淺析待定系數(shù)法在絕對(duì)值問題中的應(yīng)用

陳少春

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

淺析待定系數(shù)法在絕對(duì)值問題中的應(yīng)用

陳少春

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

二次函數(shù)的絕對(duì)值問題一直受高考命題者的青睞，緣由是它既是我們比較熟悉的知識(shí)內(nèi)容，但又能考查我們的綜合分析問題的能力．如何破解這類問題？本文想嘗試“待定系數(shù)法”的方法解決二次函數(shù)的絕對(duì)值問題中的“證明、最值、范圍”，希望給我們考生在解決此類問題帶來些許幫助．

一、二次函數(shù)絕對(duì)值的“證明”問題

例1 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1.求證：當(dāng)|x|≤2時(shí)，|f(x)|≤7．

注：該例可推廣到更一般的情形.

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1．求證：當(dāng)|x|≤n時(shí)，|f(x)|≤2n2-1(n∈N*)．

例2 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b．

(1)設(shè)b=a，若|f(x)|在x∈[0,1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解：(1)略；

二、二次函數(shù)絕對(duì)值的“最值”問題

在各地模擬卷里我們經(jīng)常碰到這樣的問題：求一個(gè)帶多個(gè)參數(shù)的絕對(duì)值二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上最大值的最小值，解決這種常規(guī)方法是分類討論和數(shù)形結(jié)合來解決，但是因?yàn)閰?shù)太多，很多同學(xué)無從下手．其實(shí)通過圖形分析可以發(fā)現(xiàn)，這類問題最小值一定是在兩個(gè)端點(diǎn)和對(duì)稱軸的函數(shù)值相等取到的，為待定系數(shù)法解決這類問題提供了思路．

類型1f(x)=|ax2+bx+c|(a為常數(shù))型最小值

例3 (2016年嘉興期末理18)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx+c，設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M．

(1)若b=2，試求出M；

(2)若M≥k對(duì)任意的b，c恒成立，試求出k的最大值．

解：(1)略；

例4 (2016年稽陽聯(lián)考理18)已知二次函數(shù)f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)，設(shè)M(a,b)是函數(shù)g(x)=|f(x)|在[1,2]上的最大值．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求M(1,b)關(guān)于b的解析式；

由于大型渠道混凝土襯砌施工作業(yè)多在1∶2或更陡的坡面上進(jìn)行切縫施工，且自動(dòng)行走，能使其平穩(wěn)地行駛在坡面上，配重調(diào)整過重過輕、配重的位置都是影響實(shí)際應(yīng)用的主要因素，所以機(jī)具的配重尤為重要。

(2)若對(duì)任意的a,b∈R，恒有M(a,b)≥M(a0,b0)，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(a0,b0)．

解：(1)略；

類型2f(x)=|ax2+bx+c|(b為常數(shù))型最小值

結(jié)論f(x)=|ax2+bx+c|(b為常數(shù))在區(qū)間[x1,x2]上的最大值是M，則

(1)當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b，總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4]使得不等式f(x0)≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(1)、(2)略；

類型3f(x)=|ax2+bx+c|(b為參數(shù)且動(dòng)區(qū)間)型最小值

這類問題可以通過變量換元使得區(qū)間變成定區(qū)間，從而把問題轉(zhuǎn)化成類型1或者類型2.

(2)記M(a,t)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最大值(t∈R)，求M(a,t)的最小值.

解：(1)略；

三、二次函數(shù)絕對(duì)值的“范圍”問題

例7 已知函數(shù)f(x)=ax2-c，滿足|f(1)|≤1,|f(2)|≤5，求f(3)的范圍．