基于對稱群思想的新疆伊斯蘭幾何紋飾分析

劉 超

(石河子大學(xué) 師范學(xué)院，新疆 石河子 832000)

基于對稱群思想的新疆伊斯蘭幾何紋飾分析

劉 超

(石河子大學(xué) 師范學(xué)院，新疆 石河子 832000)

伊斯蘭文明關(guān)于幾何紋飾與對稱的創(chuàng)造性使用起始于10世紀(jì)，到14世紀(jì)時(shí)有了令世界矚目的成就。伊斯蘭教在10世紀(jì)(明代)傳入新疆之后，幾何紋飾也在本地區(qū)的清真寺、民居、傳統(tǒng)工藝品等的裝飾上得到傳承和創(chuàng)新性的應(yīng)用。二維連續(xù)的重復(fù)繁衍的新疆伊斯蘭幾何紋飾凸顯了幾何、圖樣與對稱，闡釋了無限性及無所不在的宗教教義。文章基于對稱、對稱變換和對稱群的思想，分析了用于定義幾何紋飾背后網(wǎng)狀系統(tǒng)的五種形態(tài)的網(wǎng)格以及二維連續(xù)圖案的十七種對稱群類型，基于平移、旋轉(zhuǎn)、鏡射、滑動鏡射等對稱變換分析了伊斯蘭幾何紋飾的構(gòu)圖規(guī)律，并結(jié)合實(shí)物圖片進(jìn)行了例證。

新疆；伊斯蘭教；幾何紋飾；對稱；對稱變換；對稱群

一、新疆伊斯蘭幾何紋飾特征及發(fā)展歷程

所謂幾何紋飾，就是運(yùn)用點(diǎn)線面及其組合形成的具有審美價(jià)值的抽象圖形。由點(diǎn)、線、面的組合所形成的幾何紋飾體現(xiàn)了人們的審美觀點(diǎn),它使人在視覺和精神上都能感受到強(qiáng)烈的震撼和愉悅。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫在《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》中指出[1]“人類從自然界本身提出幾何的形式……起初是把形式賦予原材料，而以后就意識到形式是屬于原材料的，也是可以脫離原材料獨(dú)立地加以考察的，人們意識到物體的形式，就能夠改進(jìn)自己的手工品，并且能夠更明確地把形式概念本身分離出來。這樣，實(shí)踐活動成為了建立幾何抽象概念的基礎(chǔ)?！睂?shí)際上，幾何學(xué)的產(chǎn)生源于全世界范圍內(nèi)各個(gè)時(shí)期人們社會生產(chǎn)生活的實(shí)際需求。如信仰伊斯蘭教的穆斯林們因?yàn)樽诮绦叛龊蛯徝赖男枰?，在清真寺、民居等傳統(tǒng)文化載體上裝飾的到現(xiàn)在看來都是獨(dú)一無二的特具伊斯蘭特征的幾何紋飾。幾何紋飾應(yīng)用的一個(gè)重要原則是遵循對稱的性質(zhì)和規(guī)律。德國數(shù)學(xué)家H.外爾(H.Weyl)指出[2]：“對稱是一個(gè)廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩個(gè)方面都意義重大。數(shù)學(xué)則是它的根本?！彼€指出[2]：“裝飾品的幾何學(xué)藝術(shù)的最杰出的大師們曾經(jīng)是阿拉伯人?！币延醒芯勘砻?，伊斯蘭數(shù)學(xué)曾對數(shù)學(xué)發(fā)展作出過重要貢獻(xiàn)。哈佛大學(xué)的研究人員認(rèn)為，中世紀(jì)伊斯蘭世界的外墻磚的“girih”設(shè)計(jì)圖案說明它們的設(shè)計(jì)者掌握了西方世界500年后才掌握的數(shù)學(xué)概念。雖然所有人類文化從很早就開始探究圖樣與對稱，卻只有伊斯蘭文明在大約10世紀(jì)時(shí)有了真正壯觀的成就，并于14世紀(jì)中葉達(dá)到全盛[3]。實(shí)際上，伊斯蘭文化鐘愛幾何紋飾并發(fā)展到相當(dāng)?shù)母叨仁怯善渥诮绦叛鰶Q定的。根據(jù)伊斯蘭教“信主獨(dú)一”的教義，穆斯林教徒們只信仰真主安拉，認(rèn)為真主安拉無始無終，無所在無所不在，故伊斯蘭教建筑及裝飾藝術(shù)不設(shè)任何偶像，以單一抽象取代神的擬人化形象，于是伊斯蘭藝術(shù)“擁抱”幾何[4]。伴隨著世居新疆的維吾爾、哈薩克等民族所信仰的伊斯蘭教于10世紀(jì)(明代)傳入新疆，也自然將阿拉伯世界的幾何紋飾藝術(shù)同時(shí)傳來，并結(jié)合本地區(qū)的文化特征進(jìn)行創(chuàng)新?，F(xiàn)今新疆地區(qū)清真寺外墻及內(nèi)殿磚飾中包含的大量以四邊形(方形、菱形以及不規(guī)則的四邊形)、多邊形(如細(xì)長六邊形)、星形(四角星、六角星、八角星等)以及圓形(相切圓、相交圓等)等為基礎(chǔ)圖案進(jìn)行二維連續(xù)延展的復(fù)雜程度極高、精彩紛呈的幾何紋飾就是例證。

在傳承與創(chuàng)新的基礎(chǔ)上，新疆伊斯蘭幾何紋飾集中凸顯了幾何、圖樣與對稱，這些構(gòu)成伊斯蘭文化藝術(shù)可見主體的重復(fù)性幾何圖樣與對稱，是人腦所能想象的兩種最深奧與廣泛的概念，這些圖樣的形式，至少在二維空間里，窮盡了平面對稱的所有可能性[4]。新疆伊斯蘭文化藝術(shù)就是利用幾何圖形的對稱性質(zhì)將平面或空間分割成和諧、對稱的部分，以產(chǎn)生交織的精巧圖案，通過對稱結(jié)構(gòu)的不斷重復(fù)，最終闡釋無限性及無所不在的核心思想。在伊斯蘭藝術(shù)家的眼中，幾何的支配性是至高無上的，宇宙的和諧只有透過最純粹完美的幾何形式才能體驗(yàn)。他們懂得如何利用幾何中的“點(diǎn)、線、面、體”等來完美地呈現(xiàn)伊斯蘭母題，并努力讓這超然的關(guān)聯(lián)性在他們作品中璀璨生輝[4]。這些極具伊斯蘭特色的幾何紋飾常常是以石膏雕花、木雕、磚飾等形式裝飾在清真寺外墻、內(nèi)殿墻壁、鏤空花窗以及民居和民族傳統(tǒng)工藝品上(如地毯、服飾、器物等)，它們不僅美觀，而且在數(shù)學(xué)上極為準(zhǔn)確，更為關(guān)鍵的是它們深刻地反映了伊斯蘭教教義，使人一眼就能辨析出它的伊斯蘭教屬性。

二、新疆伊斯蘭幾何紋飾的對稱群

對稱是一種非常普遍的自然現(xiàn)象，因而它在自然科學(xué)的眾多學(xué)科中有著廣泛的研究與應(yīng)用。同樣地，在數(shù)量關(guān)系、空間形式中對稱的現(xiàn)象也大量存在。對稱的和諧形態(tài)總給人以強(qiáng)烈的美感和震撼力，因此，被大量地應(yīng)用于建筑、造型、藝術(shù)、繪畫和工藝美術(shù)中[5]。在新疆伊斯蘭教文化藝術(shù)中，關(guān)于對稱的應(yīng)用也是達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨群退健Ｒ韵聢D1到圖6是筆者在新疆喀什高臺民居和麥蓋提縣調(diào)研期間所拍攝的有關(guān)伊斯蘭教文化藝術(shù)的圖片。

圖1 麥蓋提清真寺 圖2 喀什米合拉甫型鏤窗

圖3 麥蓋提縣墻壁磚飾 圖4 麥蓋提彩繪圖案

圖5 麥蓋提街拍花帽 圖6 麥蓋提民居鐵門

如上呈現(xiàn)的新疆伊斯蘭文化載體所蘊(yùn)含的幾何紋飾都是高度對稱化的二維連續(xù)圖案，大都經(jīng)由一個(gè)小的平面圖形經(jīng)過鏡射、旋轉(zhuǎn)、平移與滑動鏡射等四種變換，不斷重復(fù)繁衍，從而填滿整個(gè)裝飾面。新疆伊斯蘭幾何紋飾涉及的對稱變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、鏡射(鏡面對稱)、滑動鏡射等。下面結(jié)合一般對稱群的定義，分析平面圖形對稱群的概念。以正方形為例，正方形中只包括以上四種對稱變換中的兩種，即旋轉(zhuǎn)和鏡射。分別用R1、R2、R3來表示第一重(90度)、第二重(180度)、第三重(270度)的旋轉(zhuǎn)，特別地，第四重旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于不做任何變換，相當(dāng)于群論中的單位變換，將它記做I。分別以M1、M2、M3、M4來表示以m1、m2、m3、m4為對稱軸進(jìn)行的鏡射變換(如圖7)。由此，正方形的所有對稱變換組成的集合如下：D4={I,R1,R2,R3,M1,M2,M3,M4}。這八個(gè)對稱變換都保持正方形的中心不動，而把它的頂點(diǎn)仍然映成頂點(diǎn)。

圖7

再看對稱變換的合成運(yùn)算。以Dn來表示某平面圖形(正n邊形)具有的全部四種對稱變換的集合，將關(guān)于該平面圖形的兩個(gè)對稱變換的合成(先做一個(gè)對稱變換，再做另一個(gè)對稱變換)定義為Dn上的一種“乘積”運(yùn)算“·”(對稱變換的合成運(yùn)算從右往左)。仍以正方形為例，如上所討論的正方形對稱變換的集合D4的兩個(gè)對稱變換R1和M1的合成表示先繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再以M1為軸作鏡射，可以驗(yàn)證，M1·R1=M4。也即，M1·R1仍然是正方形的一個(gè)對稱變換，并且仍然在D4中。由此，可逐一驗(yàn)證正方形的任意兩個(gè)對稱變換的合成仍然是正方形的對稱變換，也在D4中。

因此，對于一個(gè)平面圖形(正邊形)的所有對稱變換組成的集合Dn以及對稱變換的合成運(yùn)算“·”，可以驗(yàn)證它們滿足以下幾個(gè)條件：

(1)Dn中存在單位變換I，對任意m∈Dn，有I·m=m·I=·m；

(2)對任意m1,m2∈Dn，有m1·m2∈Dn;

(3)對任意m1,m2,m3∈Dn,m3·(m1·m2)=(m3·m1)·m2；

(4)對任意m∈Dn，存在變換m-1∈Dn，使得m·m-1=I=m-1·m。

參照一般對稱群的定義，一個(gè)平面圖形的所有對稱變換的集合Dn及其合成運(yùn)算“·”構(gòu)成該平面圖形的對稱群(也稱作平面費(fèi)德洛夫群)，記作(Dn,·)。研究表明，二維連續(xù)伊斯蘭幾何紋飾的對稱群共有十七種[6](如圖8所示)。在數(shù)學(xué)上可以用群論的方法證明在無限的平面圖形的對稱群中不會再有其他的類型。例如，正方形有且只有編號為“10”“11”“12”所列的三種對稱群類型，涉及鏡射和四重旋轉(zhuǎn)變換。

圖8 二維連續(xù)平面圖形的十七種對稱群

三、基于對稱群思想的新疆伊斯蘭幾何紋飾構(gòu)圖規(guī)律分析

(一)十七種伊斯蘭幾何紋飾的分類

研究表明，每個(gè)伊斯蘭圖樣(特指二維連續(xù)紋飾)之中必然包含著兩個(gè)方向的平移對稱(如圖9中矩形格內(nèi)圖案的左右和上下方向的平移)，否則它無法鋪滿整個(gè)平面。一旦有沿兩個(gè)方向的平移，就必然會產(chǎn)生一個(gè)網(wǎng)狀系統(tǒng)[6]。也即，一個(gè)二維的周期或連續(xù)圖樣，產(chǎn)生于特定圖案被復(fù)制到兩組平行線所生成的網(wǎng)狀系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)上，如圖10所示。

這些平行線相交使得整個(gè)平面被小平行四邊形所覆蓋，我們把每一個(gè)這種小平行四邊形稱為“單位格”，而整個(gè)二維連續(xù)紋飾都可以從這個(gè)單位格中的圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)等對稱變換得來。這樣，就相當(dāng)于將整個(gè)伊斯蘭圖樣切割成一個(gè)個(gè)小的基礎(chǔ)單位，這對于研究其構(gòu)圖規(guī)律或者復(fù)原紋飾就顯得較為容易和便利了。具體地，兩組用于定義圖樣背后網(wǎng)狀系統(tǒng)的平行線可以產(chǎn)生以下五種形態(tài)的網(wǎng)格(每一種網(wǎng)格都有三個(gè)參數(shù)變量，矢量長度，以及二者之間的夾角)，每種單位格形態(tài)都有其獨(dú)特的特征。[6]

圖10 兩個(gè)方向的平移對稱示意圖

圖11

如圖11所示，構(gòu)成新疆伊斯蘭幾何紋飾的五種基本網(wǎng)格分別為鄰邊不等的斜平行四邊形網(wǎng)格、矩形網(wǎng)格、正方形網(wǎng)格、不含60度角的菱形網(wǎng)格、含60度角的菱形網(wǎng)格。基于五種基本網(wǎng)格形態(tài)，所有伊斯蘭幾何紋飾就可以相對應(yīng)地分為五大類。換言之，所有伊斯蘭幾何紋飾的造型都是圍繞五種基本網(wǎng)格以及其包含的一共十七種對稱群的對稱變換組合進(jìn)行創(chuàng)造的。從對稱群的角度來看，分析一個(gè)伊斯蘭幾何紋飾構(gòu)圖過程的基本步驟可概括為：觀察幾何紋飾，找出單位格(必然是上述五種基本網(wǎng)格的一種)；根據(jù)該單位格的對稱群屬性，找出其所有的鏡射軸和旋轉(zhuǎn)中心；在此基礎(chǔ)上，找出構(gòu)成該單位格的最小構(gòu)圖單元并畫出該紋飾包含在該最小構(gòu)圖單元中的圖案(必定是有交點(diǎn)的幾條短直線)，然后經(jīng)過鏡射和旋轉(zhuǎn)變換得到一個(gè)單位格中的幾何紋飾圖案，再通過二方平移，得到鋪滿整個(gè)裝飾面的幾何紋飾。也即，從對稱群的視角分析伊斯蘭幾何紋飾就要從尋找單位格開始。

(二)基于對稱群思想的伊斯蘭幾何紋飾構(gòu)圖分析

以一幅正方形網(wǎng)格的紋飾為例進(jìn)行分析。

第一步，觀察圖12(新疆清真寺鏤空窗戶)所屬的網(wǎng)狀系統(tǒng)，切割出正方形網(wǎng)格。

圖12(圖片出自：莫合德爾·亞森《新疆伊斯蘭教建筑裝飾》)

第二步，以這樣的一個(gè)單位格為研究對象，標(biāo)出它的鏡射軸和旋轉(zhuǎn)中心。圖13中虛線是鏡射軸，紅色點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，在這個(gè)單位格里包含了十二個(gè)旋轉(zhuǎn)中心。

圖13 圖14 圖15

第三步，將一個(gè)單位格繼續(xù)細(xì)分，分出多個(gè)全等小直角三角形。如圖14所示，整個(gè)單位格由這樣的8個(gè)小三角形構(gòu)成。確定了其中一個(gè)，其他的小三角形都可經(jīng)由鏡射或旋轉(zhuǎn)得來。將原幾何紋飾在這一小三角形內(nèi)的部分(圖14左上)構(gòu)造出來。

第四步，以這個(gè)小三角形中的圖案為基礎(chǔ)，根據(jù)已經(jīng)標(biāo)識出來的鏡射軸和旋轉(zhuǎn)中心，依次進(jìn)行單位格內(nèi)部的鏡射變換和單位格之間的鏡射變換(圖14)。

第五步，以這個(gè)格子里的圖形為基礎(chǔ)，分別沿著網(wǎng)格的兩個(gè)方向平移，鋪滿整個(gè)平面，整個(gè)紋飾就構(gòu)造出來了(如圖15所示)。

其它四種網(wǎng)格系統(tǒng)的紋飾可用同樣的方法來進(jìn)行操作。如圖16所示為一含60度角的菱形網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，基于對稱群思想，該鏤窗圖案的構(gòu)圖過程如圖17所示。

圖17

實(shí)際上，對于五種伊斯蘭幾何紋飾五種基本網(wǎng)格及對稱變換的使用也不只限于伊斯蘭幾何紋飾方面，在繪畫藝術(shù)上也有著廣泛的應(yīng)用。例如，將對稱思想和對稱變換應(yīng)用到極致的當(dāng)屬荷蘭畫家埃舍爾所創(chuàng)作的系列藝術(shù)圖案。埃舍爾創(chuàng)造性地在每個(gè)基本圖案的內(nèi)部添加動物、鳥和其他的形狀，并進(jìn)行動態(tài)化的設(shè)計(jì)，然后通過三重旋轉(zhuǎn)、四重旋轉(zhuǎn)甚至六重旋轉(zhuǎn)等得到二維連續(xù)的效果驚人又美麗的鑲嵌圖形，他的這些創(chuàng)作極大拓展了連續(xù)圖案的藝術(shù)表現(xiàn)力。相比伊斯蘭幾何紋飾，應(yīng)該說是各具特色，一個(gè)顯得莊重宏偉；一個(gè)是栩栩如生、活靈活現(xiàn)。如圖18所示埃舍爾創(chuàng)作的蜥蜴系列藝術(shù)圖案，圖18中左圖為基于正六邊形三重旋轉(zhuǎn)變換的蜥蜴圖。在一個(gè)正六邊形內(nèi)，以加注陰影的部分為起始，依次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度，240度，便可得到一個(gè)正六邊形內(nèi)的蜥蜴圖案，在其他正六邊形內(nèi)，根據(jù)原創(chuàng)圖案，進(jìn)行如上的重復(fù)性操作，便得到了整副圖案。圖18中右圖為基于正方形四重旋轉(zhuǎn)變換的蜥蜴圖，構(gòu)圖原理與左圖是一致的。

圖18(圖片出處：沈源《二維連續(xù)圖案的對稱性及其變換的初探》)

通過分析埃舍爾蜥蜴系列藝術(shù)的構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn)，除了基本圖案所滿足的對稱變換之外，埃舍爾從藝術(shù)的角度在每個(gè)小的圖案單元里增加了象形的部分蜥蜴的頭、腳、尾巴等圖案，使得在經(jīng)由對稱變換之后，在二維連續(xù)的平面上，形成了由蜥蜴構(gòu)成的栩栩如生的鋪滿整個(gè)平面的鑲嵌藝術(shù)圖案。像埃舍爾畫作中出現(xiàn)的藝術(shù)圖案，在新疆伊斯蘭教文化藝術(shù)中并沒有出現(xiàn)。這也反映了基于對稱思想的幾何紋飾應(yīng)用的特征：即使應(yīng)用的對稱變換類型相同，在同一幾何紋飾框架中，如果使用不同的素材，也能創(chuàng)作出各具特色的連續(xù)圖案。同樣地，即使使用同一種素材，只要應(yīng)用的對稱類型不同，也能創(chuàng)作出不同的連續(xù)圖案。

圖19

除了如上述的構(gòu)成伊斯蘭幾何紋飾的五種基本圖案依據(jù)對稱思想和對稱變換所得到的裝飾圖案之外，關(guān)于五種基本圖案還有著更為廣泛的應(yīng)用。具體地，首先，嚴(yán)格遵循對稱思想、對稱變換的性質(zhì)，將五種基本圖案繼續(xù)“等分”，直至等分得到的基本圖形完全沒有對稱性。例如，基本圖案中的正六邊形依次經(jīng)過二等分、三等分、六等分、十二等分、十八等分就可得到梯形、五邊形(有一條邊極短)、菱形、等邊三角形、直角三角形、頂角為120度的等腰三角形。由此，五種基本圖案的等分可得到如圖19所示的各種不再具有對稱性質(zhì)的圖案(主要是五邊形、平行四邊形、梯形和各類三角形)。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)藝術(shù)設(shè)計(jì)需要將新得到的構(gòu)圖單位根據(jù)“對邊重合、旋轉(zhuǎn)重合、中心旋轉(zhuǎn)重合(在分成更小的單元的基礎(chǔ)上進(jìn)行)、滑動鏡射重合”的要求進(jìn)行“等分”分解[7]。例如，梯形的“旋轉(zhuǎn)重合就是先依據(jù)對稱的性質(zhì)將正方形分割為兩個(gè)大小相等的梯形，然后經(jīng)由旋轉(zhuǎn)變換使兩個(gè)梯形的邊(對邊或每條邊)重合。在此基礎(chǔ)上，基于這些基本圖形，根據(jù)藝術(shù)設(shè)計(jì)與創(chuàng)新需求進(jìn)行造型設(shè)計(jì)(基于四種對稱變換，網(wǎng)格可以設(shè)計(jì)成由曲線構(gòu)成的自由形態(tài))，并在滿足“鑲嵌”的前提下進(jìn)行重復(fù)性排列，最終產(chǎn)生既遵循對稱性質(zhì)又極具藝術(shù)特色的令人震撼的創(chuàng)意性藝術(shù)圖案，限于篇幅，不再贅述。

總之，基于十七種對稱群類型構(gòu)造的新疆伊斯蘭幾何紋飾較為集中地詮釋了新疆民俗數(shù)學(xué)的形式和內(nèi)容。新疆伊斯蘭幾何紋飾通過使用多種基本數(shù)學(xué)圖形，基于對稱群思想，通過遵循平移、旋轉(zhuǎn)、鏡射、滑動鏡射等對稱變換以繪制和創(chuàng)造出錯(cuò)綜復(fù)雜、裝飾性強(qiáng)、賞心悅目的裝飾圖案。新疆伊斯蘭幾何紋飾的作用在于呈現(xiàn)一種觀察世界的方式并闡釋隱藏其后的精妙實(shí)在，以支撐信徒的精神生活。以伊斯蘭教世界觀為基礎(chǔ)的二維連續(xù)幾何紋飾通過重建原始自然之美來尋求補(bǔ)償文明進(jìn)化中的精神損失，它寓意著在可見的物質(zhì)世界之外無限的存在，象征了真主無限的、充塞寰宇的創(chuàng)造屬性，激發(fā)著人們對永恒秩序的贊嘆與沉思。這些極具伊斯蘭特色的幾何紋飾強(qiáng)化了宗教膜拜的氛圍，是數(shù)學(xué)與宗教結(jié)合的成功范例。

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責(zé)任編輯：畢 曼

2016-05-26

國家社科基金西部項(xiàng)目“新疆民俗數(shù)學(xué)研究”(項(xiàng)目編號：13XMZ029)。

劉超(1982-)，山東膠州人，副教授，主要研究方向?yàn)槊袼讛?shù)學(xué)。

J522.8

A

1004-941(2017)02-0127-05