也要重視“條件”的聯(lián)想性思維

唐昭宇

江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) (224221)

也要重視“條件”的聯(lián)想性思維

唐昭宇

江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) (224221)

1 優(yōu)生的質(zhì)疑

(1)求tanC的值；

(2)若ΔABC的面積為7，求b的值.

該題是2015年浙江高考理科第16題，它的條件簡(jiǎn)潔干練，要求學(xué)生運(yùn)用相關(guān)三角知識(shí)，靈活分析求解三角形的邊角關(guān)系，是一道基本而又不失思考性的三角問(wèn)題.我校2016屆高三的一次月檢測(cè)考試選用了該題，考后，我班一位數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生向我提出，這道題的兩個(gè)問(wèn)題的順序是不是反了？筆者反問(wèn)他怎么回事？他說(shuō)，第(2)題明顯比第(1)題簡(jiǎn)單多了.然后，他給出一個(gè)問(wèn)題逆序求解的解法：

該優(yōu)生的解法確實(shí)是先迅速解決了第(2)題，而且反過(guò)來(lái)求解第(1)題時(shí)，也比較輕松，他所用的知識(shí)方法、推理過(guò)程并無(wú)特別之處，關(guān)鍵是與常規(guī)思路的思維方式不同.上述常規(guī)思路，是在問(wèn)題的導(dǎo)向下，有目的地處理?xiàng)l件，它是順著問(wèn)題的要求，思考后得到的方法，類(lèi)似于分析法的思維方式，即思考“問(wèn)題要得什么，條件應(yīng)怎么處理？”；而上述解法，它不太在意問(wèn)題的要求，更側(cè)重于條件的聯(lián)想性處理，即“看到這樣的條件，我能怎樣的處理？”.

2 “條件聯(lián)想”的必要性

2.1 要關(guān)注條件的切入

上述題1，通過(guò)條件的聯(lián)想處理，得到了一個(gè)新解法，并突破了2個(gè)問(wèn)題間的難易順序.事實(shí)上，數(shù)學(xué)解題要充分關(guān)注“條件”的切入處理，否則有時(shí)還會(huì)把容易題當(dāng)成難題求解，下題的權(quán)威解答演變，發(fā)人深省.

圖1

題2 如圖1，一份印刷品的排版面積(矩形)為A，它的兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為b的空白.如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的用量最??？

題2是蘇教版必修5“基本不等式”一節(jié)中的例題，2005版教材提供了下列解法(詳見(jiàn)文[1])：

解法1：設(shè)紙張的長(zhǎng)與寬分別是x,y，則

法1所列出的等式，較難直接運(yùn)用基本不等式，轉(zhuǎn)化為求紙張面積S的最小值，從而走到消元思路上去，并且還用到分子分離常數(shù)法，配湊出“對(duì)勾”型函數(shù)，再用基本不等式，變形技巧強(qiáng)，作為初學(xué)基本不等式的學(xué)生來(lái)講，有點(diǎn)勉為其難！因此，2012版教材改版時(shí)，對(duì)此解法作了調(diào)整(詳見(jiàn)文[2])：

法2顯然比法1簡(jiǎn)潔多了，學(xué)生更容易接受.法1是緊扣著問(wèn)題入手，根據(jù)問(wèn)題選取變量，轉(zhuǎn)化過(guò)程有點(diǎn)復(fù)雜，而法2改變了變量的選取，使得紙張面積更易轉(zhuǎn)化為排版面積，從而順利用上基本不等式.

倘若學(xué)生課堂上提問(wèn)，怎么想到設(shè)排版矩形的長(zhǎng)與寬，而不設(shè)紙張的長(zhǎng)與寬的呢？教師如何回答呢？這個(gè)問(wèn)題還真不好回答，依我看，這還是上述題1所涉及的思維方式問(wèn)題，我們還要關(guān)注“以關(guān)鍵的條件作為切入口”這種思維方式！因此，筆者的課堂教學(xué)，上述兩種方法都沒(méi)有采用，而是從排版面積A(定值)分析入手，設(shè)一邊長(zhǎng)為x，以此能表示該圖形的各邊長(zhǎng)，筆者認(rèn)為下列方法更適宜課堂教學(xué)：

法3的解題分析也很合理，過(guò)程簡(jiǎn)潔，其解題難度比法1容易許多，說(shuō)明利用關(guān)鍵條件，合理切入，非常有必要！

2.2 “條件聯(lián)想”的必要性

抓住問(wèn)題，尋找解題方向，非常有必要！這樣解題的方向性強(qiáng)，可能會(huì)減少折騰，但我們需要注意的是，只以問(wèn)題分析，未必能找到解題思路、未必能找準(zhǔn)解題方向、也未必能得到較合理的解法，上文題2充分說(shuō)明了這一點(diǎn)，我們解題還需要抓住關(guān)鍵條件切入，這樣更有利于得到合理的解題思路.

數(shù)學(xué)解題，實(shí)際上是要找到條件與問(wèn)題的連接點(diǎn)，即要找“由條件推得什么，再得什么，…”與“結(jié)論要求什么，即要做什么，…”的對(duì)接關(guān)系.因此，需要以關(guān)鍵條件切入，有必要對(duì)其發(fā)揮聯(lián)想的作用，通過(guò)聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)條件多種處理手段，可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的不同解法，可以有新的發(fā)現(xiàn)與見(jiàn)解.當(dāng)然，從數(shù)學(xué)解題的角度看，我們也有必要抓住問(wèn)題逆推，盡快找準(zhǔn)解題目標(biāo)，若一味發(fā)散聯(lián)想，也有可能會(huì)不得要領(lǐng)而折騰時(shí)間，把條件的聯(lián)想思維與問(wèn)題的逆推相結(jié)合，對(duì)優(yōu)化解題十分有利！下列題3，若不善于利用條件聯(lián)想，則難以解答.

這道題的解答(具體詳見(jiàn)文[3])，只從問(wèn)題“求p·q的值”反推，是難以產(chǎn)生思路的！需要考生對(duì)條件“a2015=2015a1”充分聯(lián)想，才能結(jié)合所得到的結(jié)論“p(n-1)an=(pn+1-2p)an-1”找到解題思路.

3 解題教學(xué)的反思

解題教學(xué)，應(yīng)是解題方法的發(fā)現(xiàn)教學(xué)，是發(fā)現(xiàn)過(guò)程的教學(xué).而這個(gè)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是教師帶領(lǐng)學(xué)生的思考過(guò)程，不同的引導(dǎo)，學(xué)生的接受水平肯定不同，教師要合理引導(dǎo)學(xué)生思考，與學(xué)生充分交流“思與想”，要把思維理念傳授給學(xué)生，讓學(xué)生面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠多維思考.

創(chuàng)新教學(xué)，是目前這個(gè)創(chuàng)新時(shí)代對(duì)我們教師提出的要求.筆者認(rèn)為，學(xué)生思維的創(chuàng)新是創(chuàng)新教學(xué)的重要任務(wù)之一，就數(shù)學(xué)解題而言，對(duì)條件的聯(lián)想性思維，就是一種創(chuàng)新思維，這種思維方式比較靈活，具有一定的發(fā)散性，具有這種思維的學(xué)生，往往思路比較開(kāi)闊，問(wèn)題的認(rèn)識(shí)往往比較深刻，但這種思維方式，是我們數(shù)學(xué)教師解題教學(xué)的一個(gè)弱項(xiàng)，需要我們加強(qiáng)重視，并要共同努力，提升這種創(chuàng)新思維能力的教學(xué).以下再試舉一例，與讀者共同體驗(yàn)聯(lián)想思維的教學(xué)過(guò)程.

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是要教給學(xué)生知識(shí)與方法，很多知識(shí)方法，學(xué)生是不可能終身記憶并運(yùn)用的，對(duì)他們有用的是獲取這些知識(shí)方法的思維過(guò)程，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，應(yīng)是我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù)！

[1]單墫.蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(數(shù)學(xué)必修5)[M].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2]單墫.蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(數(shù)學(xué)必修5)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[5]吳彤.善于聯(lián)想，讓思維更流暢[J].數(shù)學(xué)通訊，2016(7)：27-31.