三法并舉，破解立體幾何題

福建 黃清波

(作者單位：福建省南安市國光第二中學)

三法并舉，破解立體幾何題

解答立體幾何問題主要有三種方法：綜合法、坐標法和向量法.“三法”的準確定位應該是并舉！即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣，而應具體問題具體分析.本文以2016年高考全國新課標卷Ⅰ理科第18題第(Ⅱ)問的求值問題和2016年高考全國新課標卷Ⅲ理科第19題第(Ⅰ)問的證明為例展開，談談對“三法”的幾點認識，希望對大家今后在立體幾何學習、復習中能夠受到一定啟發(fā).

【例1】(2016·新課標Ⅰ理·18)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．

(Ⅰ)證明平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值．

解法探究

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及二面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，難度適中.對于第(Ⅰ)問由已知易知AF⊥FE，AF⊥FD，得AF⊥平面EFDC，且AF?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC.本文主要研究第(Ⅱ)問，運用所學知識，從三種不同的視角進行思考．

1.綜合法

【分析】根據題意，設法找出二面角的平面角，把問題轉化為常規(guī)二面角的求解.本題所求二面角是一個鈍角，不好直接找，可通過補形，易得該二面角的補角，從而求出該二面角的余弦值.

【評注】在證明與指數式有關的不等式時，用二項式定理可將指數式轉化成多項式.

【結語】在利用放縮法證明不等式時,要根據不等式兩邊的特點進行恰當放縮,任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗.

(作者單位：福建省南安市國光第二中學)

江西省贛南師范大學科技學院，山東省鄒平縣黃山中學)

【解法1】由(Ⅰ)知∠DFE=∠CEF=60°，

因為AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，

所以AB∥平面EFDC，又AB?平面ABCD.

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,

所以AB∥CD，所以CD∥EF.

所以四邊形EFDC為等腰梯形.

根據該幾何體的特征，將它嵌入以AB為邊長的正方體中，

如圖，延長DC交正方體的棱于點M，連接BM,

AB⊥平面BEM,又AB?平面ABCD,

所以平面ABCD⊥平面BEM.

又平面ABCD∩平面BEM=BM,

過點E作EG⊥BM,垂足為G，則EG⊥平面ABDM.

過點G作GH⊥BC,垂足為H,連接EH.

∵EG⊥平面ABCD，

∴EG⊥BC.

∴BC⊥平面EHG，

∴BC⊥EH，

則∠EHG為所求二面角的補角.

由△BGH∽△BCM,

【點評】綜合法是以邏輯推理作為工具解決問題，解題過程中經常要引入輔助線，運用大量的幾何定理公理，對學生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高，在教學過程中，應引導學生優(yōu)先考慮用綜合法解題，嘗試著去處理圖形，即對圖形進行分割、補全、折疊、展開、添加輔助線等，借此不斷提高自己的空間想象能力.

2.坐標法

【分析】結合幾何體的特征，直接建立空間直角坐標系E-xyz.然后找出相應點的坐標，套用相關模式，可得以下解法.

【解法2】由解法1知，四邊形EFDC為等腰梯形.

以E為原點，如圖，建立空間直角坐標系E-xyz.

設平面BEC的法向量為m=(x1,y1,z1).

設平面ABC的法向量為n=(x2,y2,z2).

設二面角E-BC-A的大小為θ.

【點評】坐標方法主要是利用向量的相關知識及其運算來解決問題，即用代數的方法解決幾何問題，將數與形完美地結合起來，降低了立體幾何解題的思維難度，解題有一定的規(guī)律性，便于學生掌握.其步驟：①建系；②找點的坐標；③寫出向量坐標；④結合公式進行論證、計算；⑤下結論.不規(guī)則圖形的坐標系的建立較為靈活，但還是有“法”可依，平時教學過程中，應加強不規(guī)則的幾何體中建坐標系的訓練與練習，幫助學生消除心理障礙.另外，建立坐標系后，通常會增加某些點坐標表示的難度，除了作“射影”來求，大多是通過“算”來表示.同時，還應加強表示動點坐標的訓練，如引進參數來表示.

3.向量法

【解法3】由解法1知，四邊形EFDC為等腰梯形.

在△ABC中，過點A作AN⊥BC，垂足N，

設二面角E-BC-A的大小為θ.

【點評】向量法是指非坐標向量法，較之坐標法，向量法不需要建系，且運算簡捷、可操作性強，更能體現向量的魅力.但就學生而言，由于向量運算畢竟屬于一種新的運算體系，形式化要求高，總感覺運用時不習慣、不順手.在教學過程中，應幫助學生突破過高形式化帶來的困難，從而讓學生充分感受向量法的優(yōu)美和力量.

【例2】(2016·新課標Ⅲ理·19)如圖，四棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．

證明：MN∥平面PAB.(節(jié)選)

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及線面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想.難度適中.

1.綜合法

【分析】要證明線面平行，首先想到線面平行的判斷定理,由線線平行得出線面平行，題目出現中點，聯想到要利用中位線的性質,據此思路,可得下列解法.

又AD∥BC,所以TN∥AM,TN=AM.

所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN=AT.

又AT?平面PAB,MN?平面PAB,

所以MN∥平面PAB.

【分析】利用面面平行的性質定理,也可得到線面平行,一樣是利用中位線的性質,有下列解法.

【解法2】取BC的中點T,連接TM,TN,

又BT=2,且AM∥BC,所以四邊形ABTM是平行四邊形,

所以TM∥AB,又AB?平面PAB,TM?平面PAB,

所以TM∥平面PAB.

由TN∥PB(中位線性質),得TN∥平面PAB.

所以平面TMN∥平面PAB.

因為MN?平面TMN，所以MN∥平面PAB.

2.坐標法

【分析】結合幾何體的特征，直接建立空間直角坐標系A-xyz.然后找出相應點的坐標，根據問題套用相關模式，可得以下解法.

【解法3】取BC的中點T,連接AT.

又MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.

【解法4】設n=(x,y,z)是平面PAB的一個法向量，

所以DM∥平面PAB.

3.向量法

所以MN∥平面PAB.