讓探究成為高三微專題復習課的主旋律*
——以一節(jié)高三微專題復習課為例

☉廣州市真光中學 金 明 吳潤文

讓探究成為高三微專題復習課的主旋律*
——以一節(jié)高三微專題復習課為例

☉廣州市真光中學 金 明 吳潤文

一、問題提出

在高三復習課的教學中，為了突出重點，突破難點，提升能力，常常在重點內(nèi)容開設(shè)微專題復習課.微專題復習課涉及的教學內(nèi)容一般不多，它圍繞若干緊密相關(guān)的知識或確定的思想方法形成一個教學小專題，以具有一定綜合性的教學內(nèi)容為載體，以形成知識網(wǎng)絡(luò)，產(chǎn)生對知識整體認識為指向，以提升學生綜合運用某些知識解決數(shù)學問題、提升能力為目的.由于微專題復習課具有操作靈活、指向性強，對提高學生能力有很好的實效性等特點，所以在高三教學中經(jīng)常被采用.

但在微專題教學實踐中，很多微專題課顯現(xiàn)出“目標定位過大，過于追求綜合，過于追求容量與節(jié)奏，忽視動態(tài)生成，問題設(shè)計不夠合理，就題論題，思維含量過少”等問題，導致教學效果不好，簡單重復，沒有新意，學生興趣不高，學習積極性和主動性難以發(fā)揮.

如何使微專題復習課有效高效呢？筆者認為應(yīng)該讓專題“微”起來，表現(xiàn)在選材上適合學生實際與考綱要求，突破學生學習難點，“微”在難點突破；表現(xiàn)在教學過程上，“微”在精心預設(shè)，讓學生的學習活動成為探究的過程；表現(xiàn)在操作上，“微”在互動生成，讓自探、互探、悟探融為一體.下面以微專題《拋物線的切線問題》為例加以分析說明.

二、微專題《拋物線的切線問題》課堂教學實踐

教學前的思考：為什么將《拋物線的切線問題》選材為一個微專題進行教學？原因是《拋物線的切線問題》關(guān)注了知識的交匯（拋物線的有關(guān)知識與導數(shù)的相關(guān)知識），它的切入點可以從直線與拋物線的位置關(guān)系（相切，用根的判別式解決），也可以用導數(shù)的幾何意義解決切線問題，到底如何選擇較好？對學生來說是一個難點.同時此內(nèi)容適合學生的需求，學生對拋物線與導數(shù)知識有一定的了解，但對它們的聯(lián)結(jié)點、交匯點認識不深刻，需要進一步探討.同時本內(nèi)容是高考命題的熱點，通過本內(nèi)容的學習，可提高學生分析問題、解決問題的能力.

1.特例引入，降低起點，激發(fā)學生探究興趣

引例：已知拋物線x2=4y，拋物線的準線與y軸交點為P，若過P作拋物線的切線，切點分別為A，B.

（1）求切線PA，PB的方程；

（2）求直線AB的方程.

（學生自主探究6分鐘后投影展示學生的解答過程）

生1：依題意得，拋物線準線為y=-1，故P點的坐標為（0，-1）.

設(shè)PA的方程為y+1=kx，因它與拋物線x2=4y相切，

即方程x2=4（kx-1）有兩個相等實根.

所以Δ=（4k）2-16=0，即k=±1.

所以PA，PB的方程為y=x-1，y=-x-1.

易知A，B坐標為（2，1），（-2，1），故直線AB方程為y=1.

所以直線PA，PB的方程為y=x-1，y=-x-1.

同理可得直線AB的方程為y=1.

師：生1、生2的解法非常好，他們從不同的角度解決了有關(guān)拋物線的切線問題.哪位同學能總結(jié)一下他們的方法？

生3：生1是應(yīng)用直線與拋物線相切，方程組只有一組解轉(zhuǎn)化為方程有兩個相等的實數(shù)根來求解的.生2是用導數(shù)知識設(shè)切點，根據(jù)切線斜率是函數(shù)在切點處的導數(shù)而得到切線方程.

師：生3總結(jié)得非常好！他總結(jié)了解決拋物線切線問題的兩種方法.請同學們思考一下，點P在特殊的位置（如準線上），此時切線PA，PB有何關(guān)系？直線AB過一個特殊的點嗎？點P在準線其他位置有這種關(guān)系嗎？

教學感悟：教學從一個簡單的、特殊的實例出發(fā)，讓學生自主探究；通過展示學生的解法，讓學生體驗成功，以激起學生進一步探究的欲望.讓學生總結(jié)歸納，建立解決問題常用方法的理論依據(jù)以及不同解題方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學生形成知識網(wǎng)絡(luò).教師提出新的數(shù)學問題，引導學生進一步探究.

圖1

2.問題驅(qū)動學生自主探究合作交流

探究1：過拋物線x2=4y的準線上任意一點P作拋物線的切線PA，PB，則PA，PB有什么關(guān)系？直線AB過定點嗎？

生4：（教師展示生4的解法）設(shè)直線PA的方程y+1= k（x-x0）.因為它與拋物線x2= 4y相切，所以x2=4（kx-kx0-1），即x2-4kx+4kx0+4=0.（1）

此時由判別式Δ=16k2-4·（4kx0+4）=0，得k2-kx0-1=0.（2）

……做不下去了.

師：生4做到這里就做不下去了，哪位同學能幫助他？

生5：由（2）知，k1k2=-1，故PA，PB垂直.

師：為什么？

生5：因為PA，PB是過點P的拋物線x2=4y的兩條切線，

所以方程k2-kx0-1=0的兩根分別為PA，PB的斜率.

由韋達定理知，k1k2=-1.故PA，PB垂直.

師：生5講得非常好，理解得很透徹.直線AB過定點嗎？如何求解呢？

生5：好像不好做，若通過（1）式解方程求A，B兩點的坐標應(yīng)當可行，但運算量太大，不可行.不知怎么辦？

師：有哪位同學想到解決問題的方法嗎？

故直線AB過拋物線x2=4y的焦點F.

師：生6的推導非常正確，它說明過拋物線準線上一點作拋物線的兩條切線，則這兩條切線互相垂直，且兩切點的連線過焦點.反之其逆命題是否成立呢？

教學感悟：教師創(chuàng)設(shè)了一個開放性問題情境，激發(fā)學生探究.因問題的開放性，學生思考的視角增大，且難度不太大，入手點多，有助于學生主動參與探究，激發(fā)學生學習的積極性.教學中，教師充分留給學生思考、嘗試、探究的時間與空間，使學生能從各自的角度認識問題，鼓勵學生從不同角度思考問題，提出不同的解決方案.當學生有問題時，鼓勵學生相互討論，合作交流.在合作與交流中，學生得到了問題的正確解法，澄清了錯誤的認識，體會到了不同解法的區(qū)別與聯(lián)系，悟出了簡潔的解法合理性.在學生理解困難的關(guān)鍵處提出質(zhì)疑，讓學生思考，深化學生思維.同時，提出了新的問題（原問題的逆命題）引發(fā)學生思考.

圖2

探究2：如圖2，過拋物線x2=2py的焦點F任作一條直線交拋物線于點A，B，過點A，B作拋物線的切線l1和l2，兩條切線交于點P，則點P的位置在什么地方？

所以點P在準線上.

師：生7解答得非常好，通過她的解答，可得出如下結(jié)論：過拋物線焦點作直線交拋物線于A，B兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，則兩切線交于拋物線的準線上.現(xiàn)有一個問題值得同學們探究一下：若不是過焦點，結(jié)果如何呢？

教學感悟：探究2是對探究1的逆命題的探究，學生因有探究1的解題經(jīng)驗，解答此題就有了相似的方法，學生的探究的興趣也愈來愈濃.同時，探究2的設(shè)計給學生的自主探究指明了方向：對于一個數(shù)學問題可從哪些方面進行探究？如可探究問題解法的多樣性，也可變換命題，如將條件變結(jié)論，結(jié)論變條件命題是否成立，還可變換條件；擴充結(jié)論等，為學生的自探自悟奠定了基礎(chǔ).教師通過總結(jié)，又提出了新的探究問題，同時為學生的自探指明方向.

圖3

探究3：如圖3，已知拋物線x2=2py（其中p＞0），若點P（x0，y0）為坐標平面內(nèi)的一定點，過點P的動直線l與拋物線交于點A，B，過點A，B作拋物線的切線l1和l2，兩條切線交于點Q，則點Q的軌跡方程是什么呢？

得x2-2pkx+2pkx0-2py0=0.

則x1+x2=2pk，x1x2=2pkx0-2py0.下面就不知如何做了？

師：哪位同學能幫幫忙？

生9：生8已經(jīng)接近成功了，只需設(shè)點Q的坐標為（x，y），

消去k，得x0x=p（y+y0）.

故點Q的軌跡方程為x0x=p（y+y0）.

師：非常好.經(jīng)過生9的補充，此題得到完美的解答.此題求Q點的軌跡，實質(zhì)是用到了參數(shù)法求軌跡，通過消去參數(shù)k得到軌跡方程.生8之所以沒有成功，是對參數(shù)法求軌跡理解不到位，希望大家繼續(xù)努力.

師：（因接近下課，課堂小結(jié)）請同學們思考一下，我們今天學習了什么？解決了什么問題？方法是什么？

生10：今天，我們學習了拋物線的切線問題，解決了形如x2=2py的拋物線的切線問題.

生11：解決拋物線的切線問題的方法有兩個，其一是應(yīng)用直線與拋物線相切，方程組只有一組解轉(zhuǎn)化為方程有兩個相等的實數(shù)根來求解的.其二是用導數(shù)知識設(shè)切點，根據(jù)切線斜率是函數(shù)在切點處的導數(shù)而得到切線方程.

師：非常好，還有什么值得我們探究的問題嗎？

生12：形如y2=2px的拋物線的切線問題.

生13：圓的切線問題？橢圓的切線問題.

師：提出問題是成功的一半，非常好，同學們提出這些問題作為我們今天的作業(yè).

教學感悟：探究3是將探究2從特殊到一般的探究，它溝通了直線與拋物線，拋物線的切線方程，交點的軌跡問題等知識的聯(lián)系.通過此題的探究，可提升學生綜合分析問題的能力.同時指明了自探、悟探的方向.教師的小結(jié)也別具一格，不僅讓學生總結(jié)提煉所學知識，而且讓學生思考值得探究的問題，將探究延伸.

3.延伸探究，自探自悟

設(shè)計一些探究性問題，留作課后思考，讓學生自探自悟.

探究4：過拋物線y2=2px的準線上任意一點作拋物線的切線PA，PB，則PA，PB的位置有什么關(guān)系？直線AB過定點嗎？

探究5：過點P（m，0）的直線與拋物線y2=2px交于點A，B，分別過A，B作拋物線的切線l1和l2，且l1和l2的斜率分別為k1和k2，則k·1k2是否為定值？

探究6：已知拋物線y2=2px（其中＞0），若點P（x0，y）0為坐標平面內(nèi)的一定點，過點P的動直線l與拋物線交于點A，B，過點A，B作拋物線的切線l1和l2，兩條切線交于點Q，求證：點Q的軌跡方程為y0y=p（x+x0）.

探究7：已知圓O：x2+y2=r2，若點P（x0，y0）為坐標平面內(nèi)的一定點（異于圓心O），過點P的動直線l與圓O交于點A，B，過點A，B作圓O的切線l1和l2，兩條切線交于點Q，求證：點Q的軌跡方程為x0x+y0y=r（2除圓內(nèi)部分）.

設(shè)計說明：探究4-6是另一種形式的拋物線切線問題的有關(guān)探究，它的處理方法如何？與課堂上的拋物線切線問題解決方法是否相同，值得讓學生課后探討.探究7-8是圓與橢圓的切線問題的探究.通過對各種曲線的切線問題的探究，可溝通知識聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探究，樂于探究的好習慣.

三、教學思考

微專題復習課是基于學情、教情，選擇切口小、角度新、針對性強的微型復習專題，力求解決復習課中的真問題、小問題和實問題.選擇怎樣的主題，以怎樣的教學方法解決問題是微專題教學效益的關(guān)鍵，結(jié)合本課，筆者認為搞好微專題復習課要從以下幾個方面入手：

1.精選教學內(nèi)容，定點突破

微專題內(nèi)容的選擇目的是解決學生學習中的“困惑點”“疑難點”，內(nèi)容選擇應(yīng)在學生的“思維最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)進行，不宜過易也不宜過難.知識和方法不能一蹴而就，要把握好度，所選內(nèi)容既要讓學生在課堂上鞏固基礎(chǔ)知識，熟練掌握基本解題方法，又要激發(fā)學生學習積極性，使學生主動參與、樂于探究、勤于動手，所以內(nèi)容要精、要具有研究性，可以從多個角度認識和解決問題，具有一定的思維含量，能夠體現(xiàn)核心的思想方法.如本節(jié)課的內(nèi)容選材關(guān)注解析幾何與導數(shù)的聯(lián)結(jié)點，高三學生可從多個角度展開研究，研究的角度多樣、解題方法多樣，本節(jié)課精心設(shè)計了一系列問題，由淺入深，由簡單到復雜，由特殊到一般.通過學生的探究，可溝通知識的聯(lián)系，體驗到不會的痛苦與成功的喜悅，有助于進一步激發(fā)學生的學習興趣.

2.學生主體，探究成為課堂教學的主旋律

微專題教學的課堂，因教學內(nèi)容是學生的易混易錯點，是綜合知識的聯(lián)結(jié)點，教師的教學要關(guān)注學生為什么會易混易錯，為什么感覺困難.因此，教學理念一定要以學生為主體，根據(jù)學情以學定教，設(shè)計問題由淺入深，符合學生最近發(fā)展區(qū)，讓學生獨立思考、主動探究，讓學生展求思維過程、互相合作、補充，教師引導.本節(jié)課在探究問題1時，讓學生展示多種解法，剖析做不下去的原因；引導學生換個角度思考問題；再讓別的學生補充、交流.把課堂真正還給學生，讓學生探究、交流、再探究、再交流；讓學生在參與教學活動中激活思維、經(jīng)歷過程.除了課堂內(nèi)探究外，再設(shè)計問題拓展延伸，讓學生在課外也有探究的問題與時空.

3.教師主導，精心設(shè)計問題；教學組織，突出生成性

微專題教學內(nèi)容是教師根據(jù)學情精心設(shè)計的.通過微專題教學，教師可以引導學生“綜合考點，把握重點，關(guān)注熱點，查找漏點”，將學到的知識、技能、方法形成一個有機的整體，把握知識間的聯(lián)系，歸納總結(jié)解題方法，整合知識要點，滲透數(shù)學思想，提升數(shù)學能力.課堂教學是預設(shè)與生成的有機組合，預設(shè)是為了更好的生成.微專題教學目標的達成不是教師用簡單的方式直接灌輸給學生，而是讓學生在課堂上經(jīng)歷解決問題的過程，通過生生、師生的互動而生成.如本節(jié)課的教學，教師精心預設(shè)了問題，得到答案的過程不是教師直接灌輸，而是由學生合作交流完成.老師只是引導學生從哪些方面探究，滲透自探、悟探的問題與方法.

1.徐勇.在錯誤中尋找學生的最近發(fā)展區(qū)［J］，中學數(shù)學教學參考（上旬），2010，7.

2.李建潮，宋衛(wèi)成.摭探數(shù)列前n項和的適當放縮［J］，中學數(shù)學教學參考（上旬），2010，10.

3.金明，賀育林.要短效高分，還是長效能力［J］.數(shù)學通訊，2015，5.

4.金明，葉東芳.研一題悟一法通一類［J］.中學教研，2015，10.

（1）2016廣州市教育規(guī)劃課題《數(shù)學課堂探究式教學的實踐研究》課題編號1201574155.（2）廣東省“十二五”規(guī)劃課題《提升高中數(shù)學教師教學能力的研究》課題編號2013YQJK080