極值點(diǎn)偏移條件試題的命題背景及解題方法

福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000) 福建省泉州第五中學(xué)(362000)

崔紅光● 楊蒼洲●

極值點(diǎn)偏移條件試題的命題背景及解題方法

福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000) 福建省泉州第五中學(xué)(362000)

崔紅光● 楊蒼洲●

近年以極值點(diǎn)偏移圖象特征為背景的題目時(shí)常會(huì)出現(xiàn)在試題的壓軸題位置，筆者歸納總結(jié)了極點(diǎn)偏移條件及處理方法.

一、極值點(diǎn)偏移滿足的條件及相應(yīng)結(jié)論

結(jié)論一 若定義域?yàn)榧螹的函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)x0，當(dāng)x,2x0-x∈M時(shí)，若f′(x)+f′(2x0-x)<0，則極值點(diǎn)左偏(如圖1) .若滿足f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，則有x1+x2>2x0.

證明 令f(x1)=f(x2)，因?yàn)閤1≠x2，所以x1F(x0)=0，

所以f(x1)>f(2x0-x1).又因?yàn)閒(x1)=f(x2)，所以f(x2)>f(2x0-x1).而2x0-x1>x0，x2>x0，f(x)在x0右側(cè)區(qū)間遞增，從而x2>2x0-x1，即x1+x2>2x0.

結(jié)論三 若定義域?yàn)榧螹的函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)x0，當(dāng)x,2x0-x∈M時(shí)，若f′(x)+f′(2x0-x)>0，則極值點(diǎn)左偏(如圖三).若滿足f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，則有x1+x2>2x0.

結(jié)論二、三、四的證明，可以仿照結(jié)論一進(jìn)行證明.限于篇幅此處從略，留給有興趣的讀者進(jìn)行探究.

二、以極值點(diǎn)偏移為背景的試題命制方法

f′(x)的零點(diǎn)左側(cè)的圖象比右側(cè)的圖象變化更快，則極值點(diǎn)左偏；反之f′(x)的零點(diǎn)左側(cè)的圖象比右側(cè)的圖象變化更慢，則極值點(diǎn)右偏.若導(dǎo)數(shù)圖象不易作出，再求二階導(dǎo)，通過(guò)二階導(dǎo)確定一階導(dǎo)的圖象變化情況，這種方法往往更快更實(shí)用.

有了上面這些結(jié)論，我們就可以設(shè)計(jì)題目了.如證明上述結(jié)論(2), 以定義域?yàn)榧螹的函數(shù)f(x)只有一個(gè)左偏的極小值點(diǎn)x0為例，證明：x1+x2>2x0.我們可以這樣分析：要比較的是有關(guān)自變量的不等關(guān)系，我們比較大小的一個(gè)重要方法是利用函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而想到可否將比較自變量大小利用函數(shù)單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化成比較對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大??；要證x1+x2>2x0，只需證x2>2x0-x1，而x2>2x0-x1>x0，f(x)在x0右側(cè)區(qū)間遞增，即證f(x2)>f(2x0-x1)①.至此需證二元不等式，思想方法是二元化一元.因?yàn)閒(x1)=f(x2)，原不等式化成f(x1)>f(2x0-x1)，易想到構(gòu)造F(x)=f(x)-f(2x0-x)，x0由只有一個(gè)左偏的極小值點(diǎn)解析式特征，易證F′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)<0，F(xiàn)(x)遞減，F(xiàn)(x1)>F(x0)=0，所以f(x1)>f(2x0-x1)

①式成立，故結(jié)論成立了.

三、以極值點(diǎn)偏移為背景的試題賞析及解題方法

例1 (2016全國(guó)乙卷21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

分析 本題是極值點(diǎn)右偏類型.

(1)略；(2)f′(x)=(x-1)(ex+2a).由(1)得a>0,易得x=1是f(x)的極小值點(diǎn)，則x1<10，F(xiàn)(x)遞增，F(xiàn)(x1)

根據(jù)每個(gè)命題本身，往往這類題目還有其它方法，這里暫時(shí)不提及.

本題可做拓展，設(shè)置問(wèn)題：若x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x2<1.

綜上所述：x1x2<1，證畢.

分析 本題是極值點(diǎn)右偏類型.(1)略；(2)設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn).

本題可做拓展，證明：x1x2

G632

B

1008-0333(2017)07-0003-02