融會(huì)貫通提升思維
——《平面圖形的面積整理與復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

鮑賽紅　吳恢鑾

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版五年級(jí)上冊(cè)第四單元。

【教學(xué)過(guò)程】

一、回憶梳理，引入新知

師：課前我們進(jìn)行了平面圖形知識(shí)的整理。我們學(xué)過(guò)的平面圖形有哪些？怎樣計(jì)算它們的面積？

（出示平行四邊形、三角形、梯形）

（展示這三種圖形的面積推導(dǎo)方法，逐一回顧各種平面圖形的面積推導(dǎo)過(guò)程）

師：平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程有什么相似之處？

生：都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的策略。

師：當(dāng)我們遇到新問(wèn)題時(shí)，可以想辦法將它轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，然后用學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決新的問(wèn)題。

【評(píng)析：整理復(fù)習(xí)課不僅是識(shí)記公式并運(yùn)用公式解決常見(jiàn)的練習(xí)題，更重要的是將學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理使其形成知識(shí)與方法的思維網(wǎng)絡(luò)，便于提取與應(yīng)用。在自主整理知識(shí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)遺漏的知識(shí)應(yīng)及時(shí)彌補(bǔ)，如果生長(zhǎng)出新的知識(shí)則適當(dāng)拓展。上課伊始，鮑老師即引導(dǎo)學(xué)生回憶梳理每個(gè)平面圖形的面積公式，并讓學(xué)生表述面積公式的推導(dǎo)過(guò)程。從點(diǎn)入手、連點(diǎn)成線，為溝通三個(gè)圖形面積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系做好知識(shí)與思考方法的鋪墊準(zhǔn)備。】

二、打通聯(lián)系，融會(huì)貫通

師：三個(gè)平面圖形的面積公式可以少記幾個(gè)嗎？它們之間有什么關(guān)系？有沒(méi)有可能把三個(gè)不同的平面圖形轉(zhuǎn)化成同一個(gè)面積公式來(lái)計(jì)算呢？

1.從平行四邊形面積公式出發(fā)，提煉轉(zhuǎn)化思想。

生：兩個(gè)相同的梯形或者三角形都能拼成平行四邊形。所以我認(rèn)為可以統(tǒng)一利用平行四邊形的面積公式來(lái)計(jì)算三種圖形的面積。

（根據(jù)學(xué)生的回答，出示三角形和梯形面積公式與平行四邊形面積公式之間的關(guān)系）

2.從梯形面積公式出發(fā)，滲透運(yùn)動(dòng)變化思想。

生：我認(rèn)為可以統(tǒng)一用梯形面積計(jì)算公式。“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”，當(dāng)上底縮短至0時(shí)，梯形就變成了三角形，公式就變成了“下底×高÷2”，也就是“三角形的底×高÷2”。而當(dāng)上底變得和下底一樣長(zhǎng)時(shí)，梯形就變成了平行四邊形，公式就變成了“上底（或下底）×2×高÷2=底×高”。

教師根據(jù)學(xué)生的回答板書(shū)，讓學(xué)生明晰梯形面積公式與平行四邊形、三角形面積公式之間的關(guān)系。

3.從三角形面積公式出發(fā)，提煉等積變形思想。

師：從這兩個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中你還想到了什么？挑戰(zhàn)一下，能否用三角形的面積計(jì)算公式來(lái)計(jì)算梯形和平行四邊形的面積？

出示學(xué)習(xí)要求：

（1）分一分：把梯形和平行四邊形分成幾個(gè)三角形？

（2）算一算：請(qǐng)用字母表示分成的三角形，并算一算。

（3）想一想：能不能把分成的多個(gè)三角形變成一個(gè)三角形？

（獨(dú)立探究后四人小組相互交流，然后全班交流）

組1：先把梯形分成兩個(gè)三角形，于是這個(gè)梯形的面積就變成了兩個(gè)三角形的面積，一個(gè)三角形的面積是ah÷2，另一個(gè)三角形是bh÷2，合在一起就是 ah÷2+bh÷2=（a+b）h÷2。

組2：（使用白板軟件，邊演示邊講解）先把梯形中以b為底的三角形翻轉(zhuǎn)，然后通過(guò)等積變形，把以b為底的三角形上面的頂點(diǎn)沿平行線左移，直到和以a為底的三角形的上面這個(gè)頂點(diǎn)重合，這樣兩個(gè)三角形就變成了一個(gè)三角形（如下圖）。三角形的底是梯形的上底加下底的和，三角形的高就是梯形的高。

師：好厲害！像這樣，圖形形狀發(fā)生了變化，面積沒(méi)有發(fā)生變化，我們稱之為——等積變形。有沒(méi)有小組想到平行四邊形是怎么變的呢？

生：聽(tīng)了組2的介紹，我想到了（使用白板軟件，邊演示邊講解）先把平行四邊形沿對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，把其中一個(gè)三角形翻轉(zhuǎn)，然后等積變形成這樣的三角形（指下圖右三角形）。三角形的底就是原平行四邊形的底的兩倍，三角形的高就是原平行四邊形的高。

師：看看變形以后的情況，它們之間到底有怎樣的關(guān)系呢？

4.小結(jié)：三個(gè)面積計(jì)算公式可以通過(guò)擴(kuò)倍拼補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成平行四邊形面積計(jì)算公式，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化的方法轉(zhuǎn)化成梯形的面積計(jì)算公式，還可以通過(guò)等積變形轉(zhuǎn)化成三角形的面積計(jì)算公式。

【評(píng)析：鮑老師引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生借助圖形操作，溝通三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，運(yùn)用現(xiàn)成的公式，從擴(kuò)倍拼補(bǔ)、運(yùn)動(dòng)變化以及等積變形三個(gè)維度分析內(nèi)在聯(lián)系，使之在知識(shí)上求聯(lián)、在方法上求通，開(kāi)放中有統(tǒng)一、統(tǒng)一中有開(kāi)放，極大地激發(fā)了學(xué)生探究的興趣、提升了學(xué)生探究的水平、發(fā)展了學(xué)生的思維。小組的討論、集體的碰撞、白板技術(shù)的輔助等，使用得恰到好處，適得其所?！?/p>

三、層次練習(xí)，應(yīng)用提升

1.基本練習(xí)。

在下圖中，當(dāng)a縮短成一個(gè)點(diǎn)，也就是a=0時(shí)，這個(gè)圖形就變成了（）形，公式S=（a+b）h÷2就變成了（）；當(dāng)a=b時(shí)，這個(gè)圖形就變成了（），公式 S=（a+b）h÷2 就變成了（）。

他父親有三個(gè)要好的朋友，一個(gè)是大學(xué)教授、物理學(xué)家克里斯坦森，一個(gè)是哲學(xué)家霍夫丁，另一個(gè)是語(yǔ)言學(xué)家湯姆森。每逢星期五的晚上，他們?nèi)硕家讲柤易隹?，他們?cè)谝黄鹋d致勃勃地談?wù)撐锢?、哲學(xué)、文學(xué)，評(píng)說(shuō)科學(xué)領(lǐng)域的新成就。

2.變式練習(xí)。

已知梯形面積①和三角形面積②相等，求AB的長(zhǎng)？（單位：厘米）

3.拓展練習(xí)。

求陰影部分的面積。

【評(píng)析：三組練習(xí)從基本到變式、從變式到拓展，既是鞏固新知識(shí)、新方法，又是在變中訓(xùn)練不變。第一題從運(yùn)動(dòng)變化的角度，溝通梯形與平行四邊形、三角形之間面積的關(guān)系，屬于課堂知識(shí)的回顧。第二題，左圖：梯形和三角形的高相等，則面積相等就意味著梯形上下底的和=三角形的底，從而AB=12-7=5；右圖，基本原理同左圖，7+AB=12-AB，AB=2.5。第三題，左圖通常的做法是：（4+3）×3÷2-3 ×3 ÷2=6（cm2），也可以通過(guò)等積變形，構(gòu)造三角形ABD的面積=三角形ABC面積，從而陰影部分的面積就是 4×3÷2=6（cm2）。右圖AC//GE，從而三角形GAE的面積=三角形GCE的面積=6×6÷2=18（cm2）。

顯然，二、三題需要學(xué)生對(duì)前面公式整理中涉及到的系列推理方法，尤其是等積變形等靈活地進(jìn)行應(yīng)用?！?/p>

四、課堂總結(jié)，暢讀收獲

師：這節(jié)課你有哪些新的收獲？