解析幾何二輪復(fù)習(xí)的一些建議

江蘇南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 戴培紅

解析幾何二輪復(fù)習(xí)的一些建議

江蘇南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 戴培紅

解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，對于高考應(yīng)試要求來說，解析幾何的難度穩(wěn)中有升，考查學(xué)生轉(zhuǎn)換問題的能力和運(yùn)算能力，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

解析幾何；二輪；高考；復(fù)習(xí)；建議

眾所周知，二輪復(fù)習(xí)是提高學(xué)生核心復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，在二輪復(fù)習(xí)中，很多知識以專題、整合、綜合的形式出現(xiàn)，并注重了核心考點(diǎn)的梳理，從而成為復(fù)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵。近年來，解析幾何板塊在高考應(yīng)試中的地位呈現(xiàn)穩(wěn)定趨勢，一般而言以三小題一大題的模式出現(xiàn)，分值基本穩(wěn)定在30分左右。二輪復(fù)習(xí)中解析幾何應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注什么呢？如何復(fù)習(xí)才是高效的呢？筆者就多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合近年熱點(diǎn)給出一些自己的想法和建議，旨在拋磚引玉。

一、重視定義，關(guān)注本質(zhì)

為什么稱之為解析幾何？為什么稱之為圓錐曲線？筆者認(rèn)為僅僅就這兩個名稱，還有很多學(xué)生并不了解。之所以稱之為解析幾何，是因?yàn)閺臋E圓、雙曲線、拋物線問題的解決角度入手，用坐標(biāo)化的方式解決了幾何圖形的問題，將幾何問題用代數(shù)方式進(jìn)行了解析，所以叫解析幾何。圓錐曲線就更有意思了，古希臘數(shù)學(xué)家在沙灘上用平面截圓錐，得到了各種截口曲線，恰為圓、橢圓、雙曲線、拋物線，因此截口圓錐曲線就此得名（如下圖）。復(fù)習(xí)解析幾何對于學(xué)生而言，要進(jìn)行定義的理解和解析化思想滲透，因此二輪復(fù)習(xí)首要的關(guān)注點(diǎn)即在此。

（截口橢圓）

（截口拋物線）

（截口雙曲線）

問題1：如右圖，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足。若點(diǎn)C在平面α內(nèi)運(yùn)動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點(diǎn)C的軌跡為_______________。

分析：對于圓錐曲線本質(zhì)不理解的學(xué)生，初識本題學(xué)生往往是一片茫然，這樣的試題往往是考查學(xué)生對于圓錐曲線概念的理解程度，有深刻的理解才有清晰的思路。思考本題，不妨首先抽去平面α，AB作為定直線可以看成軸，空間直線AC與軸AB成固定角度，因此動點(diǎn)C在空間的軌跡是以AB為軸的圓錐母線上的點(diǎn)，此時圓錐已經(jīng)形成，將平面如上圖插入，考慮到題意中“∠CAB等于直線AB與平面α所成的角”，顯然平面α與圓錐的某一母線是平行的，故截口曲線是拋物線。

說明：關(guān)注概念是二輪復(fù)習(xí)的重中之重，圓錐曲線怎么考？萬變不離其宗——概念！是考查感官定義，還是更為深刻的本質(zhì)理解？筆者認(rèn)為二輪復(fù)習(xí)要在數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度多加思考，因?yàn)楦泄俣x學(xué)生掌握程度是比較熟練的，因此關(guān)注本質(zhì)是二輪復(fù)習(xí)的重要方向。

二、積累性質(zhì)，化繁為簡

解析幾何中有很多值得積累的性質(zhì)，這些性質(zhì)往往存在于很多動態(tài)性的問題之中，其研究問題的方式也是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。比如最簡單的性質(zhì)研究∶橢圓上動點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形周長為定值，這是借助橢圓定義得到的；雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)心橫坐標(biāo)為定值，也可以利用雙曲線定義證明；拋物線過焦點(diǎn)的直線存在很多相關(guān)重要性質(zhì)等等。對于學(xué)生而言，積累一定的解析幾何性質(zhì)是學(xué)習(xí)的必備途徑，它可以讓解決解析幾何問題來得更為高效一些。

分析：初識本題，定然覺得本題是非常難的運(yùn)算問題。但是有性質(zhì)依托下的思考，是解決本題煩瑣運(yùn)算的關(guān)鍵。我們知道，對于橢圓和雙曲線的頂點(diǎn)存在重要的幾何性質(zhì)，以雙曲線為例：A1、A2為實(shí)軸端點(diǎn)，P點(diǎn)為雙曲線上的動點(diǎn)，則不難證明直線PA1、PA2的斜率之積為定值。如果掌握類似的性質(zhì)，本題可以說幾乎是秒殺問題，由上可知，又點(diǎn)P為雙曲線第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，則，又因?yàn)榭梢匀”椋虼?，離心率可得。

說明：本題是筆者原創(chuàng)問題，在測試中，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對于平時所學(xué)的幾何性質(zhì)并不重視積累，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)無法去繁從簡，從而復(fù)習(xí)并不高效。二輪復(fù)習(xí)中加強(qiáng)性質(zhì)的積累是重中之重。

三、轉(zhuǎn)換方式，綜合知識

解析幾何的很多問題是轉(zhuǎn)化，是幾何問題的代數(shù)轉(zhuǎn)化。二輪復(fù)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)轉(zhuǎn)化方式的訓(xùn)練，這是體現(xiàn)綜合知識的一種能力。比如傾斜角之和互補(bǔ)為本的幾何問題，是典型的斜率代數(shù)運(yùn)算；在問題中直角的幾何考慮，可以使用向量數(shù)量積代數(shù)運(yùn)算求解等等。舉一個案例：

總之，二輪復(fù)習(xí)解析幾何中主要圍繞上述三方面展開，從基本概念的深化到性質(zhì)的積累，再到綜合轉(zhuǎn)化方式的鞏固是二輪復(fù)習(xí)解析幾何中的重要部分，可以通過三方面專題方式的回顧加強(qiáng)學(xué)生二輪復(fù)習(xí)的有效性。

[1]劉見樂.解析幾何教學(xué)中的幾個關(guān)注點(diǎn)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（5）.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].陜西師范大學(xué)出版社，2002.