有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法 切實(shí)提高初中生解題能力

陳立順

摘要：本文主要探究了如何有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，才能提高學(xué)生的解題能力。若有不之處，還望同仁批評指正。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中生；解題能力

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0093

新課標(biāo)在課程目標(biāo)設(shè)置上明確提出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)。可見，新課標(biāo)把數(shù)學(xué)思想擺到了十分重要的位置。我們知道，作為從三大數(shù)學(xué)基本思想之一的“抽象思想”派生出來的數(shù)形結(jié)合思想方法在初中數(shù)學(xué)中有特殊的地位和作用，它是學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的重要因素。因?yàn)椤皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念。“數(shù)”是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而“形”則是空間形式的體現(xiàn)。它們兩者既對立，又統(tǒng)一。我們在研究數(shù)量關(guān)系時，有時要借助于圖形直觀地研究，而在研究圖形時，又常常借助于線段或角的數(shù)量關(guān)系去探求。而數(shù)形結(jié)合思想方法，正是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考查的一種思想，即以數(shù)論形構(gòu)形，由形思數(shù)解數(shù)。也就是斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。

那么，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想才能大力提高學(xué)生的解題能力呢？

一、要科學(xué)制定數(shù)形結(jié)合思想方法在整個初中階段的滲透計劃

數(shù)學(xué)教材體系有兩條基本線索：一是顯性的數(shù)學(xué)知識線，二是陰性的數(shù)學(xué)思想方法線。在教學(xué)中，我們常看到，很多教師忽視數(shù)學(xué)思想方法線的設(shè)計與教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)絕不是一蹴而就的，它以滲透為主要特征，具有長期性和反復(fù)性。因此，教師對初中重要的數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)形結(jié)合思想方法在內(nèi)要有詳盡的教學(xué)計劃。數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透應(yīng)貫穿在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程。從有理數(shù)到實(shí)數(shù)，從代數(shù)式、方程、不等式到函數(shù)，從平行線相交線、三角形、四邊形到圓，從數(shù)軸、坐標(biāo)系到線性方程，從代數(shù)、幾何到三角，無一內(nèi)容不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。針對這些內(nèi)容，教師要制定詳細(xì)的滲透計劃并加以實(shí)施，在每一塊內(nèi)容學(xué)習(xí)時都要不失時機(jī)地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，并適時地開設(shè)數(shù)形結(jié)合思想方法專題課加以強(qiáng)化。讓學(xué)生時刻都感受到，數(shù)形結(jié)合思想方法不僅是推動數(shù)學(xué)本身發(fā)展的重要方法和巨大動力，更是解決數(shù)學(xué)問題的重要法寶?！半S風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”，只有這樣，數(shù)形結(jié)合思想方法才能植入學(xué)生的思想意識，甚至變成學(xué)生的潛意識。從而在以后的學(xué)習(xí)和工作中發(fā)揮巨大而持久的作用，解題當(dāng)然就更不在話下了。

二、在知識的教學(xué)過程中不失時機(jī)地歸納提煉數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的滲透有兩條基本途徑：其中一條就是要在知識的教學(xué)過程中不失時機(jī)地歸納提煉數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透也是如此。我們對“數(shù)形結(jié)合”中的“數(shù)”應(yīng)有廣義的理解，它可以是一般意義上的數(shù)，如實(shí)數(shù)：可以是表示數(shù)的式，如代數(shù)式、方程、不等式；也可以是函數(shù)等變數(shù)?！靶巍碑?dāng)然是各種形式圖形表示。我們知道，數(shù)學(xué)中很多“數(shù)”和“形”的概念、性質(zhì)、定理都是可以用數(shù)形結(jié)合思想方法來進(jìn)行描述和研究的。教師在這些知識的教學(xué)過程中一定要不失時機(jī)地歸納提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法。即在進(jìn)行“數(shù)”的教學(xué)時，要以數(shù)論形構(gòu)形，在“形”的教學(xué)時也要由形思數(shù)解數(shù)。如在實(shí)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的教學(xué)中可以引進(jìn)數(shù)軸，用數(shù)軸加深學(xué)生對這些知識的理解；在方程（組）及不等式（組）的解的教學(xué)中，可以引進(jìn)相應(yīng)函數(shù)的圖像，用函數(shù)的圖像加深學(xué)生的理解；一些圖形的位置關(guān)系及大小關(guān)系也可以用數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式及函數(shù)等數(shù)的模型來刻畫等。這樣，不僅能使學(xué)生理解知識變得容易，而且理解得更為廣闊和深刻。久而久之，學(xué)生在遇到“數(shù)”或“形”的難題時，會自然地想到從“形”或“數(shù)”的領(lǐng)域去突破，從而提高學(xué)生解決問題的能力。如當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了看到代數(shù)式|x-1|就聯(lián)想到它的幾何意義時，面對下列問題：“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值（x為實(shí)數(shù)）”。學(xué)生就不難找到解題思路了。

例1. 已知x為實(shí)數(shù)，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析 由于x的任意性、無限性，逐個求值解題明顯困難，若按x<1、1≤x<2、2≤x<3、x≥3四種情況分段討論后求最小值也較繁。繁則思變，可聯(lián)想到絕對值的幾何意義：|x-1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x和1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，于是求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)P，使它到表示1，2，3各點(diǎn)的距離之和最小?，F(xiàn)退到更簡單的情形，如圖①，如果直線上有兩個點(diǎn)A1和A2，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜叩木嚯x之和等于A1到A2的距離。如圖②，如果直線上有3個點(diǎn)時，不難判斷，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A2處最合適。因?yàn)槿绻鸓放在A2處，則點(diǎn)P到A1、A2、A3的距離之和恰好為A1到A3的距離。而如果把P放在別處，例如D處，那么點(diǎn)P到A1、A3的距離之和仍是A1到A3的距離，但多了一段點(diǎn)A2到D的距離。因此，P放在A2處是最佳選擇。當(dāng)x=2時，|x-1|+|x-2|+|x-3|的值最小。

解：當(dāng)x=2時，原式的值最小。

最小值是：|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2

類似地，如果上述直線上有奇數(shù)點(diǎn)，P就放在中間的點(diǎn)的位置，如果有偶數(shù)點(diǎn)，P就放在中間兩個點(diǎn)之間（包括最中間兩個點(diǎn)）的任何一個位置，即當(dāng)n為偶數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在第 臺和（ +1）臺之間的任何地方，當(dāng)n為奇數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在第 臺的位置。

又如，在講勾股定理時，要使學(xué)生聯(lián)想到直角邊分別為a和b的直角三角形斜邊可表示為代數(shù)式 ，在講二次根式 時，又要使聯(lián)想到它可表示直角邊分別為a和b的直角三角形的斜邊。這樣，學(xué)生就可以自主解決下列問題了。

例2. 求出代數(shù)式 + （x為實(shí)數(shù)）的最小值。

分析：利用代數(shù)方法求代數(shù)式 + 的最小值很困難，可聯(lián)想勾股定理構(gòu)造直角三角形來求。