對2015年安徽高考物理壓軸題的拓展

孫 翔

（安徽省宣城中學(xué)，安徽 宣城 242000）

2015年安徽高考物理壓軸題是一道關(guān)于三星系統(tǒng)的問題.三星系統(tǒng)學(xué)生們并不陌生，不過平時遇到的大多是三顆星體質(zhì)量相等的情況.本題情景設(shè)置為一顆星體質(zhì)量為2m，另外兩顆星體的質(zhì)量為m的情況，這樣就增大了解題的難度，題目中還提到三顆星體質(zhì)量都不相同的更一般情況.下面對這種更一般的情況進(jìn)行討論.筆者找到兩種方法，供大家參考.

題目.（2015年安徽理綜卷第24題）由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動（圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況）.若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求：

（1）A星體所受合力大小FA；

（2）B星體所受合力大小FB；

（3）C星體的軌道半徑RC；

（4）三星體做圓周運(yùn)動的周期T.

圖1

圖2

星體A受到星體B和星體C的萬有引力的作用，其大小分別為

用正交分解法可得星體A所受的合力為

星體A做圓周運(yùn)動的半徑為質(zhì)心C到A點(diǎn)（原點(diǎn)）的距離，即

星體A所受的合力提供了星體A做圓周運(yùn)動的向心力，即

解得

圖3

而對于原題第（2）問B星體所受合力大小FB，第（3）問求C星體的軌道半徑RC，可以通過調(diào)換一下A、B、C三顆星體在坐標(biāo)系中的相對位置，使B、C分別處于坐標(biāo)原點(diǎn)，同理可解，不再贅述.

在求解第（4）問：三星體做圓周運(yùn)動的周期T，還可以運(yùn)用下面的方法.

取質(zhì)心參考系，A、B、C三顆星體對質(zhì)心的位矢為r1、r2、r3如圖3所示，對星體A，

因?yàn)閙1r1＋m2r2＋m3r3＝（m1＋m2＋m3）rC＝0，可得

1 強(qiáng)元棨，程稼夫.力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

2 周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1985：243.