讓抽象變的自然

朱小艷+陳花竹+渠慎明

摘要：線性代數(shù)是理工專業(yè)本科學生的基礎(chǔ)數(shù)學課程，相比其他數(shù)學課程，線性代數(shù)學習內(nèi)容抽象、課時少。如何將抽象的理論知識更直觀自然地教授給學生是線性代數(shù)教學過程中研究的內(nèi)容，特別針對二本學院學生。該文根據(jù)軟件學院辦學特點，在討論數(shù)字圖像原理的基礎(chǔ)上，對線性代數(shù)教學進行了探討，并在此基礎(chǔ)上給出提高教學效果的一系列建議。

關(guān)鍵詞：軟件學院； 圖像處理；線性代數(shù)

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）35-0182-02

1 引言

線性代數(shù)是大學理工專業(yè)共同開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)數(shù)學課，和高等數(shù)學、概率統(tǒng)計構(gòu)成大學數(shù)學的主要內(nèi)容。隨著計算技術(shù)的發(fā)展和計算機的普及，線性代數(shù)作為基礎(chǔ)課程日益受到重視，如何使線性代數(shù)的教學內(nèi)容與各個學院專業(yè)相結(jié)合一直是研究熱點。由于線性代數(shù)內(nèi)容的偏抽象性，而各個學校一般課時安排偏少，如何將抽象的理論知識更直觀自然地教授給學生，從而提高線性代數(shù)課程的教學效果值得進一步研究和探討。

在過去的教學中，線性代數(shù)教學偏重于自身理論體系，強調(diào)線性代數(shù)的基本概念、定理和證明，對線性代數(shù)的數(shù)值計算方法和應(yīng)用重視不夠。對于軟件學院學生來說，將來的培養(yǎng)目標是應(yīng)用性開發(fā)人員，更多的學生將從事一線軟件開發(fā)工作，這與計算機學院以及其他一本理工科院系學生有很大不同。所以，如何更好地將線性代數(shù)課程內(nèi)容與后期計算機專業(yè)課結(jié)合起來，如何將線性代數(shù)中的抽象理論內(nèi)容以更自然貼切的方式進行講授是線性代數(shù)課程教學過程中要思考的問題。

數(shù)字圖像是以二維數(shù)字組形式表示的圖像，其數(shù)字單元為像元，數(shù)字圖像的恰當應(yīng)用通常需要數(shù)字圖像與看到的現(xiàn)象之間關(guān)系的知識。又稱數(shù)碼圖像或數(shù)位圖像，是二維圖像用有限數(shù)字數(shù)值像素的表示。數(shù)字圖像由數(shù)組或矩陣表示，是由模擬圖像數(shù)字化得到的、以像素為基本元素的、可以用數(shù)字計算機或數(shù)字電路存儲和處理的圖像。在計算機和智能手機普及的今天，人們實際上經(jīng)常和圖片打交道，這些圖片就是所謂的數(shù)字圖像。這些圖像最初是如何實現(xiàn)？和大學數(shù)學中的線性代數(shù)有無關(guān)系？若能把這些學生感興趣的內(nèi)容融合在教學內(nèi)容中，既可以讓學生體會到線性代數(shù)與計算機的關(guān)系，又可以將抽象的線代代數(shù)內(nèi)容變得自然，降低學習難度。

在新課標下，高等數(shù)學的核心內(nèi)容微積分部分知識學生在高中已學過一部分，而且微積分的導(dǎo)數(shù)可以與切線的斜率、運動的加速度相聯(lián)系，一重定積分可以與圖像面積相連接、二重積分可以理解為相應(yīng)物體體積，這些知識在高等數(shù)學學習過程中都可以自然過渡。而線性代數(shù)中的一個核心概念----矩陣相對來說對學生比較抽象，有關(guān)矩陣的各類基本運算比如矩陣相加減相乘是什么意思，有什么實際意義？學生來說所以抽象是線性代數(shù)學習的攔路虎，由此導(dǎo)致學生學起來困難，對該課程不感興趣。

本文以我校軟件學院的線性代數(shù)課程教學為基礎(chǔ)，以我院二本學生作為實驗對象，結(jié)合數(shù)字圖像概念和基本處理算法，對線性代數(shù)課程進行教學研討。通過近幾年的實際教學測試，將數(shù)字圖像處理概念融入線性代數(shù)課程的最基本內(nèi)容后，相應(yīng)教學效果有一定提高。

2 線性代數(shù)概述

線性代數(shù)是代數(shù)學的一門基礎(chǔ)課程，作為《工程數(shù)學》的主要組成部分，它也是軟件學院各專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，該課程對于培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力具有重要的作用。它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學和社會科學中。線性代數(shù)的主要內(nèi)容是研究代數(shù)學中線性關(guān)系的經(jīng)典理論。由于線性關(guān)系是變量之間比較簡單的一種關(guān)系，而線性問題廣泛存在于科學技術(shù)的各個領(lǐng)域，并且一些非線性問題在一定條件下 ， 可以轉(zhuǎn)化或近似轉(zhuǎn)化為線性問題，因此線性代數(shù)所介紹的思想方法已成為從事科學研究和工程應(yīng)用工作的必不可少的工具。尤其在計算機高速發(fā)展和日益普及的今天，線性代數(shù)作為高等學校工科本科各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，其地位和作用更顯得重要。

線性代數(shù)在計算機專業(yè)學習過程中有何重要性？線性代數(shù)是一種數(shù)學建模方法，也是處理線性問題的思想方法，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)中。在計算機程序設(shè)計語言中，矩陣是最基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在微積分（高等數(shù)學）、微分方程、離散數(shù)學、算法分析與設(shè)計、計算機圖形圖像處理及數(shù)字信號處理等課程中，矩陣、向量、線性變換是經(jīng)常要用的知識。隨著計算機的普及，應(yīng)用計算機的高速運算功能解決實際問題離不開線性代數(shù)的知識。例如：Google的搜索功能，建立在網(wǎng)頁強大而優(yōu)秀的排序方法上。這個方法建模使用了Markov chain，問題最終歸結(jié)為一個解矩陣方程。再如機器學習，本質(zhì)也是求解線性方程組，除了計算機硬件的優(yōu)化，要依賴線性代數(shù)的知識對算法進行優(yōu)化。

3 具體教學過程探討

3.1數(shù)字圖像與線性代數(shù)關(guān)系

數(shù)字圖像實際上時時存在于具體生活當中，在普遍使用智能終端的當今，圖片是人們常常操作的對象。而這些圖片相冊在存儲器中就是數(shù)字圖像，數(shù)字圖像最終是以矩陣的形式存儲。所以當人們說一副灰度圖像[f（x，y）]的像素為[M×N]時，實質(zhì)指的是這幅圖像有一個[M×N]的矩陣組成，即

[f（x，y）=f（0，0）f（0，1）…f（0，N-1）f（1，0）f（1，1）…f（1，N-1）???f（M-1，0）f（M-1，1）…f（M-1，N-1）]

抽象處理下，可用傳統(tǒng)矩陣表示方法，即

[A=a00a01…a0，N-1a10a11…a1，N-1???aM-1，0aM-1，1…aM-1，N-1]

矩陣中每一個元素的值從0-255之間取。在進行線性代數(shù)教學過程中，講解矩陣概念之前可以先將數(shù)字圖像概念引入，讓數(shù)字圖像處理方法與矩陣定義和相關(guān)運算進行關(guān)聯(lián)，從而讓學生由具象例子理解抽象概念。

同樣當介紹線性代數(shù)運算時，有矩陣的加、減、乘和數(shù)乘，以數(shù)乘為例，其定義為

每當學生學到這個定義的時候都會問，這個定義有什么用？這時我們以數(shù)字圖像為例來給學生解釋。假設(shè)[A]是一個灰度圖像， [12A]則是將[A]中每一個元素的值變?yōu)樵瓉淼腫12]，反應(yīng)到圖像上則是變暗。例如[A]為下圖1，則[12A]為下圖2。

再如矩陣乘法是矩陣運算中最復(fù)雜的運算，學生掌握往往不知其具體作用。同樣我們在教學中可以將彩色數(shù)字圖像的顏色轉(zhuǎn)換作為例子進行引入。假設(shè)一顏色空間為RGB，則從RGB到RGB彩色數(shù)字圖像的顏色轉(zhuǎn)換實際上就是兩個矩陣相乘獲得。另外向量組的線性相關(guān)性、極大線性無關(guān)組及向量組的秩是這些抽象概念可以連接圖像去噪或圖像分割操作，告訴學生這些概念的用處。

3.2具體教學方法探討

3.2.1 改革教學內(nèi)容，提高教學的實用性

在一般數(shù)學課程內(nèi)容中有大量的定理證明與推演，但對于軟件學院二本學生來說，提高實用性顯得更加重要，因此線性代數(shù)課程內(nèi)容不應(yīng)過分強調(diào)定理的證明與理論的完整性，而應(yīng)將注意力集中于基本概念與基本理論、方法的應(yīng)用?；诖朔N理念，線性代數(shù)課程將重點放在基本概念和計算以及與本專業(yè)其它的應(yīng)用上。

3.2.2 改革教學方法

（1）在教學過程中融入數(shù)學建模的思想和方法，使學生體會到運用線性代數(shù)的知識能夠解決實際問題，學會數(shù)學建模的方法，從而“發(fā)現(xiàn)問題——分析問題——解決問題”。

（2）改革具體講授方法，根據(jù)數(shù)字圖像在智能機上存儲和實現(xiàn)，結(jié)合線性代數(shù)課程中的矩陣、矩陣運算、向量組線性相關(guān)性等知識點，將線性代數(shù)課程與實際應(yīng)用相結(jié)合，降低課程抽象性，提高教學效果。

（3）將數(shù)字圖像存儲和實現(xiàn)的基本原理與課程內(nèi)容相結(jié)合，讓學生體會到線性代數(shù)與實際應(yīng)用的緊密聯(lián)系，提高學生興趣，為后續(xù)專業(yè)課，如語言編程、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等打下基礎(chǔ)。

（4）在一般數(shù)學課程內(nèi)容中有大量的定理證明與推演，但對于軟件學院二本學生來說，提高實用性顯得更加重要，因此線性代數(shù)課程內(nèi)容不應(yīng)過分強調(diào)定理的證明與理論的完整性，而應(yīng)將注意力集中于基本概念與基本理論、方法的應(yīng)用?；诖朔N理念，線性代數(shù)課程將重點放在基本概念和計算以及與本專業(yè)其它的應(yīng)用上。同時將數(shù)學建模的思想和方法融入線性代數(shù)的課堂教學中，將抽象的數(shù)學知識與實際應(yīng)用和日常生活相結(jié)合，用建立的數(shù)學模型描述客觀事物的特征及其內(nèi)在的聯(lián)系，從而為將來進行軟件開發(fā)打下深厚基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

結(jié)合軟件學院教學和辦學特點，通過對數(shù)字圖像原理和應(yīng)用討論，本文對線性代數(shù)課程的教學內(nèi)容和教學方法進行了研究。在近幾年軟件學院大一學生的教學改革試驗中，通過引進數(shù)字圖像知識點了解，線性代數(shù)課程的教學效果有了較大提高，學生反映學習內(nèi)容更容易接受和理解，學習積極性得到了一定提高。

參考文獻：

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