單開口膜泡形狀轉(zhuǎn)變的研究?

梁月鳳 張劭光

(陜西師范大學物理學與信息技術(shù)學院,西安 710119)

1 引 言

近年來,人們對開口膜泡和黏附膜泡的研究有了較多的重視,這是因為膜泡的黏附不僅對膜泡適應周圍環(huán)境有重要作用,而且在許多生命進程中是必不可少的,諸如細胞的外排和內(nèi)吞以及膜的融合[1,2].黏附膜泡可以作為載體實現(xiàn)藥物的輸送[3,4],膜與固體基底(或媒的作用物)之間的作用機理可以應用于生物傳感器[5,6].因此,研究生物膜泡的黏附具有重要的醫(yī)學價值,對毒理學模型、人造器官、活性藥物篩選等應用領(lǐng)域都有很重要的理論指導意義.

過去人們對黏附膜泡的研究集中于閉合形狀.Seifert和Lipowsky[7]考慮了黏附能后提出了一個簡化模型,最先對閉合黏附膜泡進行了較系統(tǒng)的計算;隨后,Capovilla和Guven[8]從力學平衡的角度討論了黏附邊界滿足的幾何條件,測出了膜泡黏附在固定培養(yǎng)基上的黏附能;Tordeux和Fournier[9]提出一種測量黏附能的新方法,還通過控制黏附梯度提出一種測量小尺度黏附膜泡尺寸的方法;Rosso和Virga[10]研究了膜泡黏附在固定培養(yǎng)基上的平衡態(tài).最近,Das和Du[11]研究了膜泡的轉(zhuǎn)變和培養(yǎng)基形狀之間的關(guān)系,他們還構(gòu)造了一個預測膜泡形狀的解析解.

近年來對開口膜泡的研究也取得了一些進展.實驗上,Saitoh等[12]通過向水溶液中類脂膜泡加入一定濃度的類膜性質(zhì)的蛋白質(zhì)Talin分子,觀察到了一些杯形、管狀和雙分子層等形狀的開口膜泡.在理論研究上,Capovilla等[13]首先用場論方法給出了一般情況下開口膜泡的形狀方程和邊界條件;Tu和Ouyang[14]將外微分法用于處理曲面上的問題,給出了自發(fā)曲率(SC)模型下的形狀方程和邊界條件;Umeda和Suezaki[15]基于面積差彈性(ADE)模型首次用弛豫法數(shù)值計算得到了一些能夠與實驗上觀察到的形狀對應的球形附近的一些開口膜泡形狀;Kang等[16,17]首先給出了啞鈴形開口膜泡;孔祥波和張劭光[18]給出了雙開口啞鈴形,并研究了單開口和雙開口及閉合啞鈴形之間的相變;Ni等[19]研究了有黏附情況下的開口膜泡,并給出了一些形狀.

目前還缺乏對開口膜泡及開口黏附膜泡的系統(tǒng)研究.關(guān)于開口膜泡的研究,也還存在一些問題:例如還沒有在雙層耦合(BC)模型下進行過計算,由于BC模型可以給出約化面積差,這是膜泡形狀的一個重要參數(shù),而且是實驗可以測量的一個量,因而以往在研究閉合膜泡時一般是先給出BC模型下的相圖,再在此基礎上研究ADE模型的相圖;而且目前得到的各支解的關(guān)系還不清楚;Umeda和Suezaki[15]宣稱杯形膜泡可以連續(xù)地變?yōu)殚]合球形,而開口膜泡和閉合膜泡處于不同的拓撲結(jié)構(gòu),它們之間是否能連續(xù)轉(zhuǎn)變?另外他們得到的杯形解與Kang等[16,17]得到的開口啞鈴形之間有什么關(guān)系?為何Umeda和Suezaki[15]宣稱得不到這樣的解?

另一方面對開口黏附膜泡的研究還很有限,為了研究開口黏附膜泡及其相圖,首先應該找出盡可能多的分支解,并對解的行為有較全面的把握.

本文在BC模型下,通過系統(tǒng)地研究這些解隨參數(shù)的演化行為來回答這些問題.第二部分先對BC模型及計算方法做一概述;第三部分別討論在無黏附和有黏附模型下的計算結(jié)果;第四部分給出結(jié)論.

2 理論基礎

2.1 BC模型

生物膜泡形狀的曲率模型最初是為解釋紅血球的雙凹形狀而提出的[20,21],先忽略膜的厚度,把生物膜看成一個二維曲面,膜泡的曲率能為

其中C1和C2是兩個主曲率,為平均曲率,K=C1C2為高斯曲率,kc為局域彎曲模量,kG為高斯彎曲模量.如曲面的拓撲結(jié)構(gòu)不改變,由高斯-波涅定理,第二項貢獻一常數(shù),因而可以忽略.

再加上開口處的線張力能及黏附能,開口黏附膜泡的總能量可以表示為

(2)式中的第一項為曲率能,第二項為開口處線張力能,第三項為黏附能;γ是線張力系數(shù),ω是黏附系數(shù),A?代表黏附面積,dl代表開口邊緣處的長度微元.

再考慮雙層膜之間的不對稱性.一種方法是引入自發(fā)曲率C0,這是Helfrich[22]最先引進的,以解釋鐵餅及啞鈴形狀能量的簡并,該模型稱為SC模型.

另一種理解雙層之間不對稱的模型是BC模型[23,24].該模型認為膜泡形成時,兩層的面積差保持不變,即假定在形變過程中兩單層之間不交換磷脂分子,兩單層之間的面積差在一級近似下可寫為膜的厚度D乘以2倍的平均曲率的積分,

因為D為常數(shù),保持兩層之間面積差不變相當于加了一個對M的約束,因此體系的自由能為

其中λ是保持A為常數(shù)的拉氏乘子,Q是保持M為常數(shù)的拉氏乘子.可見M是描述曲面形狀的一個重要參數(shù),后面將引入無量綱的約化面積差Δa來描述它.

給定自由能后,因為開口膜泡的內(nèi)外滲透壓為零,所以沒有體積約束項.膜泡的平衡形狀由自由能的一階變分為零,即δ(1)F=0得到[25,26].

相比于SC模型,BC模型與類脂雙層膜的實際情況更加符合.在BC模型的基礎上,如放寬對兩層之間的面積差,即認為兩層之間的面積差有一最優(yōu)化值ΔA0,而在形變過程中,實際的面積差可以偏離該最優(yōu)化值ΔA0,但要消耗一非局域彈性能該模型稱為ADE模型[27].在ADE模型下以最優(yōu)化面積差ΔA0(或約化的Δa0)為參量,ΔA0是一個目前實驗還無法測量的參量.

因為以上三種模型的解集是相同的,以往的計算中都是先計算BC模型的形狀,再通過映射的方法得到ADE模型下的形狀[27].在目前的弛豫法的計算中[15,18]簡化了該過程,不借助于BC模型,而是直接給出ADE模型下的形狀.但相應的計算結(jié)果以ΔA0(或約化的Δa0)為參量,而沒有給出實際面積差ΔA(或約化面積差Δa)的值.目前對開口膜泡及黏附膜泡還沒有在BC模型下的計算結(jié)果發(fā)表.

2.2 旋轉(zhuǎn)對稱膜泡參數(shù)化

對于旋轉(zhuǎn)對稱開口黏附膜泡,其形狀可由一平面曲線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到,圖1是膜泡的參數(shù)示意圖,S∈[0,S1]代表膜泡輪廓線的弧長,膜泡與黏附襯底或培養(yǎng)基接觸邊界的弧長S=S0=0,開口端的弧長S=S1;參數(shù)φ代表曲線切線與水平線的夾角;z軸為旋轉(zhuǎn)對稱軸;r軸與培養(yǎng)基的方向重合,r代表曲線上一點到旋轉(zhuǎn)對稱軸的距離,且滿足關(guān)系式˙r=cosφ,˙z=sinφ;膜泡的黏附半徑用Rcon來表示(在沒有黏附的情況下,則Rcon取為零).平均曲率和高斯曲率可以相應地表示為,˙φ代表φ對弧長的導數(shù).在此參數(shù)化表示下,文中分別給出無黏附情況下[15,17,18]及有黏附情況下[19]膜泡的Euler-Lagrange方程及其滿足的邊界條件,這時相應的方程是一組常微分方程組,可以通過打靶法求解給定邊界條件下的相應的Euler-Lagrange方程組.

圖1 開口黏附泡參數(shù)圖Fig.1.Schematic picture of the adhesive opening-up vesicle.

2.3 計算方法

關(guān)于在BC模型下計算黏附膜泡的詳細方法,我們將在后續(xù)的論文中詳細討論.在計算中有四個參數(shù),總面積A、面積差ΔA、線張力系數(shù)γ和黏附系數(shù)ω.由于總能量(2)式具有標度不變性[27,28],若一個膜泡的參數(shù)方程為{r(S),z(S)},另一膜泡的參數(shù)方程為{r′(S),z′(S)},若這兩個形狀相似,即{r(S),z(S)}=β{r′(S),z′(S)},則總面積′,黏附面積,開口處的長度. 則只要γ=γ′/β,ω=ω′/β2,ΔA=β2ΔA′,兩膜泡的能量就是相等的.因此定義膜泡的約化半徑

并定義約化面積差

則兩相似形狀的Δa必定是相同的;并在此基礎上定義無量綱的參數(shù)

3 數(shù)值計算結(jié)果

3.1 無黏附膜泡的計算結(jié)果

Umeda和Suezaki[15]研究了球形附近的開口膜泡,他們發(fā)現(xiàn)了兩端開口的管形和煙囪形,以及一端開口的杯形解,這些形狀開口處都是外凸的.他們宣稱當Δa0＞1.23時沒有發(fā)現(xiàn)開口膜泡.而我們小組發(fā)現(xiàn)在大的Δa0值下仍然有解,例如單開口及雙開口啞鈴形.其中單開口啞鈴形的Δa0最大值可以取到1.725[18],那么單開口啞鈴形膜泡與杯形膜泡是否是同一支解,即在參數(shù)空間中可否通過連續(xù)的參數(shù)變化從一支得到另一支,仍然是一個待解決的問題.

以往的計算是在ADE模型下進行的,即在給定優(yōu)化面積差Δa0的情況下計算平衡形狀,而通常得到的平衡形狀的Δa值并不等于Δa0.雖然每一個平衡形狀解出,它的Δa值就可知,但文獻中并沒有給出該值[15,18].為了與以往的結(jié)果進行比對,我們也用ADE模型進行了獨立計算,并得到了文獻[15,18]的所有結(jié)果,發(fā)現(xiàn)在其參數(shù)范圍所得到的形狀開口都是外凸的.以杯形膜泡為例,在不同的線張力系數(shù)下,當Δa0值增加時,開口半徑都趨于0,膜泡的外形都趨于球形,發(fā)現(xiàn)這些形狀的實際Δa值都是小于1的.我們發(fā)現(xiàn)該支解確實無法在參數(shù)空間中連續(xù)地趨向于單開口啞鈴形狀.

為了得到Δa值稍微大于1的解,我們在BC模型下進行了計算.因為在BC模型下控制的參量是Δa,這樣更利于找到給定Δa值的形狀.

對于一個給定的分支,Δa在一定程度上反映了膜泡的形狀,在數(shù)值計算中,可以通過給定Δa來尋找相應的解,然后對Δa進行循環(huán),就可得到這一支解中的所有形狀.但由于Δa＞1與Δa＜1屬于不同的分支,因此為了確定Δa＞1的分支解是否存在,必須獨立尋找試驗參數(shù),并用打靶法去確定相應的解是否存在.一旦一個分支解找到后,還可以對約化線張力系數(shù)進行循環(huán)以研究形狀隨線張力系數(shù)的變化規(guī)律,這是以后工作中的一個任務.在本文中取約化線張力系數(shù)?γ=0.1.最終我們發(fā)現(xiàn)Δa值在1附近存在兩支解,結(jié)果示于圖2中.

我們發(fā)現(xiàn)Δa趨近于1時,Δa＜1的這一支解的開口是外凸的,而Δa＞1的這一支解的開口是內(nèi)凹的,而且這兩支解無法從一支連續(xù)地變到另一支.

Δa＜1時的這一支解在以往文獻中被稱為杯形解[15,18].隨著Δa值的減小,Δa＜1的這一支解可以連續(xù)地趨向于盤形.隨著Δa值的增加,這支解是從平坦的盤形逐漸變成杯形.隨著Δa值的繼續(xù)增加,杯形膜泡的口逐漸減小,并且開口慢慢變得外凸,最后變成接近閉合球形且開口處外凸的形狀,如圖2中的A3和A4所示,其中A4在開口處的放大圖見圖3.

而Δa＞1的這一支解是我們新發(fā)現(xiàn)的,它無法通過Δa＜1的外凸形解連續(xù)地改變參數(shù)得到,而必須對參數(shù)的猜測值進行掃描而獨立地去尋找.隨著Δa值趨向于1,該形狀趨向于接近閉合球形且開口處內(nèi)凹的形狀,如圖2中的B1所示.而且隨著Δa值的增大,這一支解將連續(xù)地演變到我們小組先前發(fā)現(xiàn)的單開口啞鈴形[18].首先,隨著內(nèi)凹的增多,該支解先變成自交的形狀(B2),然后自交消失而演變成脖子很細的開口啞鈴形(B3),然后頸部變粗(B4),又進一步變細,同時開口變小,最后演變成接近閉合啞鈴形的開口很小且外凸的形狀(B5).

圖2 無黏附時約化總能量隨Δa的變化,圖中亦給出了一些典型Δa值對應的形狀,其中A1(Δa=0.6),A2(Δa=0.95),A3(Δa=0.98),A4(Δa=0.9999),B1(Δa=1.05),B2(Δa=1.09),B3(Δa=1.1184),B4(Δa=1.27),B5(Δa=1.4055)Fig.2.The reduced total energy of the vesicles as a function of the reduced area difference Δa without adhesion.The f i gure also shows some typical shapes with A1(Δa=0.6),A2(Δa=0.95),A3(Δa=0.98),A4(Δa=0.9999),B1(Δa=1.05),B2(Δa=1.09),B3(Δa=1.1184),B4(Δa=1.27),B5(Δa=1.4055).

我們知道閉合球形的Δa值嚴格等于1.這兩支開口解當Δa的值從兩端趨向于1時,從外形上看都趨向于閉合球形,但仔細研究發(fā)現(xiàn),它們都無法嚴格地趨向于球形,特別是無法通過增加或減小Δa值從一支解演變到另一支解,也就是說這兩支解在泛函空間是不連續(xù)的.在圖3中對Δa=1附近進行了放大,可以清晰地看到這兩支解之間的間隙.

我們注意到Umeda和Suezaki[15]在計算中是從Δa＜1(對應ADE模型中的Δa0＜1.23)的這一支解,即杯形解出發(fā)進行計算的,由于這一支解無法通過參數(shù)改變連續(xù)地演變到內(nèi)凹形解,因而只能得到非常趨向于球形的外凸形狀,而無法得到Δa＞1的這一支內(nèi)凹形解,因而也無法進一步得到開口啞鈴形狀.這就是他們宣稱當Δa0＞1.23時沒有發(fā)現(xiàn)開口膜泡的原因.

圖3 對應圖2中兩支解間隔處的放大圖,圖中A,B兩點對應的Δa值分別為0.9999和1.0015,計算得到的球形解對應的a值為1.0000Fig.3.Magnif i cation of Fig.2 in the interval part between two solutions.The Δa values corresponding to A and B are 0.9999 and 1.0015 respectively.The Δa value for the sphere solution through the calculation is 1.0000.

在這一部分的最后,我們對極細頸部的形狀滿足的一個關(guān)系進行驗證.在以往的研究中,人們發(fā)現(xiàn)單組分閉合膜泡由無窮小頸部連接的兩個球形的極限形狀滿足以下關(guān)系[28]:

其中R1和R2分別是兩個球的曲率半徑.該關(guān)系后來又被推廣到由兩個組分形成的兩個區(qū)域的膜泡的情況,當在兩區(qū)域交界處形成無窮小頸部時,由極小頸部連接的兩區(qū)域軸對稱膜泡在接近頸部處的平均曲率滿足以下關(guān)系[29]:

其中C10和C20分別是兩區(qū)域的自發(fā)曲率;k1c和k2c分別是兩區(qū)域的彈性模量;M1ε和M2ε分別是兩區(qū)域靠近頸部處的平均曲率,這里兩個區(qū)域的形狀并不局限于球形;σ是兩區(qū)域邊界處的線張力系數(shù).最近該關(guān)系又被推廣到非旋轉(zhuǎn)對稱的情況[30].

我們計算得到的形狀B3的頸部處的半徑為0.0005,是在約化線張力系數(shù)?γ=0.1時能得到的最細頸部的形狀,由于我們研究的是開口形狀,滲透壓取為零,因而不能通過調(diào)整滲透壓得到任意小頸部的形狀.隨著Δa的增大,頸部處的半徑逐漸增大再減小,到B5時頸部半徑又達到局域極小,為0.01792.B3和B5的頸部半徑已經(jīng)非常小,可以用于驗證關(guān)系式(12).由于我們是在BC模型下計算的,為了得到SC模型下的值,可用以下關(guān)系[28]:

其中Q是M的拉氏乘子,參見(5)式.B3形狀的頸部下面部分的平均曲率接近常數(shù),因而比較接近球形,而頸部上面部分的形狀的平均曲率并不是常數(shù),因而并不是球形的一部分.而B5形狀的上下兩部分都不是球形.我們的數(shù)值結(jié)果表明,在接近頸部處,對于B3形狀,M1ε+M2ε=1.110+1.168=2.278,而C0=?Q/2kc=2.278476.而對于B5形狀,M1ε+M2ε=1.378+1.378=2.756,而C0=?Q/2kc=2.756871.我們發(fā)現(xiàn)關(guān)系式(12)還是滿足得很好的.

3.2 黏附膜泡的計算結(jié)果

為了更進一步研究兩支開口形狀之間的關(guān)系,我們在黏附膜泡的情況下進行了計算,計算的細節(jié)將在后續(xù)的論文中詳細討論.計算黏附膜泡有兩種方法:一種是給定黏附系數(shù)ω(見(2)式),計算相應的平衡形狀,從而也就給出了黏附半徑Rcon[19];另一種是對黏附半徑加一約束,而黏附系數(shù)作為相應的拉氏乘子得出.這兩種方法給出的解集是相同的.第二種方法在目前的文獻中還沒有人采用,我們用兩種方法都進行了計算,發(fā)現(xiàn)第二種方法在尋找給定黏附半徑的解時更有效.

為了得到黏附情況下的解,可以先從黏附半徑Rcon很小的情況出發(fā),然后逐漸增大黏附半徑,因為黏附半徑Rcon趨于零時,計算結(jié)果就趨向于無黏附的情況.隨著黏附半徑的增大,膜泡黏附面積增加,可以發(fā)現(xiàn)Δa在1附近仍然有兩支解,一支是外凸的,而另一支為內(nèi)凹的.并且這兩支解之間無法連續(xù)地由一支演變到另一支.

在圖4中以Rcon=0.5為例給出了黏附膜泡一些典型的Δa值及臨界Δa值所對應的形狀.由于下面要談到的一個Δa值可能對應有多個解,我們用字母表示該形狀處于哪一支解,及某一支解的哪一段上.為了敘述的簡潔和方便,在下面的討論中,這些字母還代表相應的Δa值.

圖4 黏附半徑Rcon=0.5時一些典型及臨界Δa值所對應的形狀Fig.4.Vesicle shapes for some typical and critical values of Δa in the case of the contact radius Rcon=0.5.

對這些形狀演變的進一步分析,可以發(fā)現(xiàn)與無黏附的情況相比,當膜泡黏附到一個襯底上時,其解出現(xiàn)一個很奇異的現(xiàn)象,那就是在一定的區(qū)間,同一個Δa值對應有三個解,這是以往閉合膜泡中從來沒有出現(xiàn)過的現(xiàn)象,在BC模型下計算閉合膜泡的相圖總是連續(xù)的,也就是在BC模型中對于同一支解,一個Δa值只對應惟一一個解,另一支解的出現(xiàn)總是以分岔的形式.而ADE模型的相圖有時是不連續(xù)的,因為BC模型對膜泡雙層之間的面積差也就是Δa加了一個約束,使之必須等于Δa0,而在ADE模型下放松了該約束,允許膜泡的Δa值可以不等于Δa0,因而BC模型向ADE模型映射時,出現(xiàn)一對多的映射,因而能量曲線發(fā)生了折疊.

通過圖5給出的能量隨Δa的變化關(guān)系來表示這一現(xiàn)象.從圖5可以看出,外凸形開口膜泡的曲線在MA(Δa=1.0112)和MB(Δa=0.9834)之間發(fā)生了折疊,分成了A,B和C三段.A段相應于盤形到MA形狀(各字母代表的形狀見圖4)的變化,在0＜Δa＜0.9834的范圍內(nèi),每一個Δa值都對應一個形狀,這和圖2中的情況類似.為了看清楚解的折疊行為,圖5中只給出了在MA和MB之間及其附近的曲線.

首先沿著A段增加Δa值,膜泡的開口半徑是逐漸減小的,例如圖4中的A1和A2.到達MA時,A段結(jié)束,沿著這一段繼續(xù)增大Δa值已經(jīng)無法給出解,即達到了臨界點MA.但可以把MA對應的一組參數(shù)代入SC模型中進行計算,通過改變C0得到新的解,再把新的解的一組參數(shù)代入BC模型中進行計算,就可以得到B段的解.這時能量曲線發(fā)生了第一次折疊.B段中隨著Δa值的減小,達到臨界點MB,沿著B段繼續(xù)減小Δa值已經(jīng)無法給出解,但可以通過不同模型下參數(shù)替換的方法得到C段解,這時曲線在MB處發(fā)生了第二次折疊,沿著C段增大Δa值,得到開口繼續(xù)減小的形狀,達到了第一支解在C段(即外凸形解)的極限位置CL.其中A段和C段隨著Δa值的增大開口半徑是逐漸減小的,與無黏附的情況相同.而B段是反常的,隨著Δa值的增大,開口半徑是逐漸增大的.

圖5 黏附半徑Rcon=0.5時,在Δa=1附近約化總能量隨Δa的變化Fig.5.The energy diagram as a function of the reduced area difference Δa around Δa=1 for the adhesive open vesicles in the case of the contact radius Rcon=0.5.

圖5 中亦給出了第二支解的D段.D段的開始位置是D1,小于D1時也不存在內(nèi)凹形解(因此D1也是第二支解的極限位置).可見與無黏附膜泡類似,在外凸形和內(nèi)凹形解之間仍然存在一個間隙.

探究組（n＝50），手術(shù)創(chuàng)口愈合時間（7.03±2.04）d、住院時間（11.09±2.23）d；參照組（n＝45），手術(shù)創(chuàng)口愈合時間（9.87±3.41）d、住院時間（15.64±3.45）d；（t＝4.983，P＝0.000；t＝7.709，P＝0.000）經(jīng)組間比較顯示探究組手術(shù)創(chuàng)口愈合時間及住院時間均顯著短于參照組，差異有統(tǒng)計學意義（P＜0.05）。

在MB和CL之間,同一個Δa值對應了外凸形這一支的三個解,例如Δa=0.9979分別對應了圖4中的A2,B1和C1三個解.而在CL和D1之間,同一個Δa值對應了外凸形這一支的兩個解,在D1和MA之間,同一個Δa值對應了外凸形這一支的兩個解及內(nèi)凹形這一支的一個解.

沿著D段增加Δa值(見圖6),在較大的范圍內(nèi)每一個Δa值都對應這一支的惟一解(例如圖4中的D1,D2,D3).并且隨著Δa值遠離D1,其相應的形狀亦有了較大的變化.與無黏附的情況類似,可以得到自交的形狀(例如圖4中的D4),這是向黏附啞鈴形演化的中間形狀.到達MD時,可以發(fā)現(xiàn)這一支解也發(fā)生了折疊.繼續(xù)增大Δa值,沿著這一支已經(jīng)無解,通過不同模型下參數(shù)替換的方法,我們可以得到E段(代表形狀如圖4中的E1),然后減小Δa值得到開口持續(xù)減小的形狀,直到ME時,這一支解再次發(fā)生折疊,又得到第二支解的F段.由于E段和F段的能量差別很小,導致這兩條曲線非常接近,在圖6中無法顯示出來,為此在圖6中嵌入的插圖中對ME附近進行了放大.與第一支解不同的是F段與D段不相交.F段在FL處達到了極限點,其對應的形狀是一個開口極小的外凸啞鈴形.

圖6 黏附半徑Rcon=0.5時第二支解的約化總能量隨Δa的變化,插圖亦給出了ME附近的放大圖Fig.6.The energy diagram as a function of the reduced area difference Δa for the second branch solution of adhesive open vesicles in the case of the contact radius Rcon=0.5.The insert is the magnif i cation of the f i gure around ME.

雖然線張力系數(shù)亦會導致膜泡形狀發(fā)生有趣的變化,但本文重點研究由于黏附能和無黏附能導致的兩支解的不同行為,因而計算中固定了約化線張力系數(shù)?γ=0.1.在此情況下我們還計算了黏附半徑Rcon取不同值時膜泡形狀的變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)Rcon在區(qū)間[0,0.2281]取值時,隨著Δa值的增大,第二支解可以從接近球形的內(nèi)凹開口形狀演變到不自交的單開口啞鈴形.而在Rcon＞0.2281時,得到的開口啞鈴形在頸部是自交的.當黏附半徑較小時,這兩支解和無黏附的情況是類似的,即兩支解不發(fā)生折疊,而隨著黏附半徑的增大,兩支解都會發(fā)生折疊,因而導致膜泡的相變在BC模型下是不連續(xù)的.

這是一種嶄新的現(xiàn)象,因為以往對閉合膜泡的研究表明,在BC模型下相變是連續(xù)的(在約化體積很小時,BC模型下不同的分支解之間有可能發(fā)生不連續(xù)相變).

對開口膜泡,以往在BC模型下還沒有詳細的研究,但人們普遍認為在BC模型下相變是連續(xù)的.而我們在3.1節(jié)的研究表明,對本文中研究的這兩支解而言,在無黏附情況下,開口膜泡在BC模型下的相變確實是連續(xù)的.而在有黏附時,開口膜泡在BC模型下會發(fā)生不連續(xù)相變,不連續(xù)相變點就在解的折疊區(qū)域.因而BC模型下的不連續(xù)相變是開口黏附膜泡才會發(fā)生的現(xiàn)象.

發(fā)生這種現(xiàn)象的原因是,考慮了黏附能后,膜泡形變的自由度增加,導致同一Δa值可以對應同一支解的幾個解,因而能量曲線發(fā)生折疊,從而導致不連續(xù)相變的發(fā)生.

總結(jié)3.1節(jié)在無黏附情況下的計算表明,外凸和內(nèi)凹解之間有一個間隙,在區(qū)間(0.9999,1.0015)不存在開口解.而閉合解只存在于Δa=1,對應球形.而當Δa趨于1時,外凸形及內(nèi)凹形的外形很趨向于球形(如果不對開口處放大很難看出區(qū)別),但并不能嚴格地趨向于球形.

在本節(jié)有黏附的情況下的計算結(jié)果表明,兩支開口形膜泡的間隔將向右移動,在區(qū)間(1.0039,1.0053)無開口解,區(qū)間端點分別對應圖5中的CL和D1點.而且閉合膜泡不是只有Δa=1的一個球形解,而是在區(qū)間[1.0036,1.0161]都存在閉合解(圖7中給出了閉合的三個典型形狀).這更明確地表明外凸、內(nèi)凹及閉合形狀屬于不同的分支解.

這里在計算閉合膜泡時研究的是對體積不加約束的情況,或滲透壓為零的情況,因為開口膜泡的滲透壓必為零,即只研究膜泡被打開一個孔時,膜兩側(cè)的滲透壓是連續(xù)變化的情況.而以往閉合膜泡之所以會出現(xiàn)很多分支解[1]是因為要對膜泡同時加面積及體積約束,相當于滲透壓不為零.因而與我們的計算條件是不同的.

圖7 在間隙CL和D1附近約化總能量隨Δa的變化,其中實線表示閉合黏附膜泡的能量,虛線表示開口黏附膜泡的能量,開口黏附膜泡兩支解的間隔區(qū)間為(1.0039,1.0053)Fig.7.The reduced total energy of the vesicles as a function of the reduced area difference Δa.The solid line denotes the energy of the closed adhesive vesicles while the dash line shows that of the opening-up adhesive vesicles.The interval between two solutions of the opening-up adhesive vesicles is(1.0039,1.0053).

4 結(jié) 論

本文運用打靶法研究了BC模型中軸對稱開口黏附膜泡的形狀轉(zhuǎn)變,計算中固定約化線張力系數(shù)=0.1,得到了以下結(jié)論.

1)在無黏附的情況下,發(fā)現(xiàn)Δa在1附近存在兩支解,Δa＜0.9999的一支是開口處外凸的解,而Δa＞1.0015的一支是開口處內(nèi)凹的解.這兩支解存在一個間隙,即Δa在(0.9999,1.0015)不存在開口解.這兩支解不能從一支連續(xù)地演化到另一支,也不能演化為閉合的球形.

2)在有黏附的情況下,仍然發(fā)現(xiàn)存在類似的兩支解,在固定黏附半徑的系綜中計算,當Rcon=0.5時,這兩支解的間隙右移到(1.0039,1.0053),即在該區(qū)間無開口解.與無黏附情況在間隙附近只存在Δa=1的閉合球形不同的是,當Rcon=0.5時,在該間隙附近,Δa在區(qū)間[1.0036,1.0161]都存在閉合解.這更明確地表明,兩支開口形解和閉合形解屬于不同的分支解.另外一個有趣的結(jié)論是對有黏附的開口膜泡,在Δa參數(shù)空間,同一支解會發(fā)生折疊,即出現(xiàn)同一Δa值對應多個解(形狀)的情況,這在以往BC模型的計算中是從沒出現(xiàn)過的情況.

3)在有黏附和無黏附的情況下,間隙右側(cè)的這一支內(nèi)凹形解都會隨著Δa的增大,先演化為自交的形狀,然后隨著Δa的進一步增大演化為開口啞鈴形.而間隙左側(cè)的外凸形開口膜泡則不會連續(xù)地演化為開口啞鈴形,因而從外凸形開口膜泡無法得到開口啞鈴形.這就闡明了以往文獻中出現(xiàn)的外凸形杯形膜泡和開口啞鈴形的關(guān)系.

在以往的研究中,由于線張力系數(shù)增大時,開口可以變得非常小,因而人們先驗地認為開口形狀可以連續(xù)地演變?yōu)殚]合形狀.雖然從實驗角度來看,該演化可近似看成連續(xù)的,但在數(shù)學求解的角度,開口形狀和閉合形狀具有不同的拓撲結(jié)構(gòu),它們不能連續(xù)演化.而我們通過計算得到的內(nèi)凹開口形這一支解也不能連續(xù)地演變成閉合形狀,而且這兩支開口解不能相互演化.只能獨立去探尋發(fā)現(xiàn)不同的分支解,而不能通過參數(shù)的連續(xù)變化從一支得到另一支.這也說明了為什么Umeda和Suezaki[15]通過連續(xù)增大Δa0以增大Δa,并沒有得到內(nèi)凹形解這一事實.

給出了這些解的分支,下一步就可以系統(tǒng)地研究在黏附系數(shù)及線張力系數(shù)下膜泡的相變行為,并與以后可能的實驗進行比較.

需要指出的是,本研究中運用的求解常微分方程的方法只能給出軸對稱形式的解,而實驗上發(fā)現(xiàn)了非旋轉(zhuǎn)軸對稱的穩(wěn)定膜泡,這時Ouyang-Helfrich形狀方程是一高階非線性偏微分方程[25,26],目前還沒有數(shù)值求解該偏微分方程的方法.對非旋轉(zhuǎn)對稱形狀,目前只能用基于有限元的直接極小化方法進行數(shù)值計算.在本文中,我們只研究了高斯曲率彈性模量為零的情況,而高斯曲率模量對黏附膜泡的影響、多組分脂質(zhì)膜泡的黏附行為、細胞與細胞之間的黏附等相關(guān)行為的研究也是十分有趣和有意義的,還有待進一步的深入研究.

[1]Seifert U 1997Adv.Phys.46 13

[2]Alberts B,Bray D,Lewis J,RaffM,Roberts K,Watson J D 1983Molecular Biology of the Cell(New York:Garlan Publishing)pp112–115

[3]Sternberg B,Grumpert J,Reinhardt G,Gawrisch K 1987Biochim.Biophys.Acta898 223

[4]Bernard A L,Guedeau-Boudeville M A,Jullien L,Meglio J M D 2000Langmuir16 6809

[5]Sackmann E 1996Science271 43

[6]Keller C A,Glasmstar K,Zhdanov V P,Kasemo B 2000Phys.Rev.Lett.84 5443

[7]Seifert U,Lipowsky R 1990Phys.Rev.A42 4768

[8]Capovilla R,Guven J 2002Phys.Rev.E66 041604

[9]Tordeux C,Fournier J B 2002Phys.Rev.E65 041912

[10]Rosso R,Virga E G 1999Proc.R.Soc.Lond.A455 4145

[11]Das S,Du Q 2008Phys.Rev.E77 011907

[12]Saitoh A,Takiguchi K,Tanaka Y,Hotani H 1998Proc.Natl.Acad.Sci.USA95 1026

[13]Capovilla R,Guven J,Santiago J A 2002Phys.Rev.E66 021607

[14]Tu Z C,Ouyang Z C 2003Phys.Rev.E68 061915

[15]Umeda T,Suezaki Y 2005Phys.Rev.E71 011913

[16]Kang W B,Zhang S G,Wang Y,Mu Y R,Huang C 2011Sci.China:Phys.Mech.Astron.54 2243

[17]Huang C,Zhang S G 2013J.Shaanxi Normal Univ.(Nat.Sci.Ed.)41 31(in Chinese)[黃聰,張劭光 2013陜西師范大學學報41 31]

[18]Kong X B,Zhang S G 2016Acta Phys.Sin.65 068701(in Chinese)[孔祥波,張劭光 2016物理學報 65 068701]

[19]Ni D,Shi H J,Yin Y J 2005Colloids Surf.B46 162

[20]Lü C J,Yin Y J,Yin J 2009Colloids Surf.B74 380

[21]Canham P B 1970J.Theoret.Biol.26 61

[22]Helfrich W 1973Z.Naturforsch.C28 693

[23]Svetina S,Ottova-Lietmannova A,Glaser R 1982J.Theor.Biol.94 13

[24]Svetina S,Zeks B 1985Biomed.Biochim.Acta44 979

[25]Ouyang Z C,Helfrich W 1987Phys.Rev.Lett.59 2486

[26]Ouyang Z C,Helfrich W 1989Phys.Rev.A39 5280

[27]Miao L,Seifert U,Wortis M,Dbereiner H G 1994Phys.Rev.E49 5389

[28]Seifert U,Berndl K,Lipowsky R 1991Phys.Rev.A44 1182

[29]Jlicher F,Lipowsky R 1996Phys.Rev.E53 2670

[30]Yang P,Du Q,Tu Z C 2017Phys.Rev.E95 042403