平面向量與三角形四心的交匯

姜懿洋

摘 要：本文介紹了三角形四心的定義，對三角形四心相關(guān)的常見向量表達(dá)式進(jìn)行了總結(jié)，并運(yùn)用高中的平面向量知識，推導(dǎo)證明了更一般的表達(dá)式。最后，探究了三角形四心相關(guān)試題的特點(diǎn)，總結(jié)出各類試題一般解題思路。

關(guān)鍵詞：平面向量 三角形 四心

一、三角形的四心

一般說來，三角形有五心：重心、垂心、外心、內(nèi)心、旁心。但高考要求的是前面四個(gè)，我們常稱呼為三角形的四心。近幾年高考對平面向量這一塊知識點(diǎn)的考查，越來越靈活，與三角形四心的結(jié)合考查出現(xiàn)得越來越頻繁。我們先介紹這幾個(gè)“心”的概念：

重心：三角形三條中線的交點(diǎn)。

垂心：三角形三條高線的交點(diǎn)。

外心：三角形外接圓的圓心，即三條邊的中垂線的交點(diǎn)。

內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，即三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)。

二、三角形四心的向量常規(guī)表達(dá)式

對于，O是平面上的一點(diǎn)，分別是三邊

（1）O是的重心

證明：如果O是的重心，若D為AB的重點(diǎn)，根據(jù)向量的平行四邊形法則知，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)有OC=2OD，因此有.

反過來，若，則可知，可知O、C、D三點(diǎn)共線，并且OC=2OD，因此O為的重心。

（2）O是的垂心

證明：若O是的垂心，根據(jù)垂心的性質(zhì)，有，故有，化簡可得，同理可得，因此

反過來，若，根據(jù)前兩個(gè)等式，有，即

同理，有，因此O為的垂心。

（3）O是的外心

證明：顯然成立。

（4）O是內(nèi)心

證明：容易知道是方向的單位向量，表示的是平分線方向的向量，表示的是垂直平分線的向量。因此表示OA是的角平分線，同理OB、OC分別是的角平分線，因此O是內(nèi)心，反之亦然。

三、三角形四心的向量一般表達(dá)式

在推導(dǎo)一般式前，我們先看一道例題：

例1. 點(diǎn)在內(nèi)部且滿足，則面積與面積之比為（ ）。

A.2 B. C.3 D.

分析：題目中的向量表達(dá)式有點(diǎn)像重心的表達(dá)式，但是前面的系數(shù)不太對，我們考慮構(gòu)造新的三角形，滿足O是重心，再來解決問題。

解：如圖所示，延長OB至，使得；延長OC至

可知，因此O為的重心。根據(jù)重心的性質(zhì)，。根據(jù)線段的比例關(guān)系，

因此面積與面積之比為

從這道題里面我們可以看出，一個(gè)點(diǎn)和三角形三個(gè)頂點(diǎn)連線，把三角形劃分成三部分，這三部分的面積比可以和向量結(jié)合起來。我們得到下面的定理：

點(diǎn)在內(nèi)部，

這個(gè)定理用上面的方法很容易證明，這里就先省略，我們用這個(gè)定理來重新審視三角形的四心。

重心這個(gè)仍然不變，O是的重心

垂心，由于，因此有O是的垂心

外心，容易知道，O是的外心

內(nèi)心，由于三個(gè)小三角形的高是一樣的，底邊分別為，因此O是的內(nèi)心

四、三角形四心的考查形式

下面我們通過幾道例題說明三角形四心的具體考查形式，以及對應(yīng)的解題思路。

例2.是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

分析：出現(xiàn)了一個(gè)不相關(guān)的點(diǎn)O，我們要探究的是P和四心的關(guān)系，因此要把O點(diǎn)消除，采用向量差的方法是不錯的。

解：化簡向量表達(dá)式，容易知道平行與過A點(diǎn)的中線，因此P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過重心，選C.

例3. 是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

分析：O點(diǎn)仍然和上一題一樣，采用作差的方法消除，另外還要對單位向量的表達(dá)形式要熟悉，一般說來表示的是方向的單位向量。

解：化簡向量表達(dá)式，由于和分別表示和方向的單位向量，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，表示的是角平分線方向的向量，因此P點(diǎn)的軌跡過內(nèi)心，選B.

例4.若存在常數(shù)，滿足，則點(diǎn)可能通過的__________

分析：和上面那題不一樣的是，分母里面出現(xiàn)了正弦值。由正弦定理可得，即

解：化簡向量表達(dá)式

這樣，G點(diǎn)明顯過三角形的重心。

參考文獻(xiàn)：

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