DH[a，b]空間上的連續(xù)線性泛函的刻劃

李 偉

(集美大學理學院，福建廈門361021)

DH[a，b]空間上的連續(xù)線性泛函的刻劃

李 偉

(集美大學理學院，福建廈門361021)

在Henstock積分的基礎(chǔ)上，把在[a，b]上所有Henstock可積函數(shù)組成的空間稱為Denjoy空間(簡記為DH[a，b]空間)，建立Denjoy積分有關(guān)的基本概念，給出DH[a，b]空間上的連續(xù)線性泛函的一種刻劃，并在非絕對型Henstock積分與Riemann－Stieltjes積分之關(guān)系定理的基礎(chǔ)上，對該連續(xù)線性泛函刻劃給出一個簡捷的證明.

Henstock積分；Denjoy積分；DH空間；廣義絕對連續(xù)

1957－1958年，J.kurzweil和R.Henstock分別獨立建立了一種完全Riemann型的積分[1]，稱為kurzweil－Henstock積分[2](簡稱KH－積分，也簡稱H－積分).H－積分的本質(zhì)是“非絕對型”的，因此，有時也稱之為非絕對型積分[3].它既推廣了Lebesgue積分[4－5]，又包括了Newton積分[6]和反常Riemann積分.把在[a，b]上所有Henstock可積函數(shù)組成的空間稱為Denjoy空間[7]，簡記為DH[a，b]空間.本文首先建立Denjoy積分[8]有關(guān)的基本概念，給出DH[a，b]空間上的連續(xù)線性泛函的一種刻劃，并在文獻[1]定理2的基礎(chǔ)上，對該連續(xù)線性泛函刻劃給出一個簡捷的證明.

1 預(yù)備知識

定義1[8]函數(shù)F叫做在集X上嚴格意義下廣義絕對連續(xù)，簡記AC?(X)是指，對任意ε>0，存在η>0，對任何不相重疊區(qū)間列{[ai，bi]}，ai，bi∈X，且<η時有:其中ω是F在[ai，bi]上的震動量，即ω(F；[ai，bi])＝sup{F(v)－F(u)，u，v∈[ai，bi]}.

定義2[8]函數(shù)F叫做在[a，b]上嚴格意義下推廣的廣義絕對連續(xù)，簡記ACG?(X)是指，[a，b]是閉集列Xi的并，使得F在每個Xi上是AC?(Xi).

定義3[8]函數(shù)f(x)叫做Denjoy意義下[a，b]上可積，是指:存在函數(shù)F(x)，它在[a，b]上連續(xù)，且是ACG?(X)，使得它的導數(shù)F′(x)＝f(x)在[a，b]上a.e.成立.

可以證明，若f(x)在[a，b]上是Denjoy可積的，則f(x)在[a，b]上也是Henstock可積的，反之亦真.因此，Denjoy積分與Henstock積分等價[9].

定義4[10]設(shè)DH為在[a，b]上所有Denjoy可積函數(shù)f(x)全體，其范數(shù)規(guī)定如下:

并視幾乎處處相等的函數(shù)f(x)和g(x)為相等的，那么DH是線性賦范空間，可以證明DH空間是不完備的且是第一綱的.DH空間上線性泛函H叫做連續(xù)的是指當n→∞時，若由‖fn－f‖→0時有:H(fn)→H(f).

2 定理及其證明

引理1(Henstock引理)[8]若f(x)在[a，b]上Henstock可積，且有原函數(shù)F(x)，即:

則?ε>0，?δ(x)>0，使得對[a，b]上的任何δ(x)精細子分劃，即:

且ξi∈[ai，bi]?(ξi－δ(ξi)，ξi＋δ(ξi))(注意所謂精細子分劃是不要求[a，b]＝∪[ai，bi]的精細分劃)有:

證明 由于f(x)在[a，b]上H－可積，故?ε>0，在[a，b]上有δ(x)>0，凡δ(x)精細分劃所對應(yīng)的積分和，有:

[ai，bi]與ξi已經(jīng)是δ(x)的精細子分劃.再考慮以外的分劃.

這樣，每個Ji上的δi(x)精細分劃，與ai，bi；ξi(i＝1，2，…，n)構(gòu)成[a，b]上的δ(x)精細分劃.從而:

由此可證明下述定理1(證明見文獻[1]中的定理2).

定理1[11]設(shè)函數(shù)g(x)在[a，b]上為有界變差函數(shù)，即g(x)∈V[a，b](簡記g∈BV)，而F(x)為[a，b]上Henstock可積函數(shù)f(x)的原函數(shù)，

其中右邊指Riemann－Stieltjes積分(簡稱RS－積分).

下面給出本文的主要定理，并給出簡捷證明.

定理2 設(shè)H是空間DH[a，b]上的連續(xù)線性泛函，則存在[a，b]上的有界變差函數(shù)g，對空間DH中的任何函數(shù)f，都有:

證明 令G(x)＝H(fx)，其中:

規(guī)定當x>b時，fx＝fb.這樣G(x)在b的右邊作一定的延拓.

首先證明g∈BV.任給一分割:a＝x0

假設(shè)ξi≠ξi＋1，否則可去掉ξi＋1，F(xiàn)(xi＋1)－F(xi)變?yōu)镕(xi＋2)－F(xi).

[1] 李成章.數(shù)學分析(上冊)[M].2版.北京:科學出版社，2016:196－201.

[2] HENSTOCK R.Lectures on the theory integration[M].Singapore:World Scientific，1988:13－19.

[3] 田菊蓉，李嵐，閆焱.非絕對積分與絕對積分的關(guān)系[J].西安聯(lián)合大學學報，2004，7(2):35－39.

[4] DONALD L COHN.Measure Theory[M].Cleveland:The world book publishing company，2012:75－78.

[5] 王晶昕，王煒，任詠紅.實變函數(shù)論[M].北京:科學出版社，2016:68－86.

[6] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)[M].7版.北京:高等教育出版社，2014:238－243.

[7] 丁傳松，李秉彝.廣義黎曼積分[M].北京:科學出版社，1989:5－8.

[8] LEE PENG YEE.Lanzhou Lectures on Henstock Integration[M].Singapore:World Scientific，1989:15－65.

[9] 趙鴻麗.關(guān)于Henstock積分[J].重慶職業(yè)技術(shù)學院學報，2006，15(6):154－156.

[10] 夏道行，吳卓人.實變函數(shù)論與泛函分析(下冊)[M].2版.北京:高等教育出版社，2010:13－56.

[11] 李偉.非絕對型Henstock積分與Riemann－Stieltjes積分之關(guān)系[J].湖北民族學院學報(自然科學版)，2015，33(2):127－129.

責任編輯:高 山

Continuous Linear Functional Score on the Space of DH[a，b]

LI Wei
(School of Sciences，Jimei University，Xiamen 361021，China)

On the basis of Henstock integration，put all the integrable functions that make up the space on the[a，b]called Denjoy space(abbreviated as DH[a，b]space)，to establish the basic concepts related to Denjoy integration，to give a score of continuous linear functional on the DH[a，b]space.And in the absolute type of Henstock integral and Riemann－Stieltjes integral relationship on the basis of the theorem，to give a simple proof of this continuous linear functional score.

Henstock integral；Denjoy integral；DH space；generalized absolutely continuous

O171

A

1008－8423(2017)01－0053－03

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.012

2016－09－21.

福建省自然科學基金項目(2016J01667).

李偉(1962－)，男，副教授，主要從事函數(shù)論的研究.