涉及多個三角形的解三角形問題

湖南 王 勇

(作者單位：湖南省郴州二中)

涉及多個三角形的解三角形問題

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.這類題目有時會涉及多個三角形、四邊形甚至多邊形.往往有一定的難度.現(xiàn)就這類問題總結(jié)一些常用的解題策略，供同學(xué)們參考.

1．構(gòu)造輔助高線，化斜為直

【評注】作高構(gòu)造直角三角形，可以把斜三角形問題轉(zhuǎn)化直角三角形問題.特別是題設(shè)條件涉及角的正切值時，常常作高構(gòu)造直角三角形，將這些角作為直角三角形的銳角，簡化解題過程.

【變式1】如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為________.

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD=45°，

所以從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為45°.

2.利用相鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，建立聯(lián)系

【例2】在△ABC中，BC邊上的中線為AD，求證:AB2+AC2=2AD2+2BD2.

【證明】如圖，易知cos∠ADB=-cos∠ADC，

又BD=CD，

化簡即得AB2+AC2=2AD2+2BD2.

【評注】借助三角形中線分割成的兩個鄰補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)，在兩個三角形中分別使用余弦定理，可以得到中線長與三角形三邊的數(shù)量關(guān)系;同樣，平行四邊形兩條對角線的平方和等于其四邊的平方和.

【變式】在△ABC中，AB=2,AC=3，BC邊上的中線AD=2，求△ABC的面積S.

3. 利用角平分線構(gòu)造等角關(guān)系，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換

【變式】在△ABC中，AB=2,AC=1，∠A的平分線AD=1，求△ABC的面積S.

4.多次使用正、余弦定理，先定性分析再定量計(jì)算

設(shè)AD=x，則在△ABD中，由余弦定理得

又cos∠ADC=-cos∠ADB，

【評注】多次使用正、余弦定理是圖形類問題的常見策略.在解題過程中，應(yīng)結(jié)合條件，畫出正確示意圖，分析已知和所求之間的聯(lián)系，然后再在相應(yīng)的三角形中逐步利用正、余弦定理計(jì)算.不同的解題思路,選擇的三角形先后順序往往不同，可以得到不同的解題過程.

又cos∠ADB=-cos∠ADC，解得x=1，故AC=1.

所以1-4x2=-1-2x2，解得x=1，故AC=1.

所以，∠B=135°，解得x=1，故AC=1.

5.連接對角線，將四邊形切割為多個三角形

【例5】如圖，四邊形AOCB中，OA⊥OC,CA⊥CB,AC=2,CB=1，則OB的長度的取值范圍是________.

【評注】四邊形可以分割為多個三角形，例如，本例題就將四邊形AOCB進(jìn)行了分割，根據(jù)已知條件，在△AOC和△OBC中利用有關(guān)定理，就可以將OB表示出來.

6.應(yīng)用四邊形對角互補(bǔ)，建立解題橋梁

【例6】A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.

因?yàn)锳+C=180°，所以由(Ⅰ)得

【評注】△ACB與△ACD有一條公共邊，且B+D=180°，則有cosD=-cosB.以此為橋梁，分別在兩個三角形中利用余弦定理，就能建立關(guān)于角B或角D的等式，于是角B或角D就可求.

【變式】如圖四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

(Ⅰ)求角C的大小和BD的長；

(Ⅱ) 求四邊形ABCD的面積.

【解析】(Ⅰ)連接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA；在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC.又cosA+cosC=0，

(作者單位：湖南省郴州二中)