老生常談
——“用教材教”的再思考——基于《導數(shù)小結(jié)復(fù)習課》的嘗試

☉江蘇省蘇州中學 王思儉

老生常談
——“用教材教”的再思考——基于《導數(shù)小結(jié)復(fù)習課》的嘗試

☉江蘇省蘇州中學 王思儉

一、問題的提出

教材中的《本章回顧》是梳理本章的基礎(chǔ)知識之間的邏輯關(guān)系、揭示本章所蘊含的基本數(shù)學思想方法的重要一節(jié)，系統(tǒng)梳理，使學生對概念、性質(zhì)、定理有進一步的理解和領(lǐng)悟，使學生的學習能力得到螺旋式上升，這正是提升學生數(shù)學思維能力的最佳時機．但目前的情況不容樂觀，在2016年筆者先后聽了60多位高一高二老師的課，只有兩位老師帶課本，每個班級只有個別學生拿出課本，沒有一節(jié)課布置課本上的作業(yè)，只有一位老師讓學生回去看課本的推導過程．日常教學中，教師忙于選各地的高考題、模擬題編寫專題或?qū)W案，而學生苦于做大量高難度的密卷等，這種教學模式就如同高三的第二輪的專題復(fù)習．這種灌輸式的教學模式，學生只是被動接受，沒有吸收和內(nèi)化的過程，沒有思考的空間，學生僅僅停留在機械模仿的層次，學生的創(chuàng)造性的靈感被扼殺．為此，筆者應(yīng)邀于2016年11月22日在無錫市錫東高級中學高二年級開設(shè)一節(jié)公開課，內(nèi)容為《導數(shù)的綜合應(yīng)用》（選修2-1第2章小結(jié)復(fù)習課）（蘇教版），旨在呼吁教師和學生要立足課本、理解課本、用好課本．

二、課堂實錄

教師：同學們，今天我們在哪里上課？

眾生：蒙古包的階梯教室．

教師：請你們觀察教室的建筑結(jié)構(gòu)特征是什么形狀？

眾生：它是由棱柱和錐體組成的幾何體．

教師：正確！如果給定某一條件，能否求出這個教室的體積最大值？怎么求？

眾生：不就是我們講義上的例1嗎！建立目標函數(shù)，利用導數(shù)求解．

教師：很好！為了更好地利用導數(shù)研究數(shù)學領(lǐng)域中相關(guān)問題，并能解決生活中實際問題，我們要對學過的導數(shù)內(nèi)容進行梳理．現(xiàn)在先看基礎(chǔ)練習上．

第1題：

眾生：不能寫成并集，應(yīng)該分開寫，即（-∞，0），（0，+∞）．

教師：正確！本題是利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，同一類單調(diào)性區(qū)間不能寫成并集．現(xiàn)在看第2題；

曲線y=x-2cosx在x=0處的切線方程為_________．（教材第26頁習題1．2第5題改編）

生2：因為y′=1+2sinx，因此斜率為k=1，切點為（0，-2），所以切線方程為y=x-2．

教師：很好！注意區(qū)分在該點處的切線與過這點的切線．再看第3題：

教師：正確！本題復(fù)習利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值等，同學的口述解題過程較詳細、嚴謹、規(guī)范．同時也指出求極值和最值的步驟．現(xiàn)在看第4題：

教師：正確！本題復(fù)習用導數(shù)求最值問題，但結(jié)論是極值點，注意極值點是數(shù)，而不是坐標平面上有序數(shù)對所對應(yīng)的點，此“點”非“點”．現(xiàn)在我們來解決上課時提出的問題：

例1如圖1，某零件是由一個圓柱和一個圓錐（等底）組成，其中圓柱的高是圓錐的高的2倍，且圓錐的母線長為設(shè)圓錐的高為h．

（1）求該零件的體積V=f（h）的函數(shù)解析式；

（2）當h為何值時，該零件的體積V有最大值，并求出最大值．

（教材第35頁例2改編）

教師：請同學們讀題，分析題目已知什么？要求什么？需要哪些準備知識？解決問題的工具有哪些？

生5：利用勾股定理，將圓錐底面半徑用h表示，從而圓柱的半徑和高都可以用h表示．由圓錐和圓柱的體積公式得f（h）得函數(shù)解析式，同時要找出h的限制條件（即函數(shù)的定義域），接下來利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值．

教師：分析較好！哪位同學到黑板上寫出解題過程？

生6：設(shè)圓柱（圓錐）的底面半徑為r，于是有r2=300-h2．

圖1

教師：現(xiàn)在請同學們閱卷，看看他的解題過程是否符合規(guī)范？結(jié)論是否正確？

生7：沒有列表討論函數(shù)的單調(diào)性，最后沒有寫答案．應(yīng)該補上：

當0＜h＜10時，f′（h）＞0，f（h）單調(diào)遞增；當10＜h＜單調(diào)遞減．

答：當圓錐的高為10cm時，該零件的體積最大，其最大值為

教師：正確！生6答題過程中存在問題就是會而不對、對而不全．利用導數(shù)求極值和最值時，求導后，再列表討論，再確定在何處取得極值或最值．解題一定要規(guī)范．而本題是實際應(yīng)用問題，解決這類問題的步驟是：讀懂題意—建立數(shù)學模型—求解模型—檢驗結(jié)果—回到實際問題．

例2已知函數(shù)f（x）=x3+ax+1在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．（教材第59頁第12題改編）

生8：由于f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，利用f′（x）≤0建立不等式，利用分離變量求出a的取值范圍．因為f′（x）=3x2+a，由題意得f′（x）≤0，即3x2+a≤0對任意x∈（-1，1）恒成立，也就是對所有x∈（-1，1）都有a≤-3x2成立，因此a≤-3．

教師：正確！本題是已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，注意導函數(shù)為零時的情況．請看變式題：已知函數(shù)f（x）= x3+ax+c（a，c為常數(shù)）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．

（1）求實數(shù)a的取值集合；（2）若函數(shù)y=f（x）有三個零點，求實數(shù)c的取值范圍．教師：這題與原題一樣嗎？你們怎樣理解題意？生9：這兩個問題不一樣，已知單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），實質(zhì)是函數(shù)的最大減區(qū)間，也就是f′（-1）=0和f′（1）= 0，從而求出a=-3．所以a的取值集合為｛-3｝．

教師：“函數(shù)y=f（x）有三個零點”是什么意思？生10：函數(shù)有三個零點就是方程x3-3x+c=0有三個解．教師：正確！將零點問題等價轉(zhuǎn)化為方程的解問題，怎樣求解？

生10：利用求根公式求解．

眾生：沒有學過三次方程的求根公式．應(yīng)該利用導數(shù)研究函數(shù)圖像，討論函數(shù)零點個數(shù)．

生11：由上題知，f（x）=x3-3x+c，f′（x）=3x2-3=3（x+1）·（x-1）．令f′（x）=0，得x1=-1，x2=1．

當x變化時，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

因此，當x=-1時，f（x）有極大值f（-1）=c+2；當x=1時，f（x）有極小值f（1）=c-2．

又因為f（x）有三個零點，所以f（-1）＞0且f（1）＜0，解之，得-2＜c＜2．

教師：很好！分析和求解過程都很好！

生12：利用圖像繼續(xù)研究，函數(shù)f（x）有兩個零點或一個零點時，求c的取值范圍．若f（x）有兩個零點，所以f（-1）=0或f（1）=0，解之，得c=-2或c=2．若f（x）有一個零點，所以f（-1）＜0或f（1）＞0，解之，得c＜-2或c＞2．

教師：你能提出問題很好！本題就是利用導數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點．現(xiàn)在看下面的例題：

例3已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a為常數(shù)）．

（1）若x=0是f（x）極小值點，求a的值；

（2）若a＞0，函數(shù)y=f（x）存在唯一零點，求正實數(shù)a的值．（教材第34頁習題1．3第4題第（2）小題改編）

生13：解：（1）f′（x）=ex-a，由題意得f′（0）=0，因此a= 1．

眾生：檢驗a=1是否合適，才能最后確定．

教師：為什么？

生14：因為當f′（x0）=0時，x0未必是極值點，如f（x）= x3，雖然有f′（0）=0，但x=0不是其極值點．

教師：反例恰當！因此你們解題時，一定要規(guī)范、細致．再看第（2）小題：

生15：問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=ax與曲線y=ex相切，即過原點作y=ex的切線．設(shè)切點T（x0，ex0），f′（x）=ex，因此在點T處的切線方程為y-ex0 =ex0（x-x0）．又因為切線過原點，因此有-ex0=ex0（0-x0），即x0=1，所以a=e．教師：正確！他利用等價轉(zhuǎn)化思想和待定系數(shù)法求解．同學們思考一下還有其他解法嗎？

生16：問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）的最小值為0時的x值即為零點．當a＞0時，f′（x）=0，得ex=a，即x0=lna．

當x＜lna時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x＞lna時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以在x=lna處f（x）有極小值，也是最小值，即fmin（x）=elna-alna=a-alna．因為函數(shù)y=f（x）存在唯一零點，因此fmin（x）=0，即a-alna=0，解之，得a=e．

教師：很好！本題求解過程中，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法．生16的解法如同例2的拓展問題，這一解法更具有一般性．若此題改為不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．怎么求解？這就是今天的課外思考題．再看變式題：已知函數(shù)f（x）=ex-ax，已知正數(shù)a滿足：存在x0∈［1，+∞）使f（x0）≤0．

（1）求a的取值范圍；

（2）試比較ea與ae的大小，并證明你的結(jié)論．

生17：（1）因為存在x0∈［1，+∞），使f（x）≤0，等價于存在x0∈［1，+∞）使，而，因此h（x）在單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（1）=e．故a≥e．

生18：也可以整體把握，問題等價轉(zhuǎn)化為fmin（x）≤0，即a-alna≤0．又a＞0，因此1-lna≥0，解之，得a≥e．

教師：很好！前者是用分離變量法求解，后者是用整體思想求解．那么怎樣比較ea與ae的大小呢？

生19：直覺猜想ea≥ae，當且僅當a=e時，等號成立．

教師：你證明了嗎？

生19：構(gòu)造函數(shù)G（a）=ea-ae，求導G′（a）=ea-eae-1，下面就不會做了．

教師：這樣更復(fù)雜，變量a不在同一個水平線上，可以通過怎樣變換，使其變換后處于同一水平線上？

生20：對ea與ae取對數(shù)，得alne與elna，于是只要比較a與elna的大?。?/p>

所以當a=e時，ea=ae；當a＞e時，ea＞ae．

教師：很好！比較法是比較兩個數(shù)的大小常用的方法，有的直接作差比較、有的先變換再作差（如要比較的式子是根式型的可平方、指數(shù)型的可取對數(shù)等）．其實本題是2014年高考江蘇第19題第（3）小題的變式．

今天我們復(fù)習導數(shù)的相關(guān)知識和利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、零點），利用導數(shù)解決實際問題．這節(jié)課我們復(fù)習了相關(guān)的數(shù)學思想方法，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、整體思想，分離變量法、構(gòu)造法等．學會用數(shù)學眼光看待事件，學會用數(shù)學思維分析事件，學會用數(shù)學符號表述事件．這節(jié)課就上到這里，下課．

三、教學反思

1．用教材教

目前不少教師蔑視教材，這其中最被冷落的是教材中的例題、習題了，取而代之就是各類復(fù)習資料，“聚焦小題”“小題狂做”“名師導學”“一課一練”之類的資料都是東拼西湊，結(jié)果神題做不來，教材中的習題又不做，造成知識斷鏈，甚至破網(wǎng)，形成千瘡百孔．事實上，教材中最好的、也是最值得珍惜的就是例題和習題．對于章節(jié)小結(jié)的復(fù)習課，教學中通過簡單問題的研究，促使學生回憶教材中的概念、性質(zhì)、定理，而不是簡單地再次講解教材中的概念、性質(zhì)、法則等基礎(chǔ)知識，既不是回放前幾周的教學片斷，也不是枯燥的概念羅列．如四道小題涉及的內(nèi)容覆蓋本章所有的知識點，涵蓋了用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)常用的數(shù)學思想方法，這些小題都是源于教材，對教材中的題目進行改編，達到引導學生回歸教材的目的.回歸教材，就是回憶、喚醒以前學習的重點概念和基本問題，由此增強學生對概念、性質(zhì)、定理等基本內(nèi)容的認識，進而增強學生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的能力.如基礎(chǔ)題的第3題求函數(shù)值域，既復(fù)習并梳理利用導數(shù)求函數(shù)的最大值與最小值的基本方法和步驟，又引導學生理解教材，關(guān)注教材，課本中的原題是求函數(shù)閉區(qū)間［1，4］上的值域，此題既可以用導數(shù)求解，也可以用配方法求解.在教學過程中教師首先讓學生講解解題思路和策略，就引導學生對求極值、最值的步驟，從而達到復(fù)習鞏固的目的.用教材教的教學，有益于學生在問題研究中展開質(zhì)量的聯(lián)想.如例2的變式中討論三個零點時的情況，學生自然會聯(lián)想到有沒有兩個零點、一個零點的問題呢？

2.用思維教

老師們對“用教材教，而不是教教材”頗有微詞，前文說到不少老師為了趕進度，把教材放到一邊，只是介紹教材中的數(shù)學概念，補充大量的高考真題、模擬題，而教材中的例題不用、練習不練、習題不做，課本也不用打開，學生如同進入茶館、聽書.教師無暇潛心研究教材的內(nèi)容、深刻領(lǐng)會教材的編寫意圖、認真落實教材所蘊含的數(shù)學思想與方法、積極傳播教材所呈現(xiàn)的數(shù)學理念，而是疲于奔命地進行大量的機械重復(fù)訓練，但遇到情景新穎的陌生問題，還是束手無策，這樣的教學能有效果嗎？離開“基礎(chǔ)”的教學設(shè)計，離開“基礎(chǔ)”的教學活動，思維能力的培養(yǎng)必然是脆弱的.強化難題的教學，必然導致學生的思維受阻.因此，引發(fā)我們思考應(yīng)該選編怎樣的例題、習題才能切實提高教學效益？這就要求教師具有較高的駕馭教材和改編試題的能力，也就要求教師必須用數(shù)學的思維去編擬具有一定思維量的題目進行精心分析講解，必須用數(shù)學的思維去分析學生.本節(jié)課所有例題、習題都是教材中的習題的改編，從課本中來，到高考中去，三道例題的落腳點都是高考題的類題.

發(fā)展學生的思維能力，首先要拓展教師的思維空間，教師不能僅僅沉浸在一些高考真題中，要將教材中的例題、習題與高考題對比研究，怎樣改編才能使其走向高考題？體現(xiàn)高考題中的哪幾個方面思維能力？學生的思維能力能否得到有效發(fā)展、思維的靈活性和廣闊性能否得到有效培養(yǎng)、學生的思維空間能否得到有效拓展.其次教師必須要選擇恰當?shù)慕谭?，例如教師必須正確運用“師生對話”，使教學能真實地充分暴露師生的思維過程.在此基礎(chǔ)上師生進行深刻思辨，運用批判性思維進行的方法研究才是拓展學生的思維空間的“真教學”.如例3（2）函數(shù)有唯一零點，學生給出的方法是切線法，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=ax與函數(shù)y=ex相切問題；而另外一位同學又給出函數(shù)f（x）=ex-ax的最小值為0時的x的值就是零點.又如例2的三次函數(shù)的零點，學生回答用求根公式解決，這時教師因勢利導，使學生明白三次方程目前還沒有學過求根公式，等等.沒有交流的課堂是沒有思維的教學.因此，在日常教學中提倡學生大膽質(zhì)疑，相互交流，提升思維能力.

3.用問題教

課程標準要求要“提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展獨立獲取知識的能力”.教學過程中這么多學生參與交流，這種情境下有那么多新問題提出，又有了新的思考和解決，使學生充分地理解了概念，激發(fā)他們對章節(jié)小結(jié)復(fù)習課的興趣，不再認為這類課是枯燥無味的、做做練習的，而是重新認識問題、再次發(fā)現(xiàn)問題、重新解決問題的課.培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學符號思考問題、研究方法、表述對象.如本節(jié)課的開場白，教者在完全不知上課地點的情況下，利用教室形狀與例1中的幾何體的體積最大值問題引出課題，不僅引導學生觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題、尋找解決問題策略，而且活躍課堂氣氛，讓學生帶著問題聽課.再如例3的變題及課外思考題，例2的變題由“在（-1，1）上單調(diào)遞減”變化為“單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）”，表面上看是問題的細小變化，但在這些細小變化中，引導學生發(fā)現(xiàn)解題過程發(fā)生變化的原因，引導學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是否有變化以及沒有變化的原因，同時，還要引導學生對問題的深度觀察.本節(jié)課的題目無論是基礎(chǔ)訓練題還是例題都是教材中的基礎(chǔ)題改編的，體現(xiàn)“問題變化”在教學中的重要作用，使學生學會自主探究，忽視“基礎(chǔ)”的教學必然是大題量的教學，必然導致學生的發(fā)現(xiàn)問題受到阻礙，學生的解決問題逐步“退化”，最終使學生的數(shù)學思維鈍化.

1.張乃貴.春來江水綠如藍似曾相識燕歸來［J］.中學數(shù)學（上），2016（8）.

2.祁建新.“基本不等式的應(yīng)用研究”的教學設(shè)計與反思［J］.中學數(shù)學月刊，2016（8）.

3.王思儉.數(shù)學思維與方法［M］.江蘇：南京師范大學出版社，2015.

4.張曉斌，余彪.高中文理科學生數(shù)學學習差異研究［J］.中學數(shù)學（上），2016（9）.

5.單墫.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學（選修2-1）［M］.江蘇：江蘇教育出版社，2013.