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    高考中的遞推數(shù)列

    2017-05-12 05:43:38江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué)張森焱
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年9期
    關(guān)鍵詞:公比值域關(guān)系式

    ☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 張森焱

    高考中的遞推數(shù)列

    ☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 張森焱

    數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容,遞推數(shù)列是其中的一個(gè)難點(diǎn),它類型多,解法靈活,技巧性強(qiáng),是考查學(xué)生邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸能力的良好載體,也是近年來高考??嫉膬?nèi)容.下面介紹對(duì)遞推數(shù)列的幾種考查方式,以期拋磚引玉.

    一、遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

    遞推關(guān)系是給出一個(gè)數(shù)列的重要形式,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,是得出一個(gè)數(shù)列的基本途徑,也是轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用——化抽象為具體.

    方法1.累加法

    在數(shù)列{an}中,已知首項(xiàng)a1,且滿足an+1=an+f(n),數(shù)列{f(n)}是可以求和的.

    以上n個(gè)等式相加得,

    這里的第n個(gè)等式(最后一個(gè))是an-an-1=…,而不是an+1-an=….

    方法2.累乘法

    (2)f(n)=kan(ak≠0,a≠1),即數(shù)列{f(n)}為等比數(shù)列,其中a為公比,首項(xiàng)為ka.

    方法3.構(gòu)造等差數(shù)列法

    將所求的數(shù)列關(guān)系式變形,構(gòu)造等差數(shù)列.

    常見構(gòu)造的等差數(shù)列的形式有三種:

    方法4.構(gòu)造等比數(shù)列法

    例4在數(shù)列{an}中,已知a1=1,有an+1=3an+2n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

    形如an+1=qan+d(d(q-1)≠0)的遞推關(guān)系,都可運(yùn)用構(gòu)造等比數(shù)列的方法來求其通項(xiàng)公式.具體做法是:設(shè)an+1+x=q(an+x),由an+1=qan+d解得,所以數(shù)列}是公比為q的等比數(shù)列,從而可求其通項(xiàng)公式.

    方法5.先猜后證

    這種數(shù)列的通項(xiàng)公式問題,需要先求出這個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng),尋找其規(guī)律,猜想其結(jié)果,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

    猜想an=n(2n-1)=2n2-n,下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

    ①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),結(jié)論當(dāng)然成立.

    ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak=2k2-k,

    所以,當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.

    綜合①與②知,對(duì)任何正整數(shù)n,an=2n2-n恒成立.

    遞推數(shù)列的類型多種多樣,求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也有很多.萬變不離其宗,很明顯它們的實(shí)質(zhì)是通過合理、適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化與化歸,轉(zhuǎn)化為求解等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)問題而已.只要我們辨清它是哪種類型,用對(duì)應(yīng)方法解決它即可.

    二、對(duì)于不等遞推關(guān)系的考查

    不等遞推關(guān)系型時(shí)常出現(xiàn)在一般的競(jìng)賽或??贾?,此類問題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔,看似平淡無奇,卻極富韻味.

    例6已知f(x)是定義在R上的函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2,f(1)=1.

    (1)求f(2005)的值;

    (2)求f(2007)的值.

    解:(1)聯(lián)想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo),試用疊加法.

    由f(x+3)≤f(x)+3這個(gè)“不等遞推關(guān)系式”,得f(2005)≤f(2002)+3,f(2002)≤f(1999)+3,f(1999)≤f(1996)+ 3,…,f(4)≤f(1)+3,將這668個(gè)不等式兩邊相加得f(2005)≤f(1)+3×668=2005.

    由f(x+2)≥f(x)+2這個(gè)“不等遞推關(guān)系式”,得f(2005)≥f(2003)+2,f(2003)≥f(2001)+2,f(2001)≥f(1999)+ 2,…,f(3)≥f(1)+2,將這1002個(gè)不等式兩邊相加,得f(2005)≥f(1)+2×1002=2005.

    據(jù)“兩邊夾法則”,得f(2005)=2005.

    (2)方法1:仿(1)直接疊加不便求解,可嘗試將已知遞推式變形后再使用疊加法.

    由f(x+2)≥f(x)+2,得f(x+1)+2≤f(x+3),又f(x+3)≤f(x)+3,所以f(x+1)+2≤f(x)+3,即f(x+1)≤f(x)+1.

    由f(x+1)≤f(x)+1,得f(2007)≤f(2006)+1,f(2006)≤f(2005)+1,f(2005)≤f(2004)+1,…,f(2)≤f(1)+1,將這2006個(gè)不等式兩邊相加,得f(2007)≤f(1)+2006= 2007.

    由f(x+2)≥f(x)+2,得f(2007)≥f(2005)+2,f(2005)≥f(2003)+2,f(2003)≥f(2001)+2,…,f(3)≥f(1)+2,將這1003個(gè)不等式兩邊相加,得f(2007)≥f(1)+2×1003= 2007.據(jù)“兩邊夾法則”,得f(2007)=2007.

    方法2:方法1操作起來比較麻煩,若能把“不等遞推關(guān)系式”轉(zhuǎn)化為“相等遞推關(guān)系式”,則問題就變得熟悉了.

    同方法1中步驟,得f(x+1)≤f(x)+1,①;

    由f(x+2)≥f(x)+2,得f(x+1)≥f(x-1)+2.又由f(x+3)≤f(x)+3,得f(x-1)≥f(x+2)-3.所以f(x+1)≥f(x-1)+2≥f(x+2)-3+2=f(x+2)-1≥f(x)+2-1=f(x)+1,即f(x+1)≥f(x)+1,②.綜合①②,知f(x+1)=f(x)+1.所以通項(xiàng)為f(n)(n∈N*)的數(shù)列是等差數(shù)列,其首項(xiàng)f(1)=1,公差d=1,所以f(2007)=1+(2007-1)×1=2007.

    方法3:方法2應(yīng)用“兩邊夾法則”,變“不等遞推關(guān)系式”為“相等遞推關(guān)系式”,然后用等差數(shù)列的知識(shí)使問題的求解得到簡(jiǎn)化.若對(duì)解法的探究就此止步,是否意猶未盡?聯(lián)想數(shù)列求某一項(xiàng)的值常用周期數(shù)列法,故一鼓作氣作如下探索. g(x+1)=g(x)?通項(xiàng)為g(n)(n∈N*)的數(shù)列是周期數(shù)列,且周期T=1?g(2007)=g(1)=0?f(2007)=g(2007)+ 2007=2007.

    三、對(duì)遞推數(shù)列值域的考查

    對(duì)于數(shù)列{a}n,若設(shè)集合M={an|n∈N*},則M是數(shù)列{an}的值域.數(shù)列的值域有可能成為高考的新亮點(diǎn).

    例7已知無窮數(shù)列{an}滿足an+1=a2n-2a(nn∈N)*,若集合M={an|n∈N*}中只有兩個(gè)元素,求數(shù)列{a}n首項(xiàng)a1的值.

    解:顯然a1≠a(2若a1=a2,則a3=f(a2)=f(a1)=a1,其中(fx)=x2-2x,依次類推數(shù)列{an}為常數(shù)列,與已知矛盾),從而a3=a2與a3=a1中有且只有一個(gè)成立.

    (1)當(dāng)a3=a2時(shí),a22-2a2=a2,則a2=0,或a2=3.

    若a2=0,則a1=0(舍去,此時(shí)an=0),或a1=2;

    若a2=3,則a1=3(舍去,此時(shí)an=3),或a1=-1.

    (2)當(dāng)a=a時(shí),(a2-2a)2-2(a2-2a)=a,即a(a-3)(a2-

    事實(shí)上,本例的本質(zhì)只不過是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與二階周期點(diǎn)在數(shù)列值域問題中的一個(gè)應(yīng)用.先熟悉兩個(gè)概念.

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