星體的對偶Orlicz Hausdorff度量*

馮 麗 容

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

星體的對偶Orlicz Hausdorff度量*

馮 麗 容

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

星體;對偶Hausdorf度量；對偶LpHausdorff度量；對偶Orlicz Hausdorff度量

1914年，Hausdorff引進了Hausdorff度量[1-2]：假定(X,d)是一個度量空間，那么對于空間X上的非空有界子集K，L的Hausdorff度量如下：

hK(u)=h(K,u)=max{(u,x):x∈Sn-1}

其中，(u,x)表示u和x在in上的內(nèi)積.

1985年，Vitale[3]引進了關(guān)于K，L∈Kn的Lp(1≤p<∞)Hausdorff度量，定義如下：

1≤p<∞

最近，Jin，Leng和Guo[4]引進了所有凸體集體上的Orlicz Hausdorff度量.設(shè)φ:[0,∞)→[0,∞)是一個嚴格增凸函數(shù)且φ(0)=0,對于K，L∈Kn的Orlicz Hausdorff度量定義如下：

μ(du)≤φ(1)

Jin，Leng和Guo[4]將Orlicz Hausdorff度量與經(jīng)典Hausdorff度量和LpHausdorff度量進行比較；令￡=φ:[0,∞)→[0,∞)是一個嚴格增凸函數(shù)且φ(0)=0,則有：

命題A 設(shè)φ∈￡,K，L∈Kn,則δφ(K,L)≤δ∞(K,L).

命題B 設(shè)φ∈￡,K，L∈Kn,則δφ(K,L)≥δ1(K,L).

如果in上的一個集合是緊集(內(nèi)部是閉的)，則稱這個集合是一個體；如果稱一個體關(guān)于原點是星形的即滿足原點與K的邊界點的連線段在K的內(nèi)部；若K是非空、緊的且關(guān)于原點是星形的，那么它的徑向函數(shù)ρK(·)定義如下：

ρK(u)=max{λ≥0，λu∈K}

其中，u∈Sn-1使得通過u的直線與K相交.

,

1≤p<∞

此處引進了在所有星體上的對偶Orlicz Hausdorff度量的概念，并介紹了星體的對偶Orlicz Hausdorff度量性質(zhì).

,L)=infλ>0:

下面為本文在對偶Orlicz Hausdorff度量定義上得到的主要結(jié)果.

1 準備工作

定義在in×in上，d滿足下列4個條件：

i)d(K1,K2)≥0；

ii)d(K1,K2)=0?K1=K2；

iii)d(K1,K2)=d(K2,K1)；

iv)d(K1,K3)≤d(K1,K2)+d(K2,K3)，K1，K2，K3∈in.

稱函數(shù)d(K1,K2)是一個度量.

2 主要結(jié)果及證明

,L)=infλ>0:

μ(du)在區(qū)間(0,∞)上是嚴格遞增的，因此得到

,L)=λ0?

(1)

,L)=infλ>0:

μ(du)=φp(1)

由此可見

1=(φp)-1(φp(1))=

因此，

對于?ε>0，t1，t2∈[0,∞),只要d(t1,t2)<ε,就有d(φ(t1),φ(t2))<ε，因此φ是一致連續(xù)函數(shù),于是

μ(du)=φp(1)

由此可見

證明 如果K=L,結(jié)果顯然成立.假設(shè)K≠L，因為φ-1(·)是遞增的，由Jensen不等式可得

,L)≤L≤

其中，1≤p≤q≤∞. 對于等號，設(shè)u∈Sn-1,有

(ρK(·)和ρL(·)是連續(xù)的)因此，如果ρK(·)=ρL(·)+γ，γ>0,K由L平行γ得到.

φ

那么

3 對偶Orlicz Hausdorff度量的性質(zhì)

μ(du)=φi(1)

同時，由

μ(du)=

因此必有λ1=λ2.

μ(du)=φ2(1)

因為φ1(1)≤φ2(1),由此可見

μ(du)≤

故有λ1≤λ2.

μ(du)=φi(1)

則{λi}有一個收斂子列，依然記為{λi},使得λi→λ′.

μ(du)=φi(1)

于是

μ(du)=φ0(1)

[1] SCHNEIDER R,CONVEX B.The Brunn-Minkowski Theory[M].New York:Cambridge University Press,2014

[2] GARDNER R J.Geometric Tomography[M].New York:Cambridge University Press,2006

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責任編輯：李翠薇

Dual Orlicz Hausdorff Metric for Star Bodies

FENG Li-rong

(School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

star bodies; dual Hausdorff metric; dualLp; Hausdorff metric; dual Orlicz Hausdorff metric

2016-03-14;

2016-05-09.

國家自然科學基金天元項目(11326073).

馮麗容(1990-)，女，重慶市萬州區(qū)人，碩士研究生，從事幾何分析研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.006

O159

A

1672-058X(2017)02-0026-05