淺談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

彭兆香

摘要：初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再局限于簡單的運算和數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，開始接觸邏輯性和抽象性較強的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向新的高度。因此，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想。而數(shù)形結(jié)合解題思想是初中數(shù)學(xué)解題中最常見、最有效的解題方法之一，它貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，既符合新課程標(biāo)準(zhǔn)，又是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。本文通過對教學(xué)實例的簡要敘述，分析了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)教學(xué)；以形助教；應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。數(shù)形結(jié)合是在一定的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上形成的，它對理解、掌握、運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，解決數(shù)學(xué)問題能起到促進和深化的作用。

一、數(shù)形結(jié)合思想的意義及重要性

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚對“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系有過一段精彩的描述：“數(shù)與形本是相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形少直覺，形少數(shù)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫分離?！绷攘葦?shù)語，把“數(shù)形結(jié)合”之妙說得淋漓盡致?！皵?shù)形結(jié)合”是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂中數(shù)形結(jié)合思想的運用，有利于突破教學(xué)難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛學(xué)數(shù)學(xué)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的原則

1.等價性原則

等價性原則是指代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價的，否則解題會出現(xiàn)漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時的圖形性質(zhì)只是一種直觀而顯淺的說明，但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。

2.雙向性原則

雙向性原則就是既進行幾何直觀的分析，又進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，遇到問題進行幾何分析或者僅對幾何問題進行代數(shù)分析都是一種天真的誤解。

3.簡單性原則

簡單性原則是讓復(fù)雜問題簡單化。找到解題思路后，至于用幾何方法還是代數(shù)方法，后者兼用兩種方法來敘述，取決于哪種方法更加優(yōu)美，更加簡單，或者便于達到教學(xué)目的，而不是一種理性的模式那樣，代數(shù)問題用幾何方法，幾何問題用代數(shù)方法。

4.直觀性原則

以形助數(shù)時，能夠通過直觀分析，將抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化、具體化、直觀化，問題理解起來更加明了、深刻。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式

不等式問題的求解方法靈活多樣，除了應(yīng)用不等式本身的性質(zhì)進行等價轉(zhuǎn)化、分類討論以外，還可以運用數(shù)形結(jié)合的思想賦予不等式相應(yīng)的幾何特征，借助于圖形的性質(zhì)，可以使抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀而形象。例如，解關(guān)于x的不等式-b< 0，b>0。

解：畫出函數(shù) 的圖像，容易知道 ，即得不等式的解集為 > ，或x<-

圖1

2.利用數(shù)形結(jié)合思想求最值

最值問題涉及的知識面廣、綜合性大、應(yīng)用性強，能很好地考察學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決最值問題，能使數(shù)與形有機地結(jié)合在一起，使問題迎刃而解。例如，求代數(shù)式|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析：|x+1|表示點x和點-1之間的距離，|x-2|表示點x和點2之間的距離，|x-3|表示點x和點3之間的距離，如圖2。

圖2

顯然，當(dāng)三條線段沒有重合部分，其距離之和最小，此時x=2，即原式的最小值為點-1和3之間的距離，所以|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值=4。

3.利用數(shù)形結(jié)合思想求值域

函數(shù)值域問題是函數(shù)問題中的一大重、難點，然而若注重函數(shù)問題的幾何特征，把函數(shù)求值的代數(shù)問題通過數(shù)形結(jié)合思想的運用轉(zhuǎn)化為兩點距離問題、斜率問題等，則可使問題迎刃而解。例如，已知（x-2）2+（y-2）2=1，求z=2x+y的最值。

圖3

分析：（x，y）在定圓上，求z=2x+y的最值可轉(zhuǎn)化為：求直線y=-2x+z的縱截距最值問題.如圖3，平移直線y=-2x，利用解析方法便可得到解決。

歸納：已知（x，y）滿足的平面區(qū)域，求z=ax+by的最值問題，均可用類似轉(zhuǎn)化方法。其實，這就是線性規(guī)劃最優(yōu)解問題的解決方法之一。

五、結(jié)束語

作為初中數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法之一，數(shù)形結(jié)合思想對于溝通知識之間的聯(lián)系、激活學(xué)生的思維、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、調(diào)動學(xué)生的積極性和主觀能動性將起到重要作用。在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要有意識地去培養(yǎng)和提高學(xué)生這方面的能力，使學(xué)生掌握統(tǒng)一數(shù)與形的方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻

1.方偉.淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版下旬），2014（04）48-49.