(1)雖然得到的T網(wǎng)格不含有負值的雅克比行列式，但在Beizer因子提取后，不能保證所有的Beizer因子都有正雅克比行列式值。(2)輸入的邊界模型為零虧格，對于更加復雜的任意拓撲的結構沒有進行討論。(3)參數(shù)化映射和T網(wǎng)格質量優(yōu)化步驟十分耗費時間。

之后,文獻[3] 發(fā)展了上述方法，提出了任意復雜拓撲幾何邊界網(wǎng)格的三變量T樣條實體化方法(如圖5)。該文章在上述文獻[2]基礎上，將輸入模型拓寬至任意復雜拓撲幾何邊界網(wǎng)格模型。并通過計算調和函數(shù)標量場和處理鞍點等過程進行體參數(shù)化，構建多重立方體參數(shù)域。隨后，運用上述文獻[2] 方法構建T 樣條實體(案例如圖6)。該方法具有很多優(yōu)點：(1)三變量實體T樣條直接在多重參數(shù)立方體上構建，且多重立方體可由任意復雜拓撲的幾何模型自動生成；(2)實體T樣條的表面為一張曲面并且只有極少數(shù)不規(guī)則節(jié)點；(3)所有T樣條實體的雅克比行列式為正值，適合于等幾何分析；(4)除了多重立方體邊界角節(jié)點外，其余T樣條實體的邊界曲面為C2連續(xù)，保證了曲面的光順性。但該文章也存在以下不足：(1)只考慮了含有莫爾斯鞍點的幾何結構，沒有考慮含有任意鞍點的幾何結構；(2)沒有考慮模型設計中的尖點特征。

圖5 文獻[3]構建T樣條實體方法

圖6 文獻[3]由兩虧格邊界模型生成T樣條實體和Beizer因子提取實例

圖7 T樣條曲面構建T樣條實體的方法

文獻[7] 提出了由T樣條邊界曲面構建三變量T樣條實體的方法，可總結為圖7。該文章輸入模型為簡單T樣條邊界曲面模型，要求T樣條曲面為零虧格并且只含有八個奇異點。構建的T樣條實體和初始T樣條具有很好的一致性，有相同的邊界表示和連續(xù)性，并且雅克比行列式為正值。在T樣條實體的內部，除了不規(guī)則節(jié)點的局部區(qū)域外，連續(xù)性為C2。該方法也可用于由NURBS和局部細分B樣條曲面構建三變量T樣條實體(案例如圖8)。

圖8 文獻[7]T樣條曲面構建T樣條實體實例

未來，任意復雜邊界曲面模型(高虧格)的參數(shù)立方體構建和映射問題、T樣條實體內部不規(guī)則節(jié)點處理問題、將初始T樣條轉變成適合分析的T樣條實體問題、T樣條實體局部細分問題和T樣條實體邊界曲面連續(xù)性問題仍是研究的熱點。

2.2 NURBS、B樣條實體的構建

NURBS、B樣條實體構建的研究早于T樣條實體，國內外學者也紛紛提出了不同的構建方法。目前，NURBS、B樣條實體構建研究的關注熱點主要集中在體參數(shù)化方法、三變量B樣條實體的擬合迭代算法、優(yōu)化重組內部控制頂點和權重、改善B樣條實體的適合分析性等方面。其中，構建體參數(shù)化的方法有離散調和函數(shù)映射法、凸組合映射法、離散保形映射法等。

文獻[8] 提出由零虧格邊界三角網(wǎng)格模型構建B樣條實體的方法，首先使用調和函數(shù)進行體參數(shù)化，由輸入的三角網(wǎng)格生成四邊形網(wǎng)格，再生成四面體網(wǎng)格并構建六面體網(wǎng)格。最后，以構建的六面體網(wǎng)格為基礎，通過迭代擬合算法構建三變量B樣條實體。文獻[9] 提出掃略實體NURBS參數(shù)化建模方法并用于等幾何分析，并對合適的參數(shù)化過程和邊界插值條件的影響進行了論述。

文獻[10] 通過血管模型的圖像數(shù)據(jù)構建NURBS實體模型并用于等幾何分析，構建方法如圖9。但當模型復雜時，血管的分支會出現(xiàn)含有自交的區(qū)域，且如何評價構建的NURBS實體及如何提高網(wǎng)格的質量等問題仍有待解決。文獻[11] 通過多盒實體的樣條邊界模型構建B樣條實體并對于樣條的參數(shù)化進行了研究，給出了不同計算域的適合分析的實體參數(shù)化方法。該文章通過解約束優(yōu)化問題，使二次能量函數(shù)值最小化，來保證得到的體參數(shù)化結果達到最好，并保證沒有自交部分且參數(shù)域部分有很好的均勻性和正交性。

圖9 血管NURBS實體建模過程

文獻[12] 提出基于梯度優(yōu)化方法構建三變量B樣條實體。其采用分而治之的方法通過找到內部控制頂點最合適的位置，運用區(qū)域聚合方法，保證最小雅克比行列式值為正，并通過最小化體積函數(shù)改善參數(shù)化質量。該方法很大地降低了問題的復雜性，減少了計算時間。文獻[13]提出通過離散體參數(shù)化的方法，構建B樣條實體。輸入模型為邊界三角網(wǎng)格模型，由每個內部頂點的幾何信息構成一個線性系統(tǒng)方程。通過解此線性系統(tǒng)方程，完成離散體參數(shù)化過程。隨后，該文章提出迭代算法來擬合三變量B樣條實體。當控制頂點數(shù)量較多時，該擬合算法可以很好地控制運算時間的持續(xù)增長。

文獻[14] 提出高效體參數(shù)化方法構建適合分析的NURBS實體。該文章提出莫比烏斯轉換方法來優(yōu)化參數(shù)化結果，之后建立適合分析的體參數(shù)化模型，通過邊界再參數(shù)化方法和優(yōu)化內部頂點和權重方法來構建適合分析的NURBS實體。

NURBS、B樣條實體構建的方法相比于T樣條實體構建較為簡單，研究成果也更加豐富。未來，B樣條實體的網(wǎng)格質量改善問題、高虧格復雜邊界曲面模型的B樣條實體構建問題、構建適合分析的體參數(shù)化問題仍是研究的熱點。

3 總結與展望

等幾何分析為CAE、CAD的無縫結合帶來了曙光，構建可用于等幾何分析的參數(shù)化樣條實體也成為急需解決的問題。本文依據(jù)NURBS、B樣條理論和T樣條理論，著重介紹了T樣條實體構建和NURBS、B樣條實體構建研究進展，也介紹了現(xiàn)有實體研究成果的優(yōu)點和存在的缺陷。目前，樣條實體構建的相關研究仍處在初級階段，存在很多有待解決的問題。未來，樣條實體研究的方向如下：

(1)由任意高虧格復雜邊界曲面模型構建樣條實體的研究。目前，現(xiàn)有研究成果的輸入模型大多為零虧格幾何模型，少數(shù)研究針對一虧格或者兩虧格幾何模型。對于高虧格模型問題仍沒有一套現(xiàn)有的處理方法。如何由任意復雜的CAD模型構建樣條實體模型，仍是影響IGA廣泛應用的關鍵問題。

(2)改善樣條網(wǎng)格質量的研究。樣條網(wǎng)格質量的好壞直接影響等幾何分析的準確性和收斂性，并對計算時間和復雜度也產(chǎn)生較大影響?？梢酝ㄟ^處理奇異節(jié)點、優(yōu)化重組內部控制頂點和重置權重、光順和優(yōu)化處理等方法進行改善。這是一個約束優(yōu)化問題，也是未來研究的熱點。

(3)由初始樣條網(wǎng)格構建適合分析的樣條實體的研究。由于構建的三變量樣條實體需要用于等幾何分析，所以要求樣條實體必須是適合分析的，即雅克比行列式值為正值。目前的研究中，構建的樣條實體含有部分雅克比行列式值為負的區(qū)域。幾何上表現(xiàn)為模型可能存在自交或者重疊部分，不適合等幾何分析。雖然目前的研究出現(xiàn)了一些成果，但將初始樣條網(wǎng)格模型轉變成適合分析的樣條實體模型是研究的熱點問題。

(4)樣條實體邊界曲面的連續(xù)性問題研究。目前，對于構建的三變量樣條實體的邊界曲面的連續(xù)性問題研究較少，且在奇異節(jié)點處連續(xù)性突減，如何改善樣條實體表面的連續(xù)性問題也是未來研究熱點。

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[責任編輯：張永軍]

The Summary of Construction of Spline Solid from Boundary Representation or Spline Surface

WANG Hui- ying1, ZHANG Yi- gang2，LI Huai- ying3

(1.School of Xueyan Trade，Anhui Finance and Trade Vocational College,Hefei 230601；2.Department of Architecture Engineering，Hefei University,Hefei 230601；3. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making for Ministry of Education, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China)

Isogeometric analysis(IGA) brings the tight integration of CAD and CAE. How to generate trivariate spline solid becomes an urgent task for the development and popularized application of IGA. This paper presents the review of NURBS and T- spline basic theory, and emphasizes the research progress of NURBS、B- spline and T- spline solid, based on the perspective of isogeometric analysis. In addition, this paper analyzes the advantages and deficits of the research achievement. Finally, this paper discusses the deep study problems of solid construction in the future.

isogeometric analysis； NURBS、B- spline；T- spline；construction of spline solid

2017-01-10

2017-03-03

國家“863”云制造主題項目(2015AA042101)、國家自然科學基金重大研究計劃培育項目(91546108)、國家自然科學基金項目(71301041)、安徽省高校自然科學重點項目(KJ2016A009，KJ2017A860)資助。

王會穎(1969— ),女,安徽蕭縣人,安徽財貿職業(yè)學院雪巖貿易學院副教授、博士,研究方向:群體智能、云制造；章義剛(1965— ),男, 安徽南陵人,合肥學院建筑工程系副教授, 研究方向：智能計算。

TH126

A

2096-2371(2017)02-0057-07