從知識交匯視角，落實提高學(xué)科能力

[摘 要] 在知識點交匯處命題能有效考查考生對知識的系統(tǒng)梳理能力、綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，故此類試題的命制成為高考的亮點，也是必考點. 因此在平時的教學(xué)中在學(xué)生熟練掌握所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識點之間的關(guān)聯(lián)，尋找交匯的視角，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，進而提高學(xué)科能力.

[關(guān)鍵詞] 交匯；解析幾何；平面幾何；圓；橢圓

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個必考內(nèi)容，由于這類問題涉及知識面廣、交匯性強、思路靈活，能有效地考查學(xué)生的思維能力以及運算能力，常作為高考的壓軸題或把關(guān)題，因此倍受高考命題者的青睞. 此類問題的交匯視角最常見的是與平面幾何的交匯以及與函數(shù)方程的交匯等. 下面以2016年全國卷Ⅰ圓錐曲線解答題為例，就其命題特色、交匯視角、求解方法等進行分析，供讀者參考.

[?] 試題賞析

例1：（2016全國卷Ⅰ理科20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明EA+EB為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（2）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

近年來高考對圓錐曲線問題的?？寄Ｊ剑阂粭l直線與一個圓錐曲線相交，給出直線及圓錐曲線滿足的其他幾何條件，如離心率、弦長、弦中點等有關(guān)條件，求圓錐曲線方程或其他相關(guān)問題.

此類問題的常用解法為：首先聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系整體求解，或用“點差法”求解. 然而本題卻難以直接套用，因為本題是橢圓與圓的交匯問題，需要借助平面幾何中圓的相關(guān)性質(zhì)來求曲線方程，接下來再按常規(guī)思路求解.

本題的一個鮮明的特點不是考查學(xué)生會不會套用常見題型的常規(guī)求解方法，重在考查的是考生會不會思維，有沒有良好的思維習(xí)慣，考查的是學(xué)生那種探索、求真、質(zhì)疑的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，加大思維量.部分學(xué)生在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，眼高手低，遇到運算稍微復(fù)雜的題目，嫌麻煩，而不動筆進行具體計算，認(rèn)為只要知道解題思路即可. 長此以往，運算求解能力就難以提高，一旦遇到計算復(fù)雜的問題，就會出現(xiàn)手忙腳亂的情形，不僅處理速度慢，而且顧此失彼，本來難度不是很大的題，卻解答不出來.

[?] 分析評述

此題第（1）問是兩條線段長度之和的定值問題和動點的軌跡問題，即為定值. A，B為兩個定點，E為動點，從所證的結(jié)論我們已經(jīng)看出了橢圓的身影，到兩個定點的距離之和為定值的點的軌跡. 充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，不難證明|EA|+|EB|等于已知定圓的半徑，當(dāng)然是定值.再結(jié)合橢圓的定義，即可判斷動點E的軌跡是橢圓，進而即可寫出其方程.

以圓為背景對圓錐曲線定義的考查，可將問題追溯到選修2-1中，如下兩例.

例2：已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.

因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)

[x][O][y][N][M][P]

其方程為

-=1（x≥1）

.

在第（1）問得出橢圓方程后，問題就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的類型，即直線與圓錐曲線相交問題，可采用坐標(biāo)法、代入消元法、差別式及根與系數(shù)的關(guān)系求解. 求解第（2）問的前提是求出四邊形MPNQ的面積函數(shù)，然后確定其取值范圍. 注意到這個四邊形的四個頂點是由直線l與第（1）問中求出的橢圓C1的交點，以及過點B且垂直于l的直線與已知圓的交點所確定的，這自然想到應(yīng)考慮直線l斜率的存在與否，所以應(yīng)分“直線l與x軸不垂直”和“直線l與x軸垂直”兩種情況討論. 此外，無論是上述哪一種情況，都可以把四邊形分割成兩個三角形來處理. 為此需要通過弦長公式或通過圓的半徑、弦心距以及半弦所構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理求弦長，然后根據(jù)上述兩種情況再確定四邊形面積的取值范圍.

[?] 試題解析

（1）方法1：因為

=4，所以由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：+=1（y≠0）.

（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線l的方程為

y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1），

=1， 可得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

Δ=4×36k2+4×36>0.

由韋達定理，可得x1+x2=

易求過點B（1，0）且與l垂直的直線m：y=-（x-1），從而點A到直線m的距離為，所以PQ=2=4，

故四邊形MPNQ面積為S=MN·PQ=12=12，

從而當(dāng)直線l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍是（12，8）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時，其方程為x=1，MN=3，PQ=8，四邊形MPNQ的面積為12.

綜上可知，四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8）.

點評：本題第（1）問依據(jù)平面幾何的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，可簡潔證明結(jié)論. 在求出橢圓的方程后注意條件y≠0的限制. 在第（2）問解答中需要注意幾點：（1）對直線l的斜率存在與否要進行分類討論；（2）注意對判別式的討論，以便于縮小參數(shù)的取值范圍；（3）直線m的方程引入時，注意直線m與l的關(guān)系，即m與l垂直，斜率互為負倒數(shù). （4）對于

PQ

的求解，也可聯(lián)立直線m與橢圓方程求解. （5）解析幾何中的最值問題，最終都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理，要熟練掌握配方法、分離常數(shù)法、均值不等式法、導(dǎo)數(shù)法等常用求解最值的方法.

綜上，此題突出了解析幾何與平面幾何的交匯，具有較強的綜合性，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、弦長公式、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識，考查了分類與整合的思想以及運算求解能力和推理論證能力. 無疑，通過這類問題求解，可以有效地檢測和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.