基于數(shù)學(xué)本質(zhì)處理教學(xué)細(xì)節(jié)
——以《圓的認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例

程　思

人們對(duì)于“圓”很熟悉，它是平面幾何圖形。而日常生活中，籃球常常也被人們描述為“圓圓的”。在這兩種表述中，“圓”的內(nèi)涵是不相同的。但在課堂上，學(xué)生容易將之混為一談。在教學(xué)中，像這樣數(shù)學(xué)語言與日常生活用語相沖突的情況時(shí)有發(fā)生，教師該如何處理呢？作為一線教師，我認(rèn)為應(yīng)基于數(shù)學(xué)本質(zhì)來處理教學(xué)細(xì)節(jié)。

張奠宙教授在《更多地關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)與細(xì)節(jié)處理——以圓的定義為例》一文中，發(fā)表了三個(gè)觀點(diǎn)：生活中表述的圓，不是圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)；改進(jìn)課本對(duì)圓的定義；關(guān)注圓與圓形之細(xì)節(jié)處理。文中也提到一個(gè)不成文的規(guī)定：“小學(xué)階段只涉及圓的直觀表象，不出現(xiàn)圓的定義?！钡珡埥淌诮ㄗh教學(xué)時(shí)，在畫圓的活動(dòng)后順勢(shì)提出一個(gè)圓的定義。這個(gè)改進(jìn)建議是否可行呢？效果又如何呢？

根據(jù)張教授的設(shè)想，我從定義、教材、教學(xué)活動(dòng)這三個(gè)方面對(duì)圓的定義的教學(xué)進(jìn)行了如下分析。

一、辨析定義，明確圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)

圓的定義是什么呢？通過查閱現(xiàn)行的小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)教材，查閱《解析幾何》《幾何原本》等著作，發(fā)現(xiàn)有關(guān)“圓的定義”有多種不同的表述方式，在教材中通常引用以下三種：

集合論（定義1）：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫作圓。

軌跡論（定義2）：在平面內(nèi)，線段OA繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端點(diǎn)A所經(jīng)過的封閉曲線叫作圓。

極限演變論（定義3）：圓可以看作是正n邊形，是無窮正多邊形。（你想畫多圓，就可以用多少邊的正n邊形來代替）

在解析幾何的平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)圓的定義，設(shè)定點(diǎn)C（a，b）表示圓心；定長 r表示半徑；那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（xa）2+（y-b）2=r2。

假設(shè)M為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，d為M到圓心的距離。點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：當(dāng)d=r，M在圓上；當(dāng) d＞r，M在圓外；當(dāng)d＜r，M 在圓內(nèi)。

由此可見，圓是d=r的點(diǎn)的集合，是一條封閉曲線，即是一維的幾何圖形。

圓盤是包括了d=r及d＜r的點(diǎn)的集合，是由這條封閉曲線所圍成的平面區(qū)域，可以看作是二維圖形。圓盤與圓具有不一樣的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

而球體一般方程為（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2，可見球體是三維立體圖形。

在生活中人們把具有光滑、飽滿、勻稱性質(zhì)的形狀統(tǒng)稱為：圓的。但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他們切不可混為一談。

二、對(duì)比教材，理解圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)

由圓的定義可知圓與圓盤是有本質(zhì)區(qū)別的，那么在選擇教學(xué)素材時(shí)應(yīng)考慮到圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。什么素材有利于區(qū)分圓與圓盤？為此我對(duì)比了人教版1990年、2006年、2014年不同時(shí)期的教材：

年份　引入方式　素材1990先復(fù)習(xí)平面上的直線圖形，再引出平面上的曲線圖形——圓硬幣、鐘面、圓桌面的實(shí)物圖2006　單元主題圖　公園情境，學(xué)生找圓形物體2014　從自然景象到建筑物　水滴形成的水紋，天壇、摩天輪等

三種不同時(shí)期的教材都注重與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系。與1990 年教材相比較，2006、2014版教材更注重讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)圓。在2014新版教材中先直接指出生活中到處可以看到大大小小的圓，再以水紋、摩天輪等引入，素材更加豐富。新教材雖沒有將圓的定義形成文字，但在素材處理上更注重圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，事實(shí)上呼應(yīng)了張奠宙教授的觀點(diǎn)。

通過查閱大量教學(xué)案例，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)中仍然常見以硬幣、鐘面等實(shí)物引入。在探究“圓的特征”活動(dòng)環(huán)節(jié)，會(huì)讓學(xué)生以圓紙片為學(xué)具。這樣與剛剛談?wù)摰摹皥A的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一維曲線”相違背。

為使學(xué)生對(duì)圓形成清晰的表象，筆者建議：1.先出示如自行車輪、手鐲等更接近圓的本質(zhì)屬性的實(shí)物。2.再出示硬幣、光盤等實(shí)物圖讓學(xué)生找一找圓。3.最后再以圓紙片為學(xué)具探究圓的特征。這樣更有利于學(xué)生形成概念。

三、參與活動(dòng)，接受圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)

張教授文章中提出“六年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)接近少年時(shí)期，完全有能力弄清圓的幾何學(xué)定義”，學(xué)生是否可以接受呢？效果如何？

通過整理相關(guān)教學(xué)案例，發(fā)現(xiàn)許多小學(xué)數(shù)學(xué)名師都上過這節(jié)課，后起新秀們也頻頻用這節(jié)課來“小試牛刀”。在此從中選擇三節(jié)具有代表性的課進(jìn)行觀察分析。

1.【集合論】公平的游戲。

教師出示三個(gè)套紅旗游戲的實(shí)景圖，學(xué)生思考游戲的公平性。

接著，進(jìn)一步將實(shí)景圖抽象出三個(gè)相應(yīng)的教學(xué)示意圖：

得到結(jié)論：直線和正方形上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離并不是都相等；圓上的所有點(diǎn)，到一個(gè)定點(diǎn)（圓心）的距離都相等，得出圖3最公平。

此案例中，學(xué)生通過游戲找出了“圓”。教師自然、形象地引出“圓”，同時(shí)也讓學(xué)生初步感知“圓”的陳述性定義：圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都相等。

2.【軌跡論】美妙的圖案。

在平面圖形的世界里圓與其他圖形有著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系。正三角形，以中心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后成了一個(gè)近似圓的圖形。

正方形，繞著它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，還是近似一個(gè)圓。

不僅是直線圖形旋轉(zhuǎn)后能找到圓，曲線圖形甚至是線段通過旋轉(zhuǎn)也能找到近似的圓。

通過拓展，學(xué)生更深刻地理解了圓的本質(zhì)，也了解了圓的另一個(gè)定義：當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。使掌握知識(shí)與發(fā)展數(shù)學(xué)思維自然地融合在一起。

3.【極限演變論】。

《周髀算經(jīng)》中有記載：圓出于方，方出于矩。

在同一個(gè)圓里，半徑處處相等，具有這樣等長線段的卻不只是圓。正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形從中心出發(fā)，連接頂點(diǎn)，這些線段的長度也一樣。

想象一下，正一千邊形、正一萬邊形，直到無窮無盡，這時(shí)就越來越接近一個(gè)圓。在欣賞直線逐漸逼近曲線的過程中，學(xué)生感受到正多邊形無限逼近于圓，“圓”可以看作是無窮正多邊形。

以上三位教師圍繞著圓的本質(zhì)，來處理教學(xué)細(xì)節(jié)，以貼近生活的游戲或者活動(dòng)，將圓的動(dòng)態(tài)形成過程展示出來，讓學(xué)生在充分參與、充分體驗(yàn)中理解并接受了圓的定義。由此可見，張奠宙教授提出的“在《圓的認(rèn)識(shí)》教學(xué)中出示簡單的‘圓的定義’”，這個(gè)設(shè)想是能被學(xué)生所接納的。

在張教授這篇文章的引領(lǐng)下，我查閱了相關(guān)資料，分析了不同版本的教材，研究了從不同角度來設(shè)計(jì)的教學(xué)案例。在研究過程中無時(shí)無刻不感受到數(shù)學(xué)思辨的魅力。我想，作為一名數(shù)學(xué)教師，我們不能簡單地局限于教材，更應(yīng)該敢于質(zhì)疑，通過不斷的探究，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成自己的見解，并有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、探究、論證的精神與能力。

作為一線教師，只有從教學(xué)細(xì)節(jié)入手，在閱讀中反思，在思考中思辨，在實(shí)踐中驗(yàn)證，在歷練中提高，才能帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。