優(yōu)化建模過程培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

黃蓮花

建立模型并運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的過程就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的過程，就是學(xué)生不斷思考、不斷對各種信息進(jìn)行加工轉(zhuǎn)換的過程，就是不斷激活原有的知識經(jīng)驗(yàn)，對當(dāng)前問題做出分析、推論、綜合、概括，形成假設(shè)，并對假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證的過程，這一過程為數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練提供了理想的途徑。

一、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)“翻譯——轉(zhuǎn)換”能力

學(xué)生學(xué)習(xí)中感到最難的是對題意的理解。學(xué)生理解了題意，學(xué)習(xí)就成功了一半。如何正確理解題意，“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用是有效策略之一。

如，教學(xué)《乘法分配律》時，教師創(chuàng)設(shè)了如下解決問題的情境：

希望小學(xué)的操場是一個長方形，原來長60米，寬30米，擴(kuò)建后，寬將增加10米。擴(kuò)建后的操場面積有多大？

啟發(fā)：要求擴(kuò)建后的操場面積有多大？解決這個問題其實(shí)是求什么？你能不能畫圖清晰地呈現(xiàn)出來？

當(dāng)學(xué)生畫出直觀圖時，就可要求學(xué)生將已知信息在圖中標(biāo)出，并指出所求面積的部分。然后，要求學(xué)生：1.獨(dú)立思考，嘗試解決。2.組織交流，分析比較。

此時，根據(jù)圖示，學(xué)生對“擴(kuò)建后的操場面積”其實(shí)就是指“長是60米，寬為（30+10）米的長方形的面積”或者指“原來的長方形與長為60米，寬為10米的長方形的面積之和”，這樣就一目了然了。將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，就能迎刃而解了。

這個過程，學(xué)生將抽象的文字信息轉(zhuǎn)換為直觀明了的圖示，使所求問題與信息得到有效關(guān)聯(lián)，不僅問題得以解決，更重要的是學(xué)生自主分析、取舍、判斷、表達(dá)、數(shù)學(xué)語言的翻譯能力也得到了鍛煉和培養(yǎng)。

二、“假設(shè)”先行，培養(yǎng)“洞察——猜想”能力

洞察能力，通常指能深入、清楚地了解事物的本質(zhì)，快速抓住要害，一舉解決問題的能力。假設(shè)，就是根據(jù)問題特點(diǎn)和建模目的，對問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕ㄗプ≈饕?，舍去一些次要因素），提出幾條合理的假設(shè)。假設(shè)（猜想）的過程，是學(xué)生迅速檢索已有知識經(jīng)驗(yàn)（或知識基礎(chǔ)）并做出判斷、選擇的思維過程。這種長期積累經(jīng)驗(yàn)，由量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化過程就是學(xué)生洞察能力得以提升的過程。

教學(xué)中，教師要適時創(chuàng)設(shè)模型假設(shè)的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，但不要過早評判，要先關(guān)注猜想背后的思想：是學(xué)生調(diào)動原有知識經(jīng)驗(yàn)的猜想，或是盲目的猜測？同時，引導(dǎo)學(xué)生在操作、證明、交流、質(zhì)疑中用事實(shí)驗(yàn)證自己的假設(shè)，或糾正自己的錯誤假設(shè)。

例如，一位教師在教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》時，依據(jù)情境，學(xué)生抽象數(shù)學(xué)問題并列出算式如何計算？憑借已有的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可能會得出以及兩種答案。透過背后的依據(jù)分析，學(xué)生可能是基于下面的兩種經(jīng)驗(yàn)做出的假設(shè)：分子相同，只要把分母相加就行，所以；把分子和分母分別相加，即。教學(xué)時，教師不急于反駁，而是問：大家有什么看法？很多學(xué)生馬上提出反駁意見，認(rèn)為兩種假設(shè)得出的答案都比加數(shù)小，所以答案不對，假設(shè)顯然不合理。如何修正呢？此時，教師適時提出：“為什么計算同分母分?jǐn)?shù)相加減時，分母不變，可以把分子直接相加減？”這樣，學(xué)生在教師的提醒下，就很容易想到，把異分母變成同分母就可以進(jìn)行計算，明白“分?jǐn)?shù)單位相同，才可以直接相加減”這一計算的本質(zhì)。由此，得出合理的模型假設(shè)。

由上可以看出：無論是學(xué)生的假設(shè)還是學(xué)生自己的反駁，其實(shí)是學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)對學(xué)習(xí)所起的負(fù)遷移或正遷移，這個過程，恰恰是學(xué)生透過現(xiàn)象逐步接近本質(zhì)的過程。教學(xué)過程中教師有意識地放緩腳步，允許學(xué)生猜想、質(zhì)疑，再適時地加以引導(dǎo)，使學(xué)生對模型的認(rèn)識從模糊到清晰，由現(xiàn)象到本質(zhì)，學(xué)生洞察思維能力得到有效的鍛煉。

三、“驗(yàn)證”跟進(jìn)，培養(yǎng)“分析——推理”能力

數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合應(yīng)用和分析，利用嚴(yán)格的邏輯推理來得到我們所需要的結(jié)果。

任何一個數(shù)學(xué)模型的建立，都要經(jīng)歷一個驗(yàn)證推理的過程。

如，教學(xué)《長方形、正方形的認(rèn)識》時，學(xué)生通過觀察猜測，并用自己的語言描述出長方形和正方形的特點(diǎn)后，教學(xué)很快進(jìn)入學(xué)生自我驗(yàn)證的環(huán)節(jié)，這是本課學(xué)習(xí)的重中之重。教師一個問題“怎么驗(yàn)證剛才的這些猜想呢？有什么方法嗎？”引出了來自學(xué)生思考得出的“比、量、折”等多種驗(yàn)證方法。但是學(xué)生操作驗(yàn)證如何進(jìn)行？如何反饋？不同的教師教學(xué)的效果是不一樣的。有的教師讓學(xué)生四人小組合作，然后匯報出以上幾種方法后，教師就匆匆收尾了，直接得出猜測是正確的。但是，有經(jīng)驗(yàn)的教師，有智慧的教師，卻能抓住真正促進(jìn)學(xué)生思維能力和空間觀念提升的細(xì)節(jié)進(jìn)行彰顯。比如，當(dāng)學(xué)生匯報用“折”的方法驗(yàn)證正方形四條邊都相等時，教師不僅滿足于學(xué)生說出“把正方形上下對折、前后對折”還要求說出這樣對折后說明了哪些邊的長度相等？要求說出“把正方形沿對角線對折之后，又證明了哪些邊的長度相等？”“回顧三次對折的過程，怎樣說明四條邊都相等？”

操作驗(yàn)證的過程實(shí)際上是一個思維層面的操作活動，邏輯推理過程是否清晰，借助數(shù)學(xué)語言的組織和表達(dá)，才能夠明了。因此，學(xué)生進(jìn)行猜想后就必須跟進(jìn)驗(yàn)證，驗(yàn)證過程不能僅僅停留于形式，而一定要有嚴(yán)格的邏輯推理，充分展現(xiàn)學(xué)生的分析過程。這樣，學(xué)生的分析推理能力才能真正得到提升。

四、“符號”提煉，培養(yǎng)“抽象——概括”能力

學(xué)生建立模型的過程，不僅要經(jīng)歷操作表征、圖像表征的過程，更重要的是必須進(jìn)入符號表征的階段，前兩個過程還只是停留在較低層面的操作水平，后者才是我們所要培養(yǎng)的較高層次的思維水平。因?yàn)榻?jīng)歷符號表征的過程就是去偽存真，提煉本質(zhì)內(nèi)涵，使之符號化、結(jié)構(gòu)化、形式化的抽象過程，這個過程有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

無論是概念教學(xué)，還是法則、公式的推導(dǎo)，抑或是解決問題的過程，都需要學(xué)生經(jīng)歷符號提煉的過程。

如，教學(xué)人教版六年級上冊《數(shù)學(xué)思考》一課時，可通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入規(guī)律的探究過程中。經(jīng)過討論，學(xué)生把“有幾個隊(duì)比賽，一共可以打幾場”的生活問題轉(zhuǎn)化為“有幾個點(diǎn)，一共可以連成幾條線段”這一數(shù)學(xué)問題。當(dāng)探究后得到“2個點(diǎn)可以畫1條線段，3個點(diǎn)可以畫3條線段,4個點(diǎn)可以畫6條線，5個點(diǎn)可以畫10條線段”時，教師適時提問：6個點(diǎn)、7個點(diǎn)、10個點(diǎn)、20個點(diǎn)可以畫幾條線段呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？這時，學(xué)生需要對剛才探究得到的答案進(jìn)行過程的有序分析，發(fā)現(xiàn)每一次的結(jié)果都是：有幾個點(diǎn)就從1一直加到比幾少一的數(shù)，即有n個點(diǎn)就能連成1+2+3+4+……+（n-1）條線段。因?yàn)榻柚钋榫常柚鷪D示幫助理解算理，學(xué)生還會有這種模型的發(fā)現(xiàn)，即有n點(diǎn)就能連成n×（n-1）÷2條線段。

學(xué)生借助實(shí)物操作，圖像表征并從中發(fā)現(xiàn)并表達(dá)出規(guī)律的過程，其實(shí)就是模型建立的過程。提煉的效果如何受一定因素制約：一是學(xué)生探究過程的有效性，學(xué)生是否真正理解了算理？二是學(xué)生歸納推理的能力，他們能否有序思考、分析并發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)內(nèi)涵？除此之外，學(xué)生是否具有較強(qiáng)的語言表達(dá)能力，以及凝練概括的能力如何也是重要因素之一。因此，這個過程教師要重視引導(dǎo)學(xué)生有序觀察，要充分運(yùn)用圖示幫助理解規(guī)律所蘊(yùn)含的道理，加強(qiáng)師生、生生之間的交流，并學(xué)會用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。這對學(xué)生語言概括能力的提升是有效的。

五、“橋梁”搭建，培養(yǎng)“聯(lián)想——直覺”能力

要具備有良好的聯(lián)想能力，首先要有對事物廣泛的興趣，平時多思考、多積累，這樣遇到新問題的時候，就可以通過聯(lián)想、類比對原來的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工、改組或重構(gòu)，觸類旁通。教學(xué)中諸如：你在生活中見到過這樣的現(xiàn)象嗎？這和我們之前學(xué)過的某某知識有什么不同？用這樣的模型能解決生活中的哪些實(shí)際問題？等等。搭建的這些“橋梁”都是啟發(fā)學(xué)生思考的有效問題。因此，教學(xué)中教師要重視模型解釋與應(yīng)用這一環(huán)節(jié)的設(shè)計。建立模型后，教師要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型得以擴(kuò)充和提升。將建立的模型運(yùn)用到實(shí)際生活中，能使原本復(fù)雜多樣的問題類型得以歸類、簡化。這一過程，學(xué)生的聯(lián)想直覺能力可以得到有效鍛煉。

以《乘法分配律》教學(xué)為例，在模型的解釋應(yīng)用和拓展環(huán)節(jié)可做如下設(shè)計：

第一步：簡便計算：37×7＋37×3；48×19＋52×19；102×17。

1.學(xué)生獨(dú)立計算。

2.反饋交流。

在校對完答案之后，教師引導(dǎo)學(xué)生展開想象。

第二步：聯(lián)系長方形面積模型，這些算式可以想象成求什么？試著畫出草圖。

第三步：這些算式除了解決生活中的長方形面積外，還能解決哪些實(shí)際問題？

第四步：“希望小學(xué)的操場是一個長方形，原來長60米，寬30米，擴(kuò)建后，寬將增加10米。增加的部分比原來的面積少多少？”

上述環(huán)節(jié)，第二、第三步的設(shè)計，要求學(xué)生將所學(xué)知識和現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行聯(lián)系，這一“橋梁”搭建，促使他們調(diào)動頭腦中的直覺反應(yīng)，通過聯(lián)想、類比對學(xué)生原來的生活經(jīng)驗(yàn)即實(shí)際問題與模型相類似的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行加工、改組或重構(gòu)。這樣，學(xué)生在解決不同情境中的實(shí)際問題中逐漸形成了乘法分配律的“數(shù)學(xué)形式”，從而使復(fù)雜的問題得以簡化，達(dá)到了化繁為簡及觸類旁通的效果。

第四步的設(shè)計，是結(jié)合實(shí)際將求得的數(shù)學(xué)結(jié)果放到實(shí)際情境中去檢驗(yàn)，不僅使模型具有實(shí)際意義，更重要的是還拓展了數(shù)學(xué)模型：乘法分配律同樣適用于兩個數(shù)的差。這是一個不斷探索與發(fā)現(xiàn)的過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決問題和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識的過程，拓展數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)更深處的本源。

通過搭建橋梁，在數(shù)學(xué)建模過程中學(xué)生的聯(lián)想思維、綜合分析和運(yùn)用的能力會得到有效提升。

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是貫穿于教學(xué)的全過程中，甚至于某一思維能力是穿插在幾個建模過程之中的，之所以如上述那樣界定，無非是想表達(dá)一種觀點(diǎn)，任何一個建模過程如能好好挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維，采取適當(dāng)?shù)姆椒ú呗赃M(jìn)行適合的培養(yǎng)，那么學(xué)生不僅思維能力得到提升，更重要的是在日積月累、潛移默化中領(lǐng)悟和運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決問題的能力也會得到提升。