導(dǎo)數(shù)常見錯(cuò)誤剖析

劉宇琪

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要的方法，理解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法至關(guān)重要. 在學(xué)習(xí)中，我們利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)常會(huì)犯一些錯(cuò)誤，從根本上認(rèn)識(shí)這些錯(cuò)誤的原因，追根溯源，才能更好地掌握導(dǎo)數(shù).

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的理解問題

例1 已知[y=（1+cos2x）2]，則[y=] .

錯(cuò)解 [y=-2sin2x（1+cos2x）]

分析 對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算不熟練，[2x]與[x]系數(shù)不一樣，也是一個(gè)復(fù)合的過程，有的同學(xué)忽視了它而導(dǎo)致錯(cuò)解.

正解 設(shè)[u=1+cos2x]，[y=u2]，

則[yx=yuux=2u（1+cos2x）=2u?（-sin2x）?（2x）]

[=2u?（-sin2x）?2=-4sin2x（1+cos2x）.]

[∴][y=-4sin2x（1+cos2x）].

導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解問題

例2 已知曲線[S：y=-23x3+x2+4x]及點(diǎn)[P（0，0）]，求過點(diǎn)[P]的曲線[S]的切線方程.

錯(cuò)解 由題意得，[y=-2x2+2x+4].

[∴]過點(diǎn)[P]的切線斜率[k=y|x=0=4].

[∴]過點(diǎn)[P]的曲線[S]的切線方程為[y=4x].

分析 曲線在某點(diǎn)處的切線斜率是該曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 在本題中，點(diǎn)[P]湊巧在曲線[S]上，求過點(diǎn)[P]的切線方程，卻并非說切點(diǎn)就是點(diǎn)[P]，上述解法混淆了求過點(diǎn)[P]的切線方程和求曲線在點(diǎn)[P]處的切線方程，認(rèn)識(shí)不到位.

正解 設(shè)過點(diǎn)[P]的切線與曲線[S]切于點(diǎn)[Q（x0，y0）]，則過點(diǎn)[P]的曲線[S]的切線斜率為

[k=y|x=0=-2x20+2x0+4].

又[kPQ=y0x0]，

[∴-2x20+2x0+4=y0x0].①

[∵]點(diǎn)[Q]在曲線[S]上，

[∴y0=-23x30+x20+4x0]. ②

將②代入①得，[-2x20+2x0+4=-23x30+x20+4x0x0.]

化簡(jiǎn)得，[43x30-x20=0].

[∴x0=0]，或[x0=34].

若[x0=0]，則[k=4]，

過點(diǎn)[P]的切線方程為[y=4x].

若[x0=34]，則[k=358]，

過點(diǎn)[P]的切線方程為[y=358x].

[∴]過點(diǎn)[P]的曲線[S]的切線方程為[y=4x]，或[y=358x.]

導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的理解問題

例3 已知函數(shù)[f（x）=mx2+lnx-2x]在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍.

錯(cuò)解 由題意得，[f（x）>0]，即[2mx+1x-2>0]恒成立，解之得，[m>12].

分析 “函數(shù)[y=f（x）]為增函數(shù)”與“[f（x）>0]”并不是互為充要條件的.

（1）[f（x）>0?][y=f（x）]為增函數(shù)；

（2）[f（x）<0?][y=f（x）]為減函數(shù)；

（3）[y=f（x）]為增函數(shù)[?f（x）≥0]；

（4）[y=f（x）]為減函數(shù)[?f（x）≤0].

正解 由題意得，[f（x）≥0]，即[2mx+1x-2≥0]恒成立，解得，[m≥12-12（1x-1）2≥12].

極值點(diǎn)和變量的理解問題

例4 已知函數(shù)[fx=4x3-3x2cosθ+316cosθ]，其中[x∈R，θ]為參數(shù)，且[0≤θ≤2π].

（1）當(dāng)[cosθ=0]時(shí)，判斷函數(shù)[fx]是否有極值；

（2）要使函數(shù)[f（x）]的極小值大于零，求參數(shù)[θ]的取值范圍.

錯(cuò)解 （1）當(dāng)[cosθ=0]時(shí)，[f（x）=12x2].

令[f（x）=0]，則[x=0].

（2）隨[x]的變化，[f（x）]的符號(hào)及[f（x）]的變化情況如下表.

因此，函數(shù)[f（x）]在[x=cosθ2]處取得極小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].

要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0

由于[0≤θ≤2π]，故[π6<θ<π2，或3π2<θ<11π6].

分析 （1）對(duì)極值點(diǎn)定義理解不清. ①不可導(dǎo)函數(shù)，在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但可以是極值點(diǎn). 如函數(shù)[y=|x|]在點(diǎn)[x=0]處有極小值[f（0）=0]，可是這里的[f（0）]根本不存在. ②可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的求法分為兩步：第一步求[f（x）=0]的[x]值，第二步必須判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不同. 如函數(shù)[f（x）=x3]的導(dǎo)數(shù)[f（x）=3x2]，在點(diǎn)[x=0]處有[f（0）=]0，而[f（x）]在[（-∞，+∞）]上為增函數(shù)可知，點(diǎn)[x=0]不是[f（x）]的極值點(diǎn).

（2）沒有考慮到[cosθ]的符號(hào)，直接作答. 對(duì)于參數(shù)問題一定要考慮到范圍問題.

正解 （1）當(dāng)[cosθ=0]時(shí)，[f（x）=4x3]，則[f（x）]在[（-∞，+∞）]上是增函數(shù)，故無極值.

（2）[f（x）=12x2-6xcosθ]，

令[f（x）=0]得，[x1=0，x2=cosθ2].

下面分兩種情況討論.

①當(dāng)[cosθ>0]時(shí)，隨[x]的變化，[f（x）]的符號(hào)及[f（x）]的變化情況如下表.

因此，函數(shù)[f（x）]在[x=cosθ2]處取得極小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].

要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0

又[0≤θ≤2π]，故[π6<θ<π2，或3π2<θ<11π6].

②當(dāng)[cosθ<0]時(shí)，隨[x]的變化，[f（x）]的符號(hào)及[f（x）]的變化情況如下表.

若[f（0）>0]，則[cosθ>0]. 與[cosθ<0]矛盾.

所以當(dāng)[cosθ<0]時(shí)，[f（x）]的極小值不會(huì)大于零.

綜合①②知，要使函數(shù)[f（x）]在[（-∞，+∞）]上的極小值大于零，參數(shù)[θ]的取值范圍為[（π6，π2）?（3π2，11π6）].