☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 徐靜
細(xì)致觀察,大膽探究
——例談三角最值問(wèn)題的幾種求法
☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 徐靜
三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn),由于其具有較強(qiáng)的靈活性,能全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力水平,因此一直是各類考試的熱點(diǎn).而三角最值問(wèn)題是函數(shù)最值問(wèn)題的重要內(nèi)容,從近幾年的各類競(jìng)賽來(lái)看,頗受命題者的青睞,故應(yīng)引起大家足夠的重視.筆者通過(guò)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐,將此類問(wèn)題的一些想法整理如下,供大家參考.
本題條件描述的是兩個(gè)角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的關(guān)系,而且部分還跟兩角和的余弦公式有關(guān),可以將條件展開(kāi)觀察一下,所要求解的tanα與化簡(jiǎn)后的式子中的sinα,cosα是商數(shù)關(guān)系,我們可以進(jìn)行“弦化切”的進(jìn)一步化簡(jiǎn).
解:由條件可得cosαcosβ-sinαsinβ=sinα sinβ,
通過(guò)化簡(jiǎn)整理后發(fā)現(xiàn),此題適合用基本不等式來(lái)求最值,只是要注意合理地拆添項(xiàng)、湊常數(shù),同時(shí)也要注意等號(hào)成立的條件,否則可能會(huì)陷入誤區(qū),得出錯(cuò)解.
對(duì)于形如y=sinxcos2x(或y=cosxsin2x)的三角式子求最值,也經(jīng)常構(gòu)造出“和一定”的形式,借助基本不等式.
例2設(shè)0<x<π,求函數(shù)的最大值.
解:先把函數(shù)式化為半角形式,得y=2cos2兩邊平方,得
y2=4cos4當(dāng)且僅時(shí),等號(hào)成立.
本題溫和,易于入手.輔助角公式同時(shí)也是高考的核心考點(diǎn),體現(xiàn)出競(jìng)賽源于高考的原則.降冪公式、輔助角公式的靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.
對(duì)于形如y=asin2x+bsinx+c(或y=asin2x+bcosx+c)(a≠0)的式子求值域,經(jīng)常用二次函數(shù)解決.我們可將它視為拋物線y=at2+bt+c(a≠0),在t=sinx∈[-1,1]時(shí)函數(shù)值的范圍,當(dāng)處達(dá)到一個(gè)最值,另一最值在“-1”和“1”之中距“較遠(yuǎn)的一點(diǎn)達(dá)到;當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào),其最值分別在兩端點(diǎn)處取到.
若三角式子中含有根式,則這類問(wèn)題常常利用三角換元解決.這類問(wèn)題內(nèi)涵豐富,靈活多變,涉及知識(shí)點(diǎn)多,技巧性及綜合性強(qiáng),解法靈活且多種多樣,對(duì)能力要求較高.
解:令t=sinx(-1≤t≤1),
又-1≤t≤1,故-1≤t≤1.
故函數(shù)f(x)的取值范圍為[0,2].
對(duì)于非常規(guī)型函數(shù),求導(dǎo)是求解最值的一種利器,
本題很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn).
解:函數(shù)f(t,θ)=(t-cosθ)2+(t-sinθ)2可以看做點(diǎn)(t,t)和點(diǎn)(cosθ,sinθ)的距離的平方.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)f(t,θ)=(t-cosθ)2+(t-sinθ)2表示直線y= x上的點(diǎn)與單位圓x2+y2=1(第四象限,含端點(diǎn))上的點(diǎn)之間的距離的平方,如圖1所示.由圖1知,點(diǎn)(1,0)或(0,-1)到直線y=x的距離最小,最小值到直線y=x的距離最大,最大值為
圖1
所以f(t,θ)min=
通過(guò)對(duì)所求函數(shù)的表達(dá)式的觀察,發(fā)現(xiàn)表達(dá)式具有較強(qiáng)的幾何意義,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形聯(lián)姻,將抽象的問(wèn)題化為直觀的問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.
形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d的一類三角題,先降冪,再利用輔助角公式解決,即化為
例8求函數(shù)y=3sin2x-2sinxcosx-cos2x的最值.
形如y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c(或同時(shí)含有sinx± cosx與sinxcosx的函數(shù)),對(duì)于這類函數(shù),我們可以用換元法,即令,解出sinxcosx=從而轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)的值域問(wèn)題.
例10求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
通過(guò)對(duì)以上例題的分析,對(duì)涉及三角的最值問(wèn)題,雖然具有一定的靈活多變,但只要我們能結(jié)合題意,從實(shí)際出發(fā),選取恰當(dāng)?shù)姆椒?,就能使?wèn)題得到較好的解決.教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的生成、發(fā)展、內(nèi)化、升華過(guò)程,以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.這樣,就能成功破譯各類試題的命題密碼,并達(dá)到提高學(xué)生的各項(xiàng)能力和綜合素質(zhì)的終極目標(biāo).