探究利用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題的解題視角

江蘇省南京市金陵中學(xué)高三（6）班 顧宇婧

探究利用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題的解題視角

江蘇省南京市金陵中學(xué)高三（6）班 顧宇婧

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)限定選修課中的重要內(nèi)容，是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分奠定基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)解題工具，為研究高中函數(shù)問(wèn)題提供了廣闊的思維空間，經(jīng)過(guò)高考復(fù)習(xí)一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，深感到導(dǎo)數(shù)在高考中的地位，尤其是解決與切線有關(guān)的問(wèn)題成為歷年高考的熱點(diǎn)之一。為此，本文探究利用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題的幾個(gè)解題視角，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。

一、研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線的斜率問(wèn)題

解題視角：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)) 處切線的斜率，從而結(jié)合斜率與傾斜角正切函數(shù)的關(guān)系以及斜率與兩條直線位置的關(guān)系等知識(shí)解決問(wèn)題。

二、研究切線的方程問(wèn)題

解題視角：（1）求曲線切線方程的步驟：①求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率；②由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為y-y0＝f(x0)·(x-x0)。（2）研究曲線的切線方程時(shí)需注意兩點(diǎn)：①要分清題設(shè)中是“在某點(diǎn)”還是“過(guò)某點(diǎn)”，當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解；②恰當(dāng)利用隱含條件：切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)也在曲線上以及導(dǎo)數(shù)與斜率公式結(jié)合使用。

三、研究公切線問(wèn)題

例5 （2013高考新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）略。

分析：由已知得：

解題視角：本題中兩個(gè)函數(shù)“在”同一點(diǎn)，說(shuō)明切點(diǎn)就是該點(diǎn)且該點(diǎn)也是兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)。兩個(gè)函數(shù)在同一點(diǎn)的公切線方程的求解，可轉(zhuǎn)化為解方程組但要注意如果切點(diǎn)不在同一點(diǎn)時(shí)，不可以用該方程組，而是需要求兩次切線方程，并證明切線方程重合。

四、研究切線的條數(shù)問(wèn)題

在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”，g(x)=12x2-12x=12(x-1)，列表可以求得：g(0)=t+3是g(x)的極大值，g(1)=t+1是g(x)的極小值，借助于圖形討論綜合可知：當(dāng)過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，t的取值范圍是(-3,-1)。

五、研究與切線有關(guān)的綜合問(wèn)題

例9 （2015江蘇高考） 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線形公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線形公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型。

（1）求a，b的值；

（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t。

①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(x)，并寫出其定義域；

②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度。

解題視角：有關(guān)切線的綜合問(wèn)題，首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)) 處切線的斜率，或利用點(diǎn)斜式求出切線的方程，然后結(jié)合其他章節(jié)知識(shí)綜合求解問(wèn)題。

總之，由于高考對(duì)導(dǎo)數(shù)考查的深度與廣度在不斷增加，所以要深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及有關(guān)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)作為一種解題工具，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,尤其對(duì)函數(shù)圖象的切線的研究更是彰顯了其獨(dú)特魅力。