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      例談函數(shù)零點(diǎn)問題的解題策略

      2017-03-23 09:02:34江蘇省南京市秦淮高級(jí)中學(xué)張?zhí)m香
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年5期
      關(guān)鍵詞:值域二階零點(diǎn)

      ☉江蘇省南京市秦淮高級(jí)中學(xué) 張?zhí)m香

      例談函數(shù)零點(diǎn)問題的解題策略

      ☉江蘇省南京市秦淮高級(jí)中學(xué) 張?zhí)m香

      函數(shù)和導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn),也是近幾年的高考數(shù)學(xué)壓軸題.函數(shù)問題常常需要導(dǎo)數(shù)的幫助來求解,而零點(diǎn)問題是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最為核心的問題.筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn):學(xué)生對(duì)于處理較復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)感到異常困惑和力不從心.為此筆者對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題的處理策略進(jìn)行了反思和總結(jié),以突破教學(xué)難點(diǎn)和教學(xué)瓶頸.

      一、函數(shù)中的無零點(diǎn)問題

      此類函數(shù)問題的零點(diǎn)不存在,根據(jù)導(dǎo)數(shù)恒大于0或恒小于0可得函數(shù)是單調(diào)的.

      解:由題意可知,

      ?G′(x)=x[x2-3ax-(a2+5a-2)].

      令g(x)=x2-3ax-(a2+5a-2),g(x)=0的判別式Δ=13a2+ 20a-8.

      令h(a)=13a2+20a-8,因?yàn)閷?duì)稱軸h(-1)=13·(-1)2+20·(-1)-8<0,h(0)=-8<0,

      所以h(a)<0,a∈[-1,0],所以g(x)>0恒成立,

      所以G(x)在區(qū)間[-2,0]上遞減;在區(qū)間[0,2]上遞增.

      [G(x)]max=max{G(-2),G(2)},因?yàn)镚(2)-G(-2)= -16a≥0,

      [G(x)]max=G(2)=-2a2-18a≤16.故b≥16.

      二、無法判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在

      有些函數(shù)比較復(fù)雜,摻雜了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù),無法判斷出零點(diǎn)是否存在,此時(shí)可以分離成兩個(gè)函數(shù)分析.

      例2設(shè)f(x)=(x+1)eax(其中a≠0),曲線y=f(x)在x=處有水平切線.

      (1)求a的值;

      (2)設(shè)g(x)=f(x)+x+xlnx,證明:對(duì)任意x1,x2∈(0,1),有|g(x1)-g(x2)|<e-1+2e-2.

      解:(1)a=-2.(解答略)

      (2)分析:要證明對(duì)任意x1,x2∈(0,1),有|g(x1)-g(x2)|<e-1+2e-2,即證明[g(x)]max-[g(x)]min<e-1+2e-2.為此,對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)得,該導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)既解不出來也觀察不出來,對(duì)此類型導(dǎo)數(shù)問題,我們通常可作出兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析:令.作出兩個(gè)函數(shù)在(0,1)區(qū)間的圖像,兩個(gè)圖像的最大垂直距離為g(x)的最大值,兩個(gè)圖像的最小垂直距離為g(x)的最小值.作為不等式的證明問題,其最大值與最小值可近似估值.另外,兩個(gè)函數(shù)如何選取是一個(gè)難點(diǎn)問題,一般原則是:①指對(duì)分離;②盡量回避分式;③盡量作出

      三、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可觀察出來,但無法解出

      這類問題一般可以分離變量,作函數(shù),反復(fù)求導(dǎo).這種方式適合于具有如下兩個(gè)條件的導(dǎo)數(shù)問題:(1)每次求導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)都可以觀察出來,且相同;(2)每次求導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)越來越簡單.

      1.通過設(shè)而不求整體代換

      如果f′(x)=0是超越式(對(duì)字母進(jìn)行了有限次初等超越運(yùn)算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算的解析式,稱為初等超越式,簡稱超越式),我們無法求出其零點(diǎn),這時(shí)我們可以采用虛設(shè)零點(diǎn)法,通過形式化的合理代換或推理,謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡.通過整體代換,將超越式化簡為普通式.

      例3設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

      (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

      當(dāng)a>0時(shí),方程g(x)=a有一個(gè)根,即f′(x)存在唯一零點(diǎn);

      當(dāng)a≤0時(shí),方程g(x)=a沒有根,即f′(x)沒有零點(diǎn).

      (2)證明:由(1)可設(shè)f′(x)在(0,+∞)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0.

      故f(x)在(0,x0)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(x0).

      2.通過多次求導(dǎo)來判斷正負(fù)

      若f′(x)=0不可解,也可嘗試再一次求導(dǎo),卻發(fā)現(xiàn)f″(x)=0(f″(x)表示f(x)的二階導(dǎo)數(shù))也不可解,此時(shí)怎么辦呢?那么請(qǐng)你“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”,或許能有新的發(fā)現(xiàn).利用三階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和值域,再由二階導(dǎo)數(shù)的值域可求出一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和值域,進(jìn)而求出原函數(shù)的單調(diào)性和值域.

      例4設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

      解:f(0)=0,f′(x)=(x+1)ex-1-2ax=g(x),g(0)=0,

      g′(x)=(x+2)ex-2a=h(x),h(0)=2-2a,h′(x)=(x+3)ex.

      因?yàn)閤≥0,所以h′(x)>0恒成立,此時(shí)h(x)≥h(0)= 2-2a.

      若a≤1,h(x)=g′(x)≥0,則g(x)≥g(0)=0,即f′(x)≥0,因此f(x)≥0成立;

      若a>1,則h(0)=2-2a<0,又x→+∞時(shí),h(x)→+∞,所以存在x0使h(x0)=0,當(dāng)x∈[0,x0)時(shí),h(x)<0,即g′(x)<0,從而g(x)<g(0)=0,即f′(x)<0,所以有f(x)<f(0)=0,與f(x)≥0矛盾.

      綜上,a∈(-∞,1].

      反思此過程,連續(xù)運(yùn)用了三次求導(dǎo),而且每次求導(dǎo)都可發(fā)現(xiàn)新的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式,更有利于求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),從而使我們更加明確多次求導(dǎo)是破解導(dǎo)數(shù)f′(x)零點(diǎn)的一個(gè)有效方法.雖然步驟較多,但操作起來有固定的模式:先求導(dǎo),再求零點(diǎn),若無法求出,則可構(gòu)造新函數(shù),如此繼續(xù)下去,當(dāng)再次求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式越來越簡單時(shí),就可考慮用多次求導(dǎo)法來解決函數(shù)的零點(diǎn)問題.

      3.通過特殊值縮小范圍,從而探出零點(diǎn)

      當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí),首先可用特殊值進(jìn)行“投石問路”.特殊值的選取原則是:(1)在含lnx的復(fù)合函數(shù)中,通常令x=ek,尤其是令x=e0=1進(jìn)行試探;(2)在含ex的復(fù)合函數(shù)中,通常令x=lnk(k>0),尤其是令x=ln1=0進(jìn)行試探.

      例5設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使得對(duì)任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

      解:f(x)≤4e2恒成立?(x-a)2lnx≤4e2恒成立.

      當(dāng)x∈(0,1]時(shí),(x-a)2lnx≤0≤4e2恒成立.

      當(dāng)x∈(1,3e]時(shí),(x-a)2lnx≤4e2恒成立?(x-a)2≤

      所以在(1,3e]上h′(x)=0只有一個(gè)零點(diǎn).于是當(dāng)x∈(1,e)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(e,3e)時(shí),h′(x)>0.所以h(x)min= h(e)=3e.

      首先把一個(gè)較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本的恒成立問題,再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.在求最值的過程中,發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出,只能通過觀察,“探出”一個(gè)根,然后再通過函數(shù)的單調(diào)性說明根的唯一性,分析出所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而使問題獲得解決.

      總之,對(duì)于在高考函數(shù)壓軸題中遇到的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的很多零點(diǎn)問題,由于零點(diǎn)具有求解相對(duì)比較繁雜甚至無法求解的特點(diǎn).我們不必正面強(qiáng)求,分析條件,有時(shí)直接設(shè)出零點(diǎn),充分利用其滿足的關(guān)系式,然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡,再結(jié)合其他條件解決問題,這樣成功回避復(fù)雜的運(yùn)算,擺脫解決問題過程中的一些技術(shù)難點(diǎn),在求解比較復(fù)雜的含參函數(shù)的綜合問題具有很好的應(yīng)用價(jià)值.

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