高中數(shù)學思維，從理論到實踐

王志維

[摘 要] 高中數(shù)學教學中，數(shù)學思維歷來受到一線教師的高度重視. 這種重視常常有兩個層面：一是理論層面；二是實踐層面. 理論層面的重視常常體現(xiàn)在數(shù)學思維是教研成果與教學研究的熱詞；實踐層面的體現(xiàn)其實并不充分，因為應試形態(tài)下的高中數(shù)學課堂，學生少有主動思維的機會. 基于學生的認知需要，從提高學生核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，將數(shù)學思維蘊含于數(shù)學知識的構(gòu)建、數(shù)學探究及學習反思的過程中，是數(shù)學教師的價值選擇.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學思維；理論；實踐

數(shù)學思維是歷來高中數(shù)學教學最為強調(diào)的話題之一，數(shù)學思維也是日常教學研究中最常提及的概念之一. 理想情況下，數(shù)學思維作為一個概念，其存在于數(shù)學教師的言語與研究成果當中，而數(shù)學思維作為課堂上的具體體現(xiàn)，則體現(xiàn)在學生構(gòu)建數(shù)學知識的過程中，以及體現(xiàn)在學生利用數(shù)學知識解決數(shù)學問題或者是生活問題的過程中. 這是一個理論與實踐相結(jié)合的過程，但在教學實踐當中，關于數(shù)學思維的理論與實踐的銜接并不十分理想，尤其一個明顯的現(xiàn)象是，在各類研究成果中數(shù)學思維出現(xiàn)的頻率極高，在教學研討的交流中數(shù)學思維出現(xiàn)的頻率很高，在教學設計的時候提及數(shù)學思維的頻率也很高，但對于最為關鍵的場合即在教學實踐中則相對少有數(shù)學思維的教學. 顯然，這是一個理論與實踐的脫節(jié)問題. 指出這一問題，并不是說要否定當前的數(shù)學教學，而是希望關于數(shù)學思維的理論與實踐能夠有一個很好的結(jié)合，以讓學生在數(shù)學學習的實踐中，能夠在數(shù)學思維的理論滋養(yǎng)下獲得更好的發(fā)展，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

筆者在教學實踐當中進行著這樣的努力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)理論與實踐的結(jié)合并不完全是關于數(shù)學思維的教學理論與課堂教學的結(jié)合，更多的時候，數(shù)學思維實際上是隱藏在知識構(gòu)建、數(shù)學探究與問題解決等過程中的，因此，數(shù)學更類似于默會知識. 具體闡述如下：

■數(shù)學思維在知識構(gòu)建中體現(xiàn)

數(shù)學學習的基本任務就是數(shù)學知識的構(gòu)建，應試環(huán)境之下，數(shù)學知識的學習常常是講授式的，學生基本上處于被動接受的狀態(tài)，即使在課程改革走過了十數(shù)年之后，高中數(shù)學課堂其實更多的還是這種常態(tài). 這樣的教學方式基本上對學生的數(shù)學思維的培養(yǎng)沒有太大的作用，因為被動狀態(tài)下的知識學習基本上沒有主動建構(gòu)的可能，因此數(shù)學思維也就沒有了生長的土壤. 反之，如果給了學生以主動建構(gòu)知識的空間，那學生的數(shù)學思維就有可能高效形成.

如在“點到直線的距離”這一知識的教學中，具體的可以讓學生經(jīng)歷這樣的一些知識構(gòu)建過程：第一步，引導學生認識何為點到直線的距離. 這一設計與學生原有的距離知識相關，同時又是在點與線這一新的情境中提出的問題，因此可以促成學生新舊知識發(fā)生相互作用，從而建立起點與直線距離的準確理解. 第二步，尋找求點到直線距離的方法. 通常情況下，學生的思路都是先作出過該點并垂直于直線的垂線，然后兩直線方程相交求出交點坐標，最后通過兩點的坐標求出點到直線的距離. 應當說在這個過程中，如果將問題解決的過程交由學生，那么學生的思維過程是很豐富的，因為從建立點到直線距離的認識，到尋找到求點到直線距離的方法，都需要學生在大腦中構(gòu)建點到直線距離的表象，然后有效地調(diào)用已有的知識，將求點到直線的距離轉(zhuǎn)換為利用兩點坐標來求兩點間的距離. 這種思維轉(zhuǎn)換，是典型的數(shù)學思維的組成部分.

然后實際教學過程到此時并沒有結(jié)束，因為在剛才所用的方法的反思中，學生會發(fā)現(xiàn)這一方法計算的繁雜性，從而猜想（必要的時候教師可以給予一點點撥）有沒有一種更好的方法的存在，而這種思維本身就是數(shù)學思維的一種體現(xiàn)——尋找新的解決問題的策略. 于是進一步的，教師可以引導學生從更高的角度審視點與直線距離的關系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)在于確定點與垂足對應的橫、縱坐標的差. 而認識到這一點之后，又會發(fā)現(xiàn)點到直線的距離可以有新的表達方式. 在這個過程中，思維轉(zhuǎn)換與新的思路的出現(xiàn)，就是數(shù)學思維的充分體現(xiàn).

■數(shù)學思維在數(shù)學探究中體現(xiàn)

數(shù)學探究是當前重點強調(diào)的一種教學方式，數(shù)學探究的過程如果在課堂上真實地發(fā)生了，那上一點所強調(diào)的學生的自主性就可以得到保證. 同時其還可以繼續(xù)前進一步，讓數(shù)學探究更好地為培養(yǎng)學生的數(shù)學思維做出貢獻——應當說這一過程其實是自然而然的，因為只要有真正的數(shù)學探究發(fā)生了，那學生就必然處于數(shù)學思維的過程中，這正如一個在數(shù)學思維大海里撲騰的孩子，自然也就更容易學會游泳.

如在“三角誘導公式”的教學中，就可以給學生創(chuàng)造一個數(shù)學探究的機會. 筆者的設計是這樣的：第一步，明確提出三角誘導公式的探究問題. 第二步，選擇最簡單的突破口——從銳角的三角函數(shù)開始，思考如何求其三角函數(shù)值. 學生的反應自然是如果是特殊角，那么直接可以回憶出結(jié)果；如果是一般角，那么可以通過查詢?nèi)呛瘮?shù)表來獲得其值. 于是提出新的問題：如何從銳角三角函數(shù)的求法出發(fā)，去求任意角的三角函數(shù)呢？第三步，開展數(shù)學探究. 在探究之初，學生會意識到角的周期性對求三角函數(shù)值帶來的影響，于是就可以將對問題的探究縮小到0～2π的范圍之內(nèi)，同時可以將所有角的始邊確定在坐標橫軸的正半軸上，于是問題的解決實際上就已經(jīng)建立了一個數(shù)學模型（這是典型的數(shù)學思維的產(chǎn)物）. 其后，如果一個角的終邊存在于非第一象限之內(nèi)，那是不是可以想方設法地將其轉(zhuǎn)換為第一象限的角呢？這個問題實際上是本探究過程中的關鍵，而解決這個問題的關鍵是什么？是數(shù)學思維方法的使用. 是什么數(shù)學思維方法的使用？是數(shù)形結(jié)合的使用. 例如，在設定了第一象限的角為α之后，第二、三、四象限的角就可以分別用α與180°，360°來輔助表示了. 這種方法在此時一旦得到成功的運用，那本探究就解決了一大半問題（當然是指思維角度的問題，并不是指具體的數(shù)學結(jié)論的得出，這只是一個過程與結(jié)果的關系，且過程的有效性決定了結(jié)果的有效性）.

在這樣的探究過程中，學生的數(shù)學思維可以說是體現(xiàn)得無處不在，只要稍有經(jīng)驗的數(shù)學教師都可以看出其中的數(shù)學思維的存在. 更重要的是，這一過程其實并沒有跟學生強調(diào)太多的數(shù)學思維，但數(shù)學思維已經(jīng)得到了學生的充分運用. 因此，可以說數(shù)學探究是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的最佳途徑之一.

■數(shù)學思維在學習反思中體現(xiàn)

數(shù)學思維的教學常常被認為是隱性的，這符合數(shù)學思維支撐數(shù)學知識與數(shù)學問題解決的規(guī)律. 但需要注意的是，當面對的教學對象是高中學生的時候，有時候數(shù)學思維也可以相對變得顯性一些，也就是說，讓學生明確從數(shù)學思維的角度去感知數(shù)學的魅力. 這對于高中學生來說其實也是很有價值的，因為高中階段的學生所需要的其實并不完全是知識性的東西，筆者常常與學生進行數(shù)學學科特質(zhì)方面的聊天，很多學生都表現(xiàn)出一種思想，那就是希望在數(shù)學課堂上不僅能夠?qū)W到知識，還希望能夠理解數(shù)學為什么能成為最有魅力的學科. 這其實就是對包括數(shù)學思維在內(nèi)的一種教學意味的期待. 既然如此，數(shù)學教師就要在滿足學生應試需要的同時，找機會更好地給學生以數(shù)學思維的啟迪.

這看起來是一個矛盾的問題，但實際上在實踐中可以很好地協(xié)調(diào)起來，一個重要的方式就是在數(shù)學知識學習之后，在數(shù)學探究之后，在數(shù)學問題解決之后，引導學生進行一些學習角度的反思，讓學生思考自己在學習的過程中一開始是怎樣想的，后來又是怎樣想的，尤其是原來的思路發(fā)生錯誤之后，要通過對比發(fā)現(xiàn)原來的思路錯在哪里，正確的思路又是從哪里得來的.

這其實是一個很好的數(shù)學思維培養(yǎng)的過程，即使筆者不舉出具體的例子，相信絕大多數(shù)同行也能夠知道描述的是怎么回事. 但在實際中為什么其就很難在課堂上出現(xiàn)呢？根據(jù)筆者的實踐來判斷，恐怕絕大多數(shù)同行所擔心的是這個環(huán)節(jié)的效率問題，畢竟學習反思是需要花時間的，而在這個時間內(nèi)往往又是可以做其他更多有意義的事情. 因此基于應試的需要，教師往往是“兩害相權取其輕”. 其實，這個過程對于學生的數(shù)學學習來說，是“磨刀不誤砍柴工”的，因為這個過程其實可以讓學生對一個數(shù)學知識點或者一道數(shù)學題產(chǎn)生極為深刻的印象，因而可以起到事半功倍的效果. 另一方面其還可以滿足學生對數(shù)學學習的深層次的心理需要，可以讓學生產(chǎn)生對數(shù)學學習的親近感，而這恰恰是題海戰(zhàn)術所無法達到的效果（其實還有相反的效果）. 數(shù)學中常有對比的方法，數(shù)學教學中也應當用這種對比的方法，判斷一下教學的效益.

總之，數(shù)學思維應當成為高中數(shù)學教學的重點，對其重視不能只是停留在理論的層面，不能只出現(xiàn)在教案或論文當中，要成為課堂上的真實體現(xiàn). 只有從理論到實踐中都存在著強烈的數(shù)學思維的思路，那高中數(shù)學教學才能真正滿足學生的認知需要，才能提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).