一階隱方程轉(zhuǎn)化為顯方程的統(tǒng)一方法

曾菊華

(贛州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系,江西 贛州 341000)

一階隱方程轉(zhuǎn)化為顯方程的統(tǒng)一方法

曾菊華

(贛州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系,江西 贛州 341000)

一階隱方程轉(zhuǎn)化為顯方程的兩種方法本質(zhì)上是相同的,可以概括為:把一階隱方程F(x,y,y′)=0表示成參數(shù)形式x=Φ(s,t),y=φ(s,t),y′=ψ(s,t)(s,t是參數(shù),Φ(s,t),φ(s,t),ψ(s,t)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)),代入恒等式dy=y′dx,即得關(guān)于s,t的一階顯方程.

常微分方程;隱方程;顯方程;微分法;參數(shù)表示

1 一階隱方程轉(zhuǎn)化為顯方程的兩種方法

以文獻(xiàn)[1]為例,其在“一階隱式微分方程與參數(shù)表示”中介紹的方法可簡述如下.

1.1 類型I(解出y或x)y=f(x,y′) 或x=f(y,y′)

(1)

這個(gè)方法被稱為微分法.

1.2 類型Ⅱ(不顯含y或x)F(x,y′)=0或F(y,y′)=0

x=φ(t),p=ψ(t),

(2)

代入恒等式dy=pdx即得

dy=ψ(t)φ′(t)dt.

(3)

這是關(guān)于y,t的一階顯方程.

對(duì)于這樣的解法,學(xué)生理解起來并不容易,他們往往覺得這是兩種完全不同的方法,并且想當(dāng)然地誤以為不屬于以上兩種類型的一階隱方程是不能轉(zhuǎn)化為顯方程的.

2 兩種方法的統(tǒng)一

上述的兩種方法本質(zhì)上是相同的,可以統(tǒng)一概括為下面的通法:

把一階隱方程F(x,y,y′)=0表示成適當(dāng)?shù)膮?shù)形式

x=Φ(s,t),y=φ(s,t),y′=ψ(s,t),

(4)

其中s,t是參數(shù)，Φ(s,t),φ(s,t),ψ(s,t)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),代入恒等式dy=y′dx,即得關(guān)于s,t的一階顯方程(這一點(diǎn)只需作簡單的微分運(yùn)算即可得證,讀者不妨一試).

特別地,方程y=f(x,y′)可表示成以x,p為參數(shù)的參數(shù)形式x=x,y′=p,y=f(x,p)(固定的表示方法),而接下來代入恒等式dy=y′dx,與微分法中的“在y=f(x,p)兩邊對(duì)x求導(dǎo)”實(shí)質(zhì)上是一回事;方程F(x,y′)=0可表示成單參數(shù)的參數(shù)形式x=φ(t),y′=ψ(t)(具體表示形式需要根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選擇),這樣就成了前述兩種類型的隱方程的轉(zhuǎn)化方法了.

這個(gè)統(tǒng)一方法易記易懂,它揭示了教材中介紹的兩種方法的本質(zhì).

例1 求微分方程(2-y′)2+y2y′=y2的通解.

(5)

代入恒等式dy=y′dx，得

(6)

(7)

(8)

所以原方程的通解(參數(shù)形式)是

(9)

注:t2=1時(shí),將得方程的兩個(gè)特解y=±2.

例2 解微分方程(xy′)2+xy′lnx-y=0.

解法1 方程可寫成y=(xy′)2+xy′lnx,屬于解出y的類型,因而可表示成參數(shù)形式

x=x,y′=p,y=(xp)2+xplnx,

(10)

代入恒等式dy=y′dx,并整理,得到關(guān)于x,p的一階顯方程

(11)

解法2 觀察方程的特點(diǎn),可令xy′=s,lnx=t,那么方程可表示成參數(shù)形式

x=et,y′=se-t,y=st+s2.

(12)

代入恒等式dy=y′dx得到關(guān)于s,t的一階顯方程d(st+s2)=sdt,也即

(13)

(14)

這里的解法2是通法,適用于求解任意的一階隱方程,其關(guān)鍵在于采用的方程的參數(shù)形式要適當(dāng),以使后續(xù)計(jì)算簡便.

[1] 王高雄，周之銘，王壽松，等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006:62-69.

[2] 周義倉，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2015:52-60.

[3] 樓衛(wèi)紅，林偉.常微分方程[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2007:43-50.

[4] 化存才，趙奎奇，楊慧，等.常微分方程解法與建模應(yīng)用選講[M].北京:科學(xué)出版社,2009:37-43.

[5] 東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程[M].2版.北京:高等教育出版社,2005:39-46.

A Unified Approach to the Transformation of Implicit Differential Equation into Explicit Differential Equation

ZENG Juhua

(DepartmentofMathematics,GanzhouNormalCollege,Ganzhou341000,China)

Usually, there are two methods of transforming a first order implicit equation into an explicit differential equation. But, they are essentially the same, and can be summarized as: let the first order implicit differential equationF(x,y,y′)=0 expressed as a parametric form，x=Φ(s,t),y=φ(s,t),y′=ψ(s,t)(s,tare parameters, andΦ(s,t),φ(s,t),ψ(s,t) have continuous first order partial derivatives respectively). Then, by the identity dy=y′dx, get a first order implicit differential equation.

ordinary differential equation; implicit differential equation; explicit differential equation; differentiation method; parametric representation

2016-12-12

江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究省級(jí)立項(xiàng)課題 (JXJG-11-93-1)

曾菊華(1972—),男,江西信豐人,贛州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系教授,主要研究方向:數(shù)學(xué)教學(xué)論.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.01.002

O29

A

1007-0834(2017)01-0006-03