體悟數(shù)學

吳海寧??

【摘要】“體悟數(shù)學”對學生來說，是一種學習數(shù)學的方式，對教師而言則更多的是一種教學思想和教學主張.在課堂教學中，學生的學習是兩個轉化過程，一是由教材的知識結構向學生的認知結構轉化，二是由學生的認知結構向智能轉化.這樣的課堂教學善于把握學生學習的切入點，從讓學生體驗數(shù)學好玩開始，引導他們親身體驗新舊知識的聯(lián)系，學生在捕捉聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)結論的頓悟過程中，自然地經歷著知識經驗的遷移與同化，認知矛盾趨于平衡，認知結構得以拓展，自然走向玩好數(shù)學的目的地.

【關鍵詞】體悟數(shù)學；教學主張；玩好數(shù)學

“數(shù)學好玩”的根本在“趣”，這是“玩好數(shù)學”的出發(fā)點，只有感到數(shù)學學習十分有趣，學生才能自主探索，有所發(fā)現(xiàn)；但是“趣”不是目的，數(shù)學學習應該更多地培養(yǎng)學生獨立思考和科學判斷的能力，要引起學生的深度思考，讓學生能不斷鉆研深入探索，這就是“玩好數(shù)學”，這是數(shù)學學習的內驅力，是伴隨學生終生的優(yōu)秀品質.數(shù)學課堂應追求兩者的有機結合，怎樣從“數(shù)學好玩”走向“玩好數(shù)學”，這是值得每一位數(shù)學教育工作者思考的問題.

體悟，體驗和領悟，指在實踐中感受，在行動中體驗，而后有所思考領悟和收獲.體悟有兩個關鍵，即身體行為和直覺領悟，是通過身體行為而達到對認識對象的頓悟式理解.數(shù)學學習在本質上是體悟的過程，其中，體驗是體悟的外在形式，它通過個體的親身經歷，在參與體驗實踐過程中，感受外部環(huán)境的影響，通過切身體驗形成個性化的情意觀念；而領悟是體悟的內在形式，是內部認知結構的異質重建.

“體悟數(shù)學”對學生來說，是一種學習數(shù)學的方式，就是學生在教師指導下，首先從自己的數(shù)學經驗出發(fā)，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得直接經驗，再對這些經驗、猜想逐步頓悟、領悟、感悟，建構發(fā)展自己的數(shù)學認知結構的一個活動過程；而“體悟數(shù)學”對教師而言則更多的是一種教學思想和教學主張，體悟數(shù)學的教學主張，強調學生的發(fā)展是教學活動的最終目的，教學過程中主體是學生，強調學生作為一個完整的人，而不單單是大腦載體.“體悟數(shù)學”的教學主張認為，在課堂教學中，學生的學習是兩個轉化過程，一是由教材的知識結構向學生的認知結構轉化，二是由學生的認知結構向智能轉化.這樣的課堂教學善于把握學生學習的切入點，從讓學生體驗數(shù)學好玩開始，引導他們親身體驗新舊知識的聯(lián)系，學生在捕捉聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)結論的頓悟過程中，自然地地經歷著知識經驗的遷移與同化，認知矛盾趨于平衡，認知結構得以拓展，自然走向玩好數(shù)學的目的地.

本文以《A類打印紙中的數(shù)學》一課為例，分享教學過程中，運用體悟數(shù)學的教學思想，尋找數(shù)學好玩和玩好數(shù)學的黃金分割點，引領學生從好玩走向玩好的一些感悟.1基于體悟數(shù)學的課堂教學思路

活動一：準備活動，啟發(fā)學生探究自悟

1.出示打印機上的A4打印紙，請量出它的長和寬的長度；

2.根據量出的數(shù)據，計算其長與寬的比的近似值，并猜想A4紙長與寬的比的精確值；

3.怎樣說明你的猜想是正確的？

設計意圖這是本節(jié)課的準備學習活動，從學生最為常見的A4紙入手，運用測量的手段，關注研究對象最基本的數(shù)量關系.設計起點低，切入口小，每個孩子都有能力玩，都可以獨自親身體驗，有開放性.讓學生經歷測量、計算、觀察、比較、遷移等觸手可及的體驗活動后，啟發(fā)學生獨立探究，自覺感悟A4紙的長寬比與2的特殊關系，發(fā)展了有序的數(shù)感，為后續(xù)學力的發(fā)展提供思維鋪墊，能讓新知與思想方法共生共長.還有部分學生不僅得出了A4紙的長寬比，還得出了它的寬長比，為下一個學習體驗的展開（A4紙不是黃金矩形）埋下伏筆，實現(xiàn)了人人體悟的初衷.

活動二：感悟新知，促進師生互動領悟

4.為什么這種打印紙被稱為A4紙？

教師簡介A類打印紙的關系，讓學生了解A4紙是由A3紙對折而來，而對折A4紙則得到A5紙……

5.你能猜出A5紙的長與寬的比值嗎？請證明你的猜想.

6.由此你能否得出所有A類打印紙的關系？請證明你的猜想.

設計意圖借助折疊A4紙的親身體驗，讓學生自己感知A5紙的長寬比，這一問題的設置同樣具有開放性，為學生提供廣闊的體悟時空.有些學生依然沿用活動一的測量方法，測算出A5紙的長寬比；有些學生利用活動一中測量出的A4紙的長寬值，直接算出A5紙的長寬比；當然更多的同學不再測量，而是自覺地利用A5紙由A4紙對折而來這一事實，從活動一得到的“A4紙的長寬比是2”這一結論出發(fā)，令A4紙的寬為1，或是a，猜想、感悟、推理、驗證A5紙的長寬比也是2.從而感悟并推理證明，得出A類紙的長寬比都是2，它們是相似的.學生從親身體驗到自覺感悟，活動一中體驗的感性認識自然上升為理性認識，完成了從數(shù)學好玩到玩好數(shù)學的過渡，從合情推理走向演繹推理，學生類比、轉化思維能力得以提升.

這一學習過程，學生對數(shù)學的體悟開始是朦朧、混沌的，學習狀態(tài)也是模糊的、不自覺的和被動的狀態(tài)，通過師生和生生間語言的交流和思維的碰撞，使他們看到同伴與自己不一樣的思考，聽到與自己不同的觀點，便能多角度和多途徑地完善對數(shù)學新知的感悟、積聚和清晰這一過程，在教師和同伴的幫扶下逐步走向清晰的、自覺的和主動的發(fā)展狀態(tài).這個轉變過程的長短，關鍵在于體悟數(shù)學學習活動中多維互動和有效促進的效度.

活動三：解決問題，引領學生反思感悟

7.A4紙是黃金矩形嗎？

8.為什么A類紙被稱為標準紙？

9.你知道為什么電腦顯示器被設計成4∶3嗎？猜想電視機屏幕、電影屏幕的尺寸，說說你的思考.

設計意圖選擇了A類打印紙作為載體，幫助學生搭建了圖形轉化的橋梁，學生已經通過親身體驗，感悟到A類紙的長寬比都是2，那么寬長比不是黃金比，自然就頓悟到A4紙不是黃金矩形！接著引發(fā)學生對打印紙為什么稱為標準紙的思考，活動二中學生已經領悟到A類紙是相似的，那么這里進一步感悟到：相似的打印紙能夠讓圖像放大與變小都不變形的原理，就自然與屏幕設計尺寸有了聯(lián)想和類比，繼而轉化，產生思考，有新的感悟.學生感嘆：原來數(shù)學還有如此重要的作用！學生研究數(shù)學的興趣被激發(fā)，“好玩”與“玩好”實現(xiàn)了無縫對接.這里并沒有重復提出其他A類打印紙的相似推理方法，而是轉向讓學生體驗A類打印紙的標準性的研究，利用學生之前形成的經驗和感悟，不僅領悟了A類打印紙的標準性，更重要的是領悟了其標準性在生活中的應用，自然也就懂得屏幕尺寸的設計原理和依據，數(shù)學的學習完成了從理論理解到實踐應用的過渡，是對之前體悟的深化和提升.

體悟數(shù)學的教學，不能僅僅停留在感悟上，更重要的是要提升，或者叫做感悟升華.感悟升華是在前經驗的基礎上提升學生思維品質的必由之路，也是“玩好數(shù)學”在“數(shù)學好玩”基礎上的質的飛躍.2體悟數(shù)學教學主張的實踐與思考

提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，思維能力和學習品質是數(shù)學教學的最終目標，但離不開數(shù)學知識的獲得和技能的養(yǎng)成，知識是血肉，能力和方法是靈魂.知識和方法相比，方法更容易成為能力，能力與方法攜手便是潛在的創(chuàng)造力.數(shù)學知識、技能、方法、能力的辯證關系決定了數(shù)學教學不能直接告知.“告訴我，我會忘記；分析給我聽，我可能記住；如果讓我參與，我就會真正理解”.這里的參與，正是體悟數(shù)學的主張.體悟數(shù)學的教學主張基于學生“玩”的天性、“學”的特性、“思”的本性，引導學生以身體之，以心驗之，以思悟之，只有循序漸進地在“體”中萌動，在“驗”中孕育，在“悟”中生成，才能實現(xiàn)知識能力的雙向發(fā)展.

2.1體悟數(shù)學教學主張首要問題是基于“玩”的天性，引導學生“以身體之”，在“體”中萌動，由無序的“好玩”逐漸走向有序的“體驗”

玩是學生的天性，教學若背離了學生的天性，則數(shù)學越發(fā)變得冰冷而遙不可及.體悟數(shù)學思想指導下的課堂，主張拋出問題后，教師應該放手讓學生無序地玩，無序地以身體之，無序地收獲！

測量A4紙的長寬，學生玩得無序，得出的數(shù)據不盡相同，特別是長，有296cm—30cm之間的多個結果，有學生提出為什么就非要21cm×297cm這么大？不好記，也不好算，直接21cm×30cm不行嗎，有部分學生根據自己的經驗，將297cm四舍五入為30cm，當然算出的長寬比也數(shù)據各異，14，133，138，141，……，還有學生算出了寬長比，因為他們猜想A4紙是黃金矩形，對這樣無序地玩，無序地體驗，教師沒做任何糾正和評價，看似浪費了時間，但是學生卻在這種親身體驗中，有了感悟！他們感悟到，為了測量結果更準確些，可以將A4紙表示為210mm×297mm，這個297mm不能四舍五入成300mm，A4紙的長寬比似乎應該接近1414……經歷了動手、動口、動腦的體驗過程，經歷沒有壓力與難題的交流、借鑒和吸納的過程，學生的思維放開了，開始發(fā)芽生長.

《數(shù)學課程標準》指出：學生學習應當是一個生動活潑的主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，這樣的學習過程，能讓學生“學”的個性得到淋漓盡致的展現(xiàn).因此，“好玩”是“玩好”的開端，無序地“好玩”是為了有序地“玩好”，思維的種子最終會在“體”中萌動，體悟教學會由無序的“好玩”逐漸走向有序的“體驗”.

2.2體悟數(shù)學教學主張關鍵問題是基于“學”的特性，引導學生“以心驗之”，在“驗”中孕育，由多維的求異逐步歸于理性的求同

學習是一個積極、主動的建構過程，現(xiàn)代教學理論認為，學習不是學生對教師所授予知識的被動接受，反復練習，強化儲存的過程，而是學生以積極的心態(tài)主動參與，運用原有知識和經驗來探索解決問題，同化新知結構的過程.所以，“學”的本質和特性是自我主動建構.史寧中先生曾說：我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經歷.智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用，依賴經驗，教師只能讓學生在實際操作中磨練.

體悟數(shù)學教學思想指導下的課堂，是學生借助已有的知識經驗，在問題串的引導下，仰賴動手、動口、動腦的積極體驗，經歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，學生自己感悟知識的過程！

先讓學生測量A4紙的長寬，并計算出長寬比，學生憑借直覺思維（這也是學的特性），頓悟到其與2的關系，此時學生的思維處于感性層面；再讓學生借助對A5紙的研究，再次驗證，學生的感性思維順理成章的上升到理性的層面，實現(xiàn)理解思維的一種質變！讓學生親歷具體的操作，感受數(shù)據從手邊自然誕生，學生“學”的特性發(fā)揮作用，借助小組合作的力量和集體的智慧碰撞，在“驗”中孕育出A類紙都是相似的這一共同特征，由多維的求異逐步歸于理性的求同.

2.3體悟數(shù)學教學主張核心問題是基于“思”的本性，引導學生“以思悟之”，在“悟”中生成，由多方位的發(fā)散漸次收斂于本質的思考

本質的教學并不是只關注活動經驗的簡單積累，而應更加重視如何能夠幫助學生在經驗的積累中實現(xiàn)相應的思維發(fā)展，更要促進學生的思維品質不斷地向更高層次提升.值得關注的是，學生的思維發(fā)展又不是可以通過反復的體驗，熟能生巧可以簡單地實現(xiàn)的.要在活動中讓學生有所得有所獲，就必須重視反思性思維活動.促進學生自覺思考，引導學生“以思悟之”，在“悟”中生成，自我總結，自覺運用，由多方位的發(fā)散漸次收斂于本質的思考.

這節(jié)課涉及多邊形相似，圖形的翻折，黃金矩形等等內容，在前兩個活動中，通過生生、師生互動體驗，引導學生不斷自我覺悟、自悟自得，學生已經積累了相關的活動經驗，學生對A類紙是相似的有了共同的感悟，但這種感悟還停留在淺層，如何在體驗過程中，真正將數(shù)學知識、技能、方法思想內化于心，成為個體不可缺少的一部分？可以嘗試理論知識和實踐行為之間的融合，使學生能將所學的理論知識很好的轉化為具體的實踐行為，在解決問題中反思、感悟、生成、內化.

“為什么電視機、電腦等屏幕設計成這樣的尺寸，而不設計成那樣的尺寸”這一問題，看似與本節(jié)課毫不相干，但通過前期鋪墊，學生對打印紙為什么稱為標準紙的思考中，領悟了打印紙能夠讓圖像放大與變小都不變形的原理是源自他們是相似的，就自然與屏幕設計尺寸有了聯(lián)想和類比，在“思”的本性的作用下，以思悟之，在“悟”中生成：原來這也用到相似的原理.學生逆向思維與發(fā)散思維能力在生長，研究數(shù)學的興趣和創(chuàng)新意識在提升.

可見，體悟數(shù)學的落腳點是反思感悟.真正的感悟來源于人們的親身經歷與感受，有的是理性的領悟，有的則是瞬間的頓悟，如突然覺察到似乎不相干的知識、問題、事物之間的關聯(lián)，認知結構就會有質的改變，這是“思”的本性所決定的.3體悟數(shù)學教學主張反思

中國北宋哲學家張載提出關于認識論的兩個重要概念“見聞之知”和“德性之知”，見聞之知：聽到、看到的，與自己的生命未能融合、共鳴的知識信息，這種“知”缺乏個體體驗基礎，易知行脫離；德性之知：通過體驗獲得的，與自己的整體生命融為一體的知識、情感和信念，是人的“第二天性”，直接影響人的行為.

我們的數(shù)學課堂中“德性之知”哪里來？取決于教師的教學思想、教學理念、教育主張是否能從學生學習的角度來理解數(shù)學教學，從學生內心渴望和經驗建構的角度來理解數(shù)學教學.

體悟數(shù)學教學主張觀照下的課堂，教師始終堅守自己的作用，在于通過發(fā)揮自身的能動性，提攜并引領學生思維品質的提升，引領的過程要突出教師的主導地位和學生的主體地位，教師的主導要通過引領性的問題串來實現(xiàn)，問題串的設計要有度，有計劃，有針對性，這些問題串除引出系列活動外，答案往往是多樣的.在學生活動中還會派生出許多出人意料的新問題，因而具有明顯的可再生性.屬于開放型問題，作為相對空白的學生，思維沒有教師的固化和成熟，但天馬行空的想法和問題卻往往能激發(fā)出教師更多的靈感，讓教師走出固化的思維.還要關注生生間的多維互動，一個人的智慧是無法與幾十個思維活躍的學生相比的.學生之間相互感悟、體會而碰撞出的火花是課堂不容忽視的財富.

體悟數(shù)學教學主張觀照下的課堂，突出強調參與、交流、對話、引導，讓真實的學習體驗和成長感悟自由生長，讓創(chuàng)造力的發(fā)展找到依托載體，貫穿始終的兩條線：學生定向自悟，教師導向致悟，學生自主體悟，教師點撥啟悟.

體悟數(shù)學教學主張觀照下的課堂，教師不僅關注學生直接的生活經歷與體驗，以及一切學生可以直接感知、領悟的東西，讓生命在場；教師更清楚個體生命是有限的，不可能事事親為，所以更加關注與個體生活體驗、經驗發(fā)生連接、引發(fā)感動的“見聞之知”，走出自我，走出個人體驗，從“在場”的個人體驗走向“不在場”的廣闊世界.強調“以身體之，以心驗之、以思悟之”.

體悟數(shù)學，讓學生親歷問題的重新發(fā)現(xiàn)、知識再探索的過程，經歷思維的重新審視和內省以及借鑒接納的過程，實現(xiàn)從“數(shù)學好玩”到“玩好數(shù)學”的飛躍！

作者簡介吳海寧（1968—），女，江蘇連云港人，江蘇省特級教師，正高級教師.獲江蘇省教學成果特等獎，國家級教學成果二等獎，江蘇省“333工程”培養(yǎng)對象，連云港市港城名師.

數(shù)學教學中修辭思想的滲透[基金項目] 2015年度教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目“民族數(shù)學與數(shù)學課程改革”（項目編號：15YJA880107）.教育部“教師教育國家級精品資源共享課：《中學數(shù)學課程標準與教材研究》”（教育部辦公廳：教師廳涵[2013]2號）.

浙江師范大學教師教育學院350108林夢蝶張維忠