數(shù)形結(jié)合助推數(shù)學(xué)問題“五化”

陳湘芬

數(shù)形結(jié)合不僅是一種教學(xué)方法，還是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)教學(xué)中巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想，可以使抽象的數(shù)學(xué)概念形象化、計算算理直觀化、模糊情境具象化、復(fù)雜問題表象化、幾何圖形簡約化，從而激活學(xué)生思維，拓寬學(xué)習(xí)思路，提高解題能力，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅的無窮魅力。

一、用形表數(shù)，數(shù)學(xué)概念形象化

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，因為小學(xué)生以形象思維為主，理解抽象的概念知識有一定難度。借助直觀模型，用形表數(shù)，可以把抽象的概念形象化，從而幫助學(xué)生在直觀中理解抽象的數(shù)學(xué)知識。

在公開教學(xué)《3的倍數(shù)的特征》時，用百數(shù)表學(xué)生找到了3的倍數(shù)的特征，我趁機追問：“為什么2、5的倍數(shù)的特征只要看個位上的數(shù)就可以了，而3的倍數(shù)的特征要看各個數(shù)位上的數(shù)字和呢？”學(xué)生一下子就蒙了，探究中我借助信息技術(shù)數(shù)形結(jié)合一步步演示分小棒過程，如24根小棒先拿出20根，3根3根分余2根，余下的2根與4根合起來剛好6根，6是3的倍數(shù)，所以24是3的倍數(shù)。而且24中個位與十位相加2+4=6，因此得出，一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。學(xué)生、聽課教師頓時豁然開朗。巧用數(shù)形抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生不僅知其然，更知其所以然。

如《積的變化規(guī)律》一課，在學(xué)生初步感知積的變化規(guī)律后，我讓學(xué)生將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用于解決實際問題，感受由數(shù)的變化引起面積的變化。

計算長方形的面積：（單位cm）（見下左圖）

借助形的支撐，多數(shù)學(xué)生很自然地把左圖變成了右圖，通過對比，都能具體描述積的變化規(guī)律。

用形解數(shù)，最大程度地考量了小學(xué)生形象思維為主的現(xiàn)實，既可以由數(shù)解釋形，也可以由形概括數(shù)，自然落實數(shù)形結(jié)合的思想。這樣，學(xué)生不僅掌握了概念的特征，還深刻理解了概念的本質(zhì)特征，有效地促使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了遷移。

二、化數(shù)為形，計算算理直觀化

利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實，讓人一目了然。尤其是對于小學(xué)生，其思維的抽象程度還不夠高，可以借助直觀模型來幫助理解。例如，利用面積模型來解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，長方形模型來理解分數(shù)乘法的算理。

上面只展示兩種折法(先橫后豎）與（先豎后橫）。學(xué)生通過動手折一折、涂一涂很快發(fā)現(xiàn)：在分數(shù)乘法中，遇到分數(shù)乘分數(shù)的問題，只要分子乘分子、分母乘分母就可以了（能約分的先約分再計算比較簡便）。

一個簡單的圖形清楚地詮釋了計算的道理，直觀地演繹了數(shù)學(xué)計算過程，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)計算有更深入的認識和理解，原本抽象難懂的計算過程頓時生動形象起來，進而更好地提高學(xué)生對數(shù)學(xué)運算的應(yīng)用意識。

三、借形想數(shù)，模糊情境具象化

數(shù)形結(jié)合思想，簡單地說就是將數(shù)學(xué)中的語言及數(shù)量關(guān)系和直觀幾何圖形相聯(lián)系，進而達到舉重若輕、輕松解題的目的。在許多數(shù)學(xué)問題中，已知條件看似容易，但學(xué)生要將問題的情境對應(yīng)為數(shù)量關(guān)系有一定難度。這時，教師就可以運用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生借助圖形更好地理清對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而使模糊情境具象化，提高解題的正確率。

如用長13分米，寬5分米的長方形鐵皮剪成幾個半徑為10厘米的圓做桶底，可以剪多少個圓？

學(xué)生一看到這題馬上會想到用“大面積÷小面積”的方法，實際上這種解題方法是不適合的。因為實際生活中完整的圓剪下后余料是不可能再利用的。可以引導(dǎo)學(xué)生借助草圖幫助理解。

如A、B、C、D、E五人進行乒乓球單循環(huán)賽，比賽進行一段時間統(tǒng)計如下：A已賽了4場，B已賽了3場，C已賽了2場，D已賽了1場，這時E已賽了幾場？到比賽結(jié)束還需要進行幾場比賽？

通過畫圖，結(jié)果一目了然：E已賽了2場。到比賽結(jié)束還需要進行4場比賽。就這樣，巧用數(shù)形結(jié)合，讓模糊數(shù)學(xué)問題清晰化，使學(xué)生在看得見、摸得著的情況下正確分析數(shù)量關(guān)系，尋找解決問題的策略，把學(xué)生的思維引向更深處。

四、以形解數(shù)，復(fù)雜問題表象化

利用數(shù)形結(jié)合平臺，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成為便于學(xué)生理解的表象，降低學(xué)生的解題難度，同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、推理能力、發(fā)散思維能力。

通過觀察題目，大家都知道此題從簡單開始一步步算。其實像算式可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖理解（如下圖）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要用大正方形面積減去剩余面積即可，而剩余部分面積剛好是整個正方形的。即

學(xué)生在計算過程中還發(fā)現(xiàn)加數(shù)有規(guī)律，后一個加數(shù)是前一個加數(shù)的。這些加數(shù)無限加下去，最后所得的和都等于1減去最后一個加數(shù)；加數(shù)的項數(shù)越多，和越接近1。但是這個無限接近于1的數(shù)到底是多少呢？利用面積模型，在模型上表示出這些加數(shù)，學(xué)生借助圖形理解：無限加下去，最終的得數(shù)是1，感受極限思想。

又如，牧場上長滿了牧草，而且每天都在勻速生長。這片牧場的草可供24頭牛吃6天，或者供21頭牛吃8天。那么，這片牧場上的草可供16頭牛吃多少天？（假設(shè)每頭牛每天吃草量相同）

這種題目可以先畫圖，再利用數(shù)形之間的關(guān)系來解答，降低解答難度。

1.先求每天長草量。

先把每頭牛每天吃草量具體化，設(shè)1頭牛1天吃1份草，那么24頭牛6天吃草量24×6=144（份），21頭牛8天吃草量21×8=168（份）。（見下圖）

（168-144）÷（8-6）=12(份）。

2.再求原有草量。

144-12×6=72（份）。

3.最后求吃的天數(shù)。

72÷（16-12）=18（天）。

引導(dǎo)學(xué)生：每天新長草量12份，不夠16頭牛吃，只能派4頭牛去吃原有的草量，所以原有草量每天減少4份。

數(shù)形結(jié)合，可以讓抽象的復(fù)雜的“牛吃草”問題迎刃而解。學(xué)生在解疑的過程中，知識建構(gòu)得既生動又深刻，同時還在解題中體會到了數(shù)學(xué)之美，感受到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獨特魅力。

五、用數(shù)示形，幾何圖形簡約化

《九章算術(shù)》指出：析理以辭，解體用圖。運用數(shù)形結(jié)合思想，將三視圖與數(shù)字巧妙結(jié)合，使學(xué)生解決問題的方法更具有簡約化與創(chuàng)造性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

如求出下圖的體積。（小正方體棱長為1cm）

從平時的練習(xí)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用數(shù)數(shù)的方法數(shù)錯的也不少。但是利用俯視圖（右上圖），并在相應(yīng)的位置注上數(shù)字，結(jié)果顯而易見3×3+2×3+1×3=18（cm3），簡單又正確。

這類還原立體圖形題，可以數(shù)形巧結(jié)合，根據(jù)左視圖和主視圖推斷出主視圖相應(yīng)格子中小正方體的個數(shù)，不用擺小正方體也能正確快速解答。

最少:3+2+1=6（個）最多:3+6+5=14（個）

實物圖驗證（見上圖）。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合萬般好，隔離分家萬事非?！逼诖龜?shù)學(xué)教壇同仁多多用心于數(shù)形結(jié)合，在實際教學(xué)中努力鉆研教材，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，讓數(shù)形結(jié)合思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每個領(lǐng)域，真正走進學(xué)生的心靈，幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，體會數(shù)學(xué)之美，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為怦然心動的魅力之旅。