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    小議二次函數(shù)綜合性問題突破視角

    2017-03-23 09:02:47江蘇省常熟市滸浦高級中學夏樸
    中學數(shù)學雜志 2017年5期
    關鍵詞:凹凸綜合性變量

    ☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 夏樸

    小議二次函數(shù)綜合性問題突破視角

    ☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 夏樸

    眾所周知,高中數(shù)學函數(shù)問題最經典的模型是以二次函數(shù)為背景設計的,二次函數(shù)既因為在生活生產實際中有著重要體現(xiàn),也是中學生能夠解決的主要模型.通過二次函數(shù)可以研究函數(shù)的三要素、單調性、最值以及在問題解決過程中涉及的重要思想方法等.可以這么說,二次函數(shù)相關的綜合性問題一直是學生學習的難點.

    從考試要求來看,“考試大綱”明確提出了理解二次函數(shù)的定義,掌握其圖像和性質,以及理解和運用二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關系去解決相關問題,在問題解決過程中能夠運用思想方法將問題轉化為二次函數(shù)求解.從大綱要求來看,很明顯提出了二次函數(shù)學習的三個層次,其一是掌握基本知識和基本性質,這是大部分學生普遍掌握的;其二是能運用整合性的知識聯(lián)系解決相關問題,這就選拔出了能力較強的學生;最后是能運用思想方法將綜合性問題通過二次函數(shù)模型求解,體現(xiàn)了選拔最優(yōu)秀學生的意圖.近年來,二次函數(shù)以綜合性問題呈現(xiàn)在試卷中,以函數(shù)、不等式、方程的相互等價轉換成為命題的常規(guī)形態(tài),以導數(shù)的介入、解析幾何中的滲透成為有效的結合點.從難度來說,二次函數(shù)的深入挖掘成為區(qū)分學生能力的重要考核手段,成為教師教學關注的重點.下文從綜合性問題舉例來說明,教學中應該選擇的突破視角.

    一、圖形的視角

    “小題小做”一直是高考重要的命題原則,也就是說要利用更為直觀、特殊的方式去解決小題.筆者認為,對于二次函數(shù)綜合性小題的解決,多利用圖形化的視角嘗試是首要的選擇,看一個例題:

    分析:借助二次函數(shù)的圖像,我們不難發(fā)現(xiàn):值域為定值,因此其定義域可以在一定范圍內變化,這種變換通過圖形的視角顯露無遺(如圖1),借助圖形的對稱性可以得到兩者之間的關系如圖1所示.

    解析:令y=3,即x2-2x=3,解得x1= 3,x2=-1.又x=1時,y=-1,因此當a=-1時,1≤b≤3都可以,即線段AB;當b=3時,-1≤a≤1都可以,即線段AD.

    點評:小題小做最常用的手段是圖形化視角、特殊化視角,擁有這樣的思維狀態(tài)對于考試有極大的幫助.本題較為合理地借助圖形化視角,將圖形中自變量的變換顯示出來,厘清變量間的對應關系.本題還可以對相關問題進行變換:如將其變式為求|a-b|的最大值或者最小值等等.

    圖1

    二、轉換主元的視角

    二次函數(shù)含參變量問題是考查的難點之一,隨著參數(shù)的增多,學生對于問題的處理往往陷入混沌.在思考問題過程中,我們可以轉換研究主要元素的視角,讓問題呈現(xiàn)一種清晰的突破口.

    問題2函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],且a+b≠0時,恒有

    (1)判斷并證明f(x)在[-1,1]上的單調性;

    (2)若f(x)≤m2-2am+1對所有a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范圍.

    作為一名思想政治教育者,首先要克服首因效應和近因效應所造成的認知偏見對教育者的影響,不能只憑第一印象或最新印象評價和判斷人,也不能輕信任何一種關于某人的信息,而應當用全面的、辯證的觀點看問題以及了解他人。教育者還可以充分利用首因效應和近因效應的積極作用,在教育內容的選擇上利用二者提高教學效果。在與人相處時注意自己的儀容儀表、談吐等,給人留下良好的第一印象,作為教育者來說,開學第一課至關重要,準備好開學第一課,給學生留下良好的印象。但更重要的是要有意識地引導教育對象用全面的觀點看問題。

    分析:這是一個多元參量的典型問題.對于第(2)小問,我們不難發(fā)現(xiàn)學生難以清晰地辨解多個參量,不少學生無從下手.從問題的剖析來看,應該是這樣嚴密的完整表述:“若f(x)≤m2-2am+1對任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都恒成立,求m的取值范圍.”因此首先研究哪個變量、進而研究哪個變量非常清晰,我們層層遞進來分析.由第(1)小問單調性可知,從變量x入手,即研究m2-2am+1≥f(x)max,這里可以說不費吹灰之力;在得到m2-2am≥0時思考哪個元素已經告知?進一步研究哪個元素的問題?顯然變量a的范圍已經告知,進一步研究變量m的取值范圍,因此轉換主元的視角躍然紙上,從而多個變量的問題也層層剝離,清晰求得.

    解析:(1)略.

    (2)因為f(x)≤m2-2am+1對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am+1≥f(x)max.

    因為f(x)max=f(1)=1,所以m2-2am+1≥1,所以m2-2am≥0,即g(a)=-2am+m2≥0在[-1,1]上恒成立.

    點評:轉換主要元素研究的視角是常見的二次函數(shù)綜合性問題選擇方法,通過元素主次位置的確定,將問題轉換為較為容易的函數(shù)模型,上述問題經過轉換主元成為一次函數(shù)的研究,使得問題的解決變得容易很多.對于學生而言,轉換主元的視角是思考多元變量問題的恰當手段,教學經驗也告訴我們學生對于這種轉換尚不能合理接受,不少學生仍舊在二次函數(shù)的分類討論上大做文章,這種做法不可取,加強學生解題視角的引導成為關鍵.

    三、變量分離的視角

    對于二次函數(shù)綜合性問題來說,為了避免大量的分類討論,還可以從變量分離的視角入手思考問題.變量分離是綜合性問題的重要方法,即將研究的變量和參量進行合理的分離,這種分離最好是基于不用分類討論進行.變量分離的視角是很多問題的重要選擇方法,諸如恒成立問題、存在性問題、有解性問題等等.

    (1)求m,n的值;

    (2)當x∈[1,+∞)時,判斷函數(shù)f(x)的單調性并證明;

    分析:(1)略;(2)利用定義法或導數(shù)法加以證明;(3)中限制了字母參數(shù)的范圍的“三個二次”問題可以轉換變量來加以化解,而本題限制了自變量的范圍,一個比較簡潔的辦法就是分離變量,將含有自變量的放在一起,構造一個新的函數(shù)然后再研究新函數(shù)的最值.

    解:(1)(2)略.

    (3)由題可知,2x2-2x+1>2a(x-1)在x∈(2,4)上恒成

    點評:為什么會想到利用參變分離的視角?這是教學需要向學生闡述的關鍵.考慮到變量x∈(2,4),顯然在分離過程中不需要對其進行討論,自然分離成為了解決問題的首選方式.此類問題單刀直入,緊抓最終的目標,先簡化等式或不等式的一邊,然后利用函數(shù)的性質研究新函數(shù)的最值.此法也可以推廣到次數(shù)更高的問題.學生面對這類題型的最大問題:一方面在較復雜的問題情境中很難將目標字母理清楚,另一方面對于除過去的式子2(x-1)的分析,如果x∈(0,4),使得式子2(x-1)有正有負也有0,就要進行分類討論,更要關注不等號的方向.學生常見的錯誤就是對不等式的兩邊分開討論,但問題是兩邊不在同一處取得最值.當然此題也可以用分類討論方法解決.

    四、凹凸性的視角

    函數(shù)凹凸性是高等數(shù)學必備的學識之一,但在中學數(shù)學中對于凹凸性的認識并不深刻,也沒有特別的相關概念介紹.在導數(shù)相關知識中,對于函數(shù)研究過程中能利用凹凸性視角,大大簡化了問題的求解過程.

    問題4已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像過(-1,0)點,則存在常數(shù)a,b,c,使不等式對一切實數(shù)恒成立.

    圖2

    點評:本題恒成立的求解另辟蹊徑,從兩邊夾f(1)= 1入手,思考恒成立后續(xù)問題的處理,通過思考即可發(fā)現(xiàn)只要找到直線與拋物線、拋物線與拋物線相切位置即可知道,其余點處恒成立.思考拋物線凹凸性可知,尋找切點必定出于兩邊夾的特殊值位置,即f(1)=1處,這說明函數(shù)凹凸性的理解大大簡化了一般學生利用判別式法求解的過程,體現(xiàn)出了思維的含量、突破的新視角,可見對于上凸或下凸函數(shù)等有深刻的認知、提前的預判量,大大提高了問題解決的可能性,是引導優(yōu)秀學生思維的新視角.

    總之,二次函數(shù)綜合性問題的處理是一個漸學漸長的過程.從本文所舉的四個案例來看,對小題和多元變量的處理,靈活掌握知識、合理選擇使用是綜合二次函數(shù)問題的常見方法和技能,是突破的常見視角.上述問題也能從其他視角入手,有興趣的讀者也可以一試,對比文中所選視角,可能會有意想不到的收獲.

    1.柴賢亭.函數(shù)教學中的思維啟發(fā)設計[J].教學與管理,2013(8).

    2.鄭毓信.解題教學理論在二次函數(shù)中的實踐[J].中學數(shù)學月刊,2015(1).

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